
- •1. Матрицы и действия над ними.
- •2. Определители второго и третьего порядков.
- •3. Миноры и алгебраические дополнения.
- •4. Обратная матрица.
- •5. Решение систем линейных алгебр. Уравнений. Теорема Крамера.
- •6. Линейная балансовая модель Леонтьева.
- •7. Метод Гаусса-Жордана.
- •8. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.
- •9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектор. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов.
- •11. Скалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в зад. Отношении.
- •1 5. Координатные уравнения прямой в пространстве.
- •16. Координатные уравнения прямой на плоскости.
- •17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •18. Координатные уравнения плоскости.
- •19. Общие уравнения прямой в пространстве.
- •2 0. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •22. Поверхность второго порядка
- •1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.
- •2.Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)
- •4.Первый замечательный предел.
- •5.Второй замечательный предел.
- •6.Бесконечно-большие и бесконечно‑ малые функции. Сравнение бесконечно‑малых функций. Асимптотические формулы.
- •7.Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •8.Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9.Понятия сложной и обратной функций.
- •10. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной.
- •11. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •12. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
- •13. Понятие дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного.
- •14. Производные постоянной, тригонометрических и логарифмической функций.
- •15. Производные обратной и сложной функций
- •16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.
- •17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.
- •18. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
- •20. Теоремы Ферма и Ролля.
- •21. Теорема Лагранжа и Коши.
- •22. Теорема Лопиталя.
- •23. Теорема Тейлора.
- •24. Признак монотонности.
- •25. Направление выпуклости.
- •26. Необходимые условия точки перегиба.
- •27. Асимптоты графика функции.
- •28. Комплексные числа.
- •29. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •30. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня.
8. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.
Ранг матрицы наз. число равное порядку наибольшего минора из порядка данной матрицы, отличной от нуля. Свойства: rangA; r(A)
1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется
2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг не меняется 3. Ранг матрицы не изменяется при элемен. преобразованиях матрицы. 4. Ранг канонич. матрицы равен числу единиц на главной диагонали
пример:
Ранг матрицы — это наибольшее число ее линейно независимых строк.
План действий: необх. привести к ступен. виду, далее найти det, если ∆≠0, то ранг найден, если ∆=0, то нужно найти наим. алгеб. допол.
пример:
0*3+4=4≠0
rangA=2
Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка формула, составленной из элементов матрицы А, которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется. k≤min(m,n)
Число
миноров порядка k может
быть вычислено как
,
где
- число сочетаний из p по k и
из n по k соответственно.
Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных алгебр. уравнений (СЛАУ) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Если ранг совестной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
пример:
Таким образом, r(A)≠r(Ā), следовательно, система несовместна
9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектор. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
Прямоугольная
система координат в пространстве
устанавливает взаимно-однозначное
соответствие между точкой и пространства
и упорядочивается тройкой чисел.
оси:
Ох –
абсцисса; Оy
–
ордината;
Ох –
апликат;
Вектор
–
это направленный прямолинейный отрезок.
Виды: коллинеарные (
),
равные (|A|=|B|,
,
одинак. направ.), компланарные (aϵφ,
bϵφ
или aϵφ,
bϵβ,
β||φ).
латынь:
ко
–
со;
планер
–
плоскость;
линеал
–
прямые
проекция вектора на ось
П
роекция
вектора AB на ось l
назыв. отрезок A1B1
взятый со знаком плюс, если вектор
совпад. с направлением осью, и минус
если нет. Проекции вектора на ось
положительны (отриц), если вектор
образует с осью острый (тупой) угол, и
равна нулю, этот угол – прямой. Проекции
векторов на одну и ту же ось равны между
собой. Направляющими косинусами вектора
а=(x;y;z)
наз. косинусы углов α, β,
γ, образуемых вектором а
с осями координат. найдите cosα,
где α-угол между вектором а(x,y,z)
и единичным вектором (ортой) i=(1;0;0)
по формуле:
10. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов.
П
од
линейные операции над векторами
понимают операции сложения и вычитания
векторов, а также умножение вектора на
число.
|
|
|
|
|
правило треугол-ка |
пр. параллелограмма |
пр. сложения 3-х векторов |
П
од
разностью векторов a
и b
понимается вектор с=а-b
такая, что b+c=a
(AC=a+b;
BD=a-b)
Произведение вектора а на скаляр
(число) λ назыв. вектор λа, который имеет
длину |λ| |a|,
коллинеарен вектору а, имеет направ.
а, если λ>0 и противоположен, если
λ<0.
Теоремы
о проекциях векторов. Проекция
вектора на ось равна
произведению
длины
вектора на cosφ
(вект. и осью) → прia=|а|cos cos(π-φ)
= -cosφ
Проекция
суммы векторов равна сумме их проекции.
Если вектор умножить на число, то
проекция тоже умнож. на число.
Линейная
зависимость векторов.
Выр-ие вида λ1А1+
λ2А2+…+
λnАn=0
назыв. линейной комбинацией векторов
А1,
А2,
…, Аn
с коэф. λ1,
λ2,
…,
λn.
Система векторов А1,
А2,
…, Аn
назыв. линейно зависимой,
если сущ. ненулевой набор чисел λ1,
λ2,
…,
λn
при
котором линейная комбинация векторов
λ1А1+
λ2А2+…+
λnАn=0
имеет ненулевое решение.
|
Задав по своему усмотрению значения свободной переменной х3=1, получаем частное ненулевое решение х=(-3;2;1) -3А1+2А2+1А3=0 |