
- •1. Матрицы и действия над ними.
- •2. Определители второго и третьего порядков.
- •3. Миноры и алгебраические дополнения.
- •4. Обратная матрица.
- •5. Решение систем линейных алгебр. Уравнений. Теорема Крамера.
- •6. Линейная балансовая модель Леонтьева.
- •7. Метод Гаусса-Жордана.
- •8. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.
- •9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектор. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов.
- •11. Скалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в зад. Отношении.
- •1 5. Координатные уравнения прямой в пространстве.
- •16. Координатные уравнения прямой на плоскости.
- •17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •18. Координатные уравнения плоскости.
- •19. Общие уравнения прямой в пространстве.
- •2 0. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •22. Поверхность второго порядка
- •1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.
- •2.Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)
- •4.Первый замечательный предел.
- •5.Второй замечательный предел.
- •6.Бесконечно-большие и бесконечно‑ малые функции. Сравнение бесконечно‑малых функций. Асимптотические формулы.
- •7.Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •8.Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9.Понятия сложной и обратной функций.
- •10. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной.
- •11. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •12. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
- •13. Понятие дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного.
- •14. Производные постоянной, тригонометрических и логарифмической функций.
- •15. Производные обратной и сложной функций
- •16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.
- •17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.
- •18. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
- •20. Теоремы Ферма и Ролля.
- •21. Теорема Лагранжа и Коши.
- •22. Теорема Лопиталя.
- •23. Теорема Тейлора.
- •24. Признак монотонности.
- •25. Направление выпуклости.
- •26. Необходимые условия точки перегиба.
- •27. Асимптоты графика функции.
- •28. Комплексные числа.
- •29. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •30. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня.
8.Основные теоремы о непрерывных функциях.
Т
еорема
1: Если f(x) и g(x) непрерывны в точке
,
то
- непрерывны в этой точке.
Теорема
2 ( о сохранение знака): Если
f(x) непрерывна в точке
,
то существует некоторая окрестность
точки
,
в которой функция имеет тот же знак,
что и в точке
Т
еорема
3 (первая теорема Больцано-Коши): Если
функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]
и принимает на концах значения разных
знаков,
то существует точка такая, что
Т
еорема
4 (вторая теорема Больано-Коши): Если
функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]
и f(a)=A,
f(b)=B
и A ≤ C
≤B,
то существует такая точка
, что f(c)=C.
Т
еорема
5 (первая теорема Вейерштрассе): Если
функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b],
то она ограничена на этом орезке.
f(a)=inf f(x); f(b)=sup f(x)
Т
еормема
6 (вторая теорема Вейерштрассе): Если
функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b],
то она достигает на это отрезке
наименьшего значения m и наибольшего
значения М.
9.Понятия сложной и обратной функций.
Пусть даны две функции z = f(y) и у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу h(x) = f(g(x)).
Пусть дана функция у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости у = f(x) можно переменную х однозначно выразить через переменную у. Выразив х через у, мы получим равенство вида х = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f. Если функция gявляется обратной для функции f, то и функция является обратной для функции g. Пару функций f и g называют взаимно обратными функциями.
Если мы одновременно построим графики функций f и g в одной и той же системе координат, откладывая по оси абсцисс аргументы обеих функций, а по оси ординат –их значения, то эти графики будут симметричны друг другу относительно прямой у = х.
10. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной.
Производной
функции у=f(х)
в т. Х0
называется
предел отношения приращения ф-ции в
этой точке к приращению аргумента при
∆х→0, т.е.
Геометрический
смысл: производная в т. Х0
равна
угловому коэффициенту касательной к
графику функции у=f(x)
в этой точке f
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в т. Х0: y= f(x0) + f ‘(x0)(x-x0)
Физический смысл производной: производная функции у=f(х) в точке Х0 – это скорость изменения функции f(х) в т. Х0: V(t)=x'(t)
11. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
Функция у=f(х) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение в этой точке можно представить в виде: ∆у=А∆х+0(∆х), где А- некоторая постоянная, а 0(∆х) – является бесконечно малой при ∆х→0.
Теорема о дифференцируемости: Для того чтобы функция у=f(x) была дифференцируема в т. Х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Cвязь
между понятиями дифференцируемости и
непрерывности.
Имеет место следующая теорема.
Если функция
y=f(x)
дифференцируема в точке х0,
то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Так как функция
y=f(x)
дифференцируема в точке x0,
то существует конечный предел
.
Тогда по теореме о связи бесконечно
малой с функцией, имеющей конечный
предел, будем иметь
,
где a(∆x) - бесконечно малая величина
при ∆x→ 0 .
Откуда ∆y=f '(x0)∆x + a(∆x)*∆x
Переходя в этой формуле к пределу при ∆х→0, получим по свойствам бесконечно малых, что
Следовательно, по одному из определений непрерывности функция y=f(x) в точке x0 является непрерывной. Обратная теорема, вообще говоря, неверна, т.е. функция может быть непрерывной в данной точке, но не быть дифференцируемой в этой точке.