
- •1. Матрицы и действия над ними.
- •2. Определители второго и третьего порядков.
- •3. Миноры и алгебраические дополнения.
- •4. Обратная матрица.
- •5. Решение систем линейных алгебр. Уравнений. Теорема Крамера.
- •6. Линейная балансовая модель Леонтьева.
- •7. Метод Гаусса-Жордана.
- •8. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.
- •9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектор. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов.
- •11. Скалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в зад. Отношении.
- •1 5. Координатные уравнения прямой в пространстве.
- •16. Координатные уравнения прямой на плоскости.
- •17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •18. Координатные уравнения плоскости.
- •19. Общие уравнения прямой в пространстве.
- •2 0. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •22. Поверхность второго порядка
- •1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.
- •2.Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)
- •4.Первый замечательный предел.
- •5.Второй замечательный предел.
- •6.Бесконечно-большие и бесконечно‑ малые функции. Сравнение бесконечно‑малых функций. Асимптотические формулы.
- •7.Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •8.Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9.Понятия сложной и обратной функций.
- •10. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной.
- •11. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •12. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
- •13. Понятие дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного.
- •14. Производные постоянной, тригонометрических и логарифмической функций.
- •15. Производные обратной и сложной функций
- •16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.
- •17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.
- •18. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
- •20. Теоремы Ферма и Ролля.
- •21. Теорема Лагранжа и Коши.
- •22. Теорема Лопиталя.
- •23. Теорема Тейлора.
- •24. Признак монотонности.
- •25. Направление выпуклости.
- •26. Необходимые условия точки перегиба.
- •27. Асимптоты графика функции.
- •28. Комплексные числа.
- •29. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •30. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня.
22. Поверхность второго порядка
о
бщее
ур-ние поверхностей второго порядка в
прямоуг. системе координат имеет
вид:
Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Exz+2Fyz+Gx+Hy+Iz+5=0
Эллипсоид
-наз.
поверхность, которая в некоторой
декартовой системе координат (ДСК)
имеет вид:
+
= 1
Рассечём
поверхность || xOy
сечением z
= h
(h
> 0):
+
= 1
=
1 -
*
→
+
= 1
+
= 1 - эллипс
a1
b1
в
сечении получаются эллипсы, если:
1)
|h|
< |c|
- эллипс
2)
|h|
> |c|
- мнимые эллипсы (на поверх. не сущ.)
3)
|h|
= |c|
- две точки (0; 0; -С) и (0; 0; С)
! аналогично
для сечений x
= h;
y
= h
. В сечении получ. точки, эллипсы и мнимые
эллипсы:
Однополостный
гипербалоид
-наз.
поверхность в некоторой ДСК, имеющая
вид:
-
= 1 рассечём поверхность || xOy
сечением z
= h
> 0:
a1
= a
;
b1
= b
h
→∞ (h
стремится к бесконечности)
a1
→∞ ; b1
→
эллипсы при z
= h
при x
= h
> 0
-
= 1
+
= 1→
-
= 1
b1
c1
в сечении получается гиперб.
1)
Если |h|
< |a|
- гипербола
2) Если |h|
> |a|
- мнимые гиперболы
3) Если |h|
= 0 - две прямые y
=
я
! аналогично, для сечения y
= h
> 0, в сечении получаются
гиперболы
Двухполостный
гиперболоид
-наз.
поверхность, которая в некоторой ДСК
имеет вид:
-
= -1
при
z
= h
> 0, если
1) |h|
< |с| - мнимые эллипсы
2) |h|
> |с| - эллипсы
3) |h|
= |с| - две точки (0; 0; -С) и (0; 0; С)
при x
= h
и x
= h
(h>0)
гиперболы
Эллиптический
параболоид
-наз.
поверхность, которая в некоторой ДСК
имеет вид:
= z
при z
= h
> 0
= 1 - эллипс
1) Если |h|
> 0 - эллипс
2) Если |h|
< 0 - мнимый эллипс
3) Если |h|
= 0 - точка (0; 0; 0)
при y
= h
> 0 y2
= 2pz
- парабола
при x
= h
> 0 x2
= 2pz
- парабола
Гиперболический
параболоид
-наз.
поверхность, которая в некоторой ДСК
имеет вид:
= z
при
z
= h
> 0 получ. гиперболы
при x
= h
> 0 получ. параболы
при y
= h
> 0 получ. параболы
Конус
второго порядка
-наз.
поверхность, которая в некоторой ДСК
имеет вид:
-
= 0
при
z
= h
z
= h
> 0 - эллипсы
z
= h
= 0 - точка (0; 0; 0)
z
= h
< 0 - эллипсы
при x
= h
= 0
-
= 0 и
+
= 0 - 2 прямые при y
аналогич. как x
1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.
Понятие
множества является одним из основных
неопределяемых понятий математики.
Под множеством понимают совокупность
(собрание, класс, семейство...) некоторых
объектов, объединенных по какому-либо
признаку. Объекты, из которых состоит
множество, называются его элементами.
, где x-элемент
множества.
Операции над множествами:
1.Объединением
(или суммой) множеств А и В называется
множество, состоящее из элементов,
каждый из которых принадлежит хотя бы
одному из этих множеств.
2. Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В.
3.Разностью
множеств А и В называется множество С,
состоящее из всех элементов множества
А, которые не принадлежат множеству
В.
4.
Множество
X
называется ограниченным сверху(снизу),
если существует такое число С, что для
любого
выполняется
неравенство x ≤ C
(x
≥ C).
Множество, ограниченное и сверху, и снизу называется ограниченным.
Наименьшее из чисел, ограничивающих множество X сверху, называется точной верхней гранью данного множества. (sup X)
Наибольшее из чисел, ограничивающих множество X снизу, называется точной нижней гранью данного множества. (inf X)
Абсолютная
величина числа–величина, определяемая
след. обр.:
Свойства:
|
|
4. Док-во: +
|
5. Док-во:
6.
|
Функцией
или отображением называется отображение
из множества X в множество Y при α каждому
элементу из множества X сопоставлен
один и только один элемент множества
Y.(y=f(x);
)
Способы задания: Аналитический, Графический, Словесный (вербальный), Табличный
Классификация функций:
1. Простейшие: а) y=const - постоянная б) y=kx+b – линейная в)
y= г)
y= д)
y= е)
y= ж)
y= 2.
Элементарная функция
– функция полученная с помощью четырех
арифметических действий, а так же
операций взятия функции от функции.
( |
3.
Целые алгебраические функции:
4. Дробно-рациональные функции:
5. Иррациональные функции. ( 6. Функция не являющееся дробно-раиоальной или рациональной называются трансцендентной. |