16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.
Производная показательной функции: у=ах, у'=ахlna
Производные
обратных тригонометрических ф-ций:
(arcsinx)’=
x(y)=sin
y
; x'(y)=cos
y=
;
y'=
(arccosx)’=
(arctgx)’=
x'(y)=tg
y,
x'(y)=
; y'=
(arcctgx)’=
17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.
Логарифмическая производная.
y=ln
U;
y'=(ln
U)'=
Для примера найдем производную показательно степенной функции x в степени x.
Логарифмирование дает ln y=ln xx. По свойствам логарифма ln y=x*ln x. Дифференцирование обеих частей равенства приводит к результату:
ln y=x*ln x
(ln y)'=(x*ln x)'
*y'=x'*ln
x+ x*(ln x)'
y'=y*(1*ln
x+x*
=y*(ln
x+1)=xx*(ln
x+1).
Формула производной степенной функции имеет вид (x)' = n * xn-1, где показатель степени p – любое действительное число.
ln
y=ln
xn=n*
ln
x;
; y'=ny
18. Таблица производных простейших элементарных функций.
f(kx+b) |
f’(kx+b) |
ctg(kx+b) |
|
(kx+b)p |
kp(kx+b)p-1 |
arcsin(kx+b) |
|
ekx+b |
kekx+b |
arccos(kx+b) |
|
akx+b |
kakx+blna |
arctg(kx+b) |
|
ln(kx+b) |
|
arcctg(kx+b) |
|
loga(kx+b) |
|
sh x |
ch x |
sin(kx+b) |
k cos(kx+b |
ch x |
sh x |
cos(kx+b) |
-k sin(kx+b) |
th x |
|
tg(kx+b) |
|
cth x |
|
19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Рассмотрим
функции, заданные параметрическими
уравнениями:
x=ϕ(t),
y=Ψ (t);
t
Параметрически заданную функцию можно рассматривать как сложную:
х=ϕ(t)
; t=
(x)
; (
(x)≠0)
y=Ψ (t) =Ψ( (x))
y'=Ψ' (t) (
(x))'=
формула
производной параметрически заданной
функции:
y'=
20. Теоремы Ферма и Ролля.
Т
еорема
Ферма. Пусть
f(x)
задана на открытом промежутке и достигает
в
своего max(min),
тогда если f(x)
имеет f´(x),
то она равна 0.
Доказательство:
Допустим
точка maх;
f´(
)=
∆f=(f(
+∆x)-f(
))≤0
+ ∆x
1
)∆x
0
∆f
˂0 следовательно
˂
0
=f´(x)
≤ 0 2)∆x˂0
∆f
0
следовательно
0
=f´(x)
0
Из этих условий следует, что f´(x)=0
Теорема
Ролля.
Если
функция f(x)
непрерывна на отрезке
,
дифференцируема во всех точках интервала
(a;b)
и на концах x=a
и x=b
принимает равные значения (f(a)=f(b)),
то существует внутри интервала (a;b)
по крайней мере одна точка x=c
, a˂c˂b,
в которой производная f´(х)
обращается в ноль, т.е. f´(с)=0
Доказательство
:
Рассмотрим
два случая: 1)Если
непрерывна на
,
то по второй теореме Вейерштрасса.
М-наиб. m-наим.
M=m
следовательно f(x)-const.
F´(x)=0,
x
(a;b)
2)Если m˂M
то хотя бы одно из значений функции
достигает внутри промежутка. Значит
это локальный экстремум. Следовательно
по теореме Ферма f´(c)=0Теорема
Ролля имеет наглядный физический смысл.
Предположим, что тело движется вдоль
прямой и через некоторый промежуток
времени возвращается в исходную точку.
Тогда в данном промежутке времени
существует момент, в котором мгновенная
скорость тела была равна нулю.