
- •1. Матрицы и действия над ними.
- •2. Определители второго и третьего порядков.
- •3. Миноры и алгебраические дополнения.
- •4. Обратная матрица.
- •5. Решение систем линейных алгебр. Уравнений. Теорема Крамера.
- •6. Линейная балансовая модель Леонтьева.
- •7. Метод Гаусса-Жордана.
- •8. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.
- •9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектор. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов.
- •11. Скалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в зад. Отношении.
- •1 5. Координатные уравнения прямой в пространстве.
- •16. Координатные уравнения прямой на плоскости.
- •17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •18. Координатные уравнения плоскости.
- •19. Общие уравнения прямой в пространстве.
- •2 0. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •22. Поверхность второго порядка
- •1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.
- •2.Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)
- •4.Первый замечательный предел.
- •5.Второй замечательный предел.
- •6.Бесконечно-большие и бесконечно‑ малые функции. Сравнение бесконечно‑малых функций. Асимптотические формулы.
- •7.Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •8.Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9.Понятия сложной и обратной функций.
- •10. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной.
- •11. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •12. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
- •13. Понятие дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного.
- •14. Производные постоянной, тригонометрических и логарифмической функций.
- •15. Производные обратной и сложной функций
- •16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.
- •17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.
- •18. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
- •20. Теоремы Ферма и Ролля.
- •21. Теорема Лагранжа и Коши.
- •22. Теорема Лопиталя.
- •23. Теорема Тейлора.
- •24. Признак монотонности.
- •25. Направление выпуклости.
- •26. Необходимые условия точки перегиба.
- •27. Асимптоты графика функции.
- •28. Комплексные числа.
- •29. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •30. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня.
21. Теорема Лагранжа и Коши.
Теорема
Лагранжа:
Если
функция f(x)
удовлетворяет условиям:
1. Функция
непрерывна на
2. Функция дифференцируема на
,
то существует
(a;b)
такая что f(b)-f(a)=f´(
)*(b-a)
Доказательство:
Рассмотрим
вспомогательную функцию
Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке [a;b], а на его концах принимает одинаковые значения: F(a)=F(b)=0
Тогда F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка (a;b), в которой производная функции F(x) равна нулю:
геометрический смысл: геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции f(x) найдется точка С(с, f(с)), в которой касательная к графику f(x) параллельна секущей АВ. Следствия:1. Если f'(х) = 0 на некотором промежутке (a, b), то функция f(x) постоянна на этом промежутке.2.Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Теорема
Коши:
Если
1) f(x)
и g(x)
непрерывны на
2) f(x)
и
g(x)
дифференцируемы на (a;b)
3) g´(x)
0
на
.
то существует точка С
такая что
=
.
Следствие: теорема Лагранжа является
частным случаем теоремы Коши при g(x)=x.
22. Теорема Лопиталя.
f(x), g(x) определены в некоторой окрестности за исключением может быть самой точки и удовлетворяет условиям 1) f(x) и g(x)-дифференцируемы
2)
g´(x)
0,
то существует формула
и
3)
справедлива формула
=
=
=
;
=
=
Пример:
=
=
=
=
;
=
=
=
...=
=0
3)
=
=
=
=
23. Теорема Тейлора.
Если
f(x)
имеет в некоторой окрестности точку
,
производную (n+1)
порядка, существует
окр.
,
f(x)=
+
(x),
где
(x)=
*
Пример:
Найти
формулу Тейлора для функции у=
при
=0.
y´=
;
y´(0)=1;
=
;
y´(0)=1;
=
;
;
=
+
;
=
+
;
=1+
+
+
...+
+
(x).
24. Признак монотонности.
Если
функция f(х)
диф. на интервале (a;b)
и f´(x)≥0
(f(x)≤0)
для любых х
(a;b),
то функция не убывает(не возрастает)
на этом интервале.
Доказательство: на
интервале (a;b)
выполнены все условия теоремы Лагранжа
для любых
,
, f(a;b);
.
f(
)-f(
=f´(C)(
;f´(C)≥0,(
;C
;
f(
)-f(
)≥0
следовательно f(
≥f(
Функция не убывающая, ч.т.д. Т(
,f(
-называется
точкой локального max(min),
если существует ∆-окрестность в точки
такая, что для любых х из этой окрестности
выполняется неравенство f(
)
Необходимое
условие локального экстремума. Если
f(x)
имеет в точке
локальный экстремум и диф. в этой точке,
то f´(
)=0.
Доказательство данной теоремы основано
на теореме Ферма. Пример:y=
;y´(x)=3
;
3
=0;
x=0.
Достаточное
условие локального экстремума:
Если f(x)
диф. в некоторой окрестности точки
и опр. в ней, то
1)
f´(x)
)
- Max
f´(x)
2)
f´(x)
)
- Min
f´(x)
Доказательство основано на теореме Лагранжа.
y=
25. Направление выпуклости.
Если
функция f(x)
имеет на (a;b)
вторую производную и f´´(x)
0
(f´´(x)
0)
,
то график функции имеет выпуклость
направленную вниз(вверх). Доказательство
Запишем уравнение касательной R
в точке
;
y=f(
уравнение
касательной. Рассмотрим интервал (a;b)
на нёразложим по формуле Тейлора
y=f(
+
(x-
+
;
;
Y-y=
;
y-Y
;
y-Y
,
y
Точки
перегиба графика функции:(
)
называется точкой перегиба графика
функции y=f(x),
если график имеет в этой точке касательную
и разные напр. выпуклости слева и справа
от этой точки.