2577

Расчет свода производят методом сил, составляя два уравнения деформации свода при симметричной нагрузке и отсутствии горизонтального смещения пят:

X1 11 X2 22 1p 0;

(13.25)

X1 21 X2 22 2p hc 0.

Входящие в эти уравнения перемещения определяют по одночленным формулам Мора:

без учета нормальных сил, так как для подъемистых сводов при отношении lhc 2,5 влияние обжатия оси свода нормальными силами невелико и им можно пренебречь. При M1 = 1 и M2=y записывают

Составляющие угла поворота пят свода определяют по уже известной формуле

Mп Jп Kп .

При X1=1 Mn=1 и 1 1 Jп Kп , при внешней нагрузке

Mn=Mpn и p Mп Jп Kп .

При определении грузовых перемещений 1p, 2p, p наряду с активными нагрузками необходимо учесть силы упругого отпора породы и силы трения, выраженные через максимальное перемещение h. Это перемещение можно представить в виде

222

Перемещения точки h под действием единичных усилий X1=1; X2=1 и внешней нагрузки P находятся по формулам (при

Mh=y1):

где sh – длина осевой линии обделки от пяты до сечения h. Перемещение h , вызванное поворотом пяты на угол ,

определяется по формуле (см. рис. 13.12, д)

где yn –перпендикуляр из пяты на направлениенормалив точке h. Полный угол поворота пят свода заменяют суммой углов

поворота пят от действия единичных сил X1, X2 и внешней нагрузки (по принципу независимости действия сил и закону пропорциональности):

Решая эти уравнения, определяют неизвестные X1 и X2 с учетом сил упругого отпора.

Затем вычисляют изгибающие моменты и нормальные силы в сечениях обделки:

Mm Mmp X1 X2 ym;

(13.33)

Nm Nmp X2 cos m .

223

Для определения усилий и перемещений ввиду сложного очертания оси подъемистого свода применяют способы приближенного численного интегрирования – формулы Симпсона или Котеса (13.4), (13.5).

Метод Зурабова и Бугаева применяют на стадии проектирования вариантов обделки, а более точным является метод Метрогипротранса, с помощью которого форму эпюры упругого отпора определяют расчетом. Этот метод прост и точен, им можно рассчитывать обделки любого очертания при постоянной и переменной жесткости, но он связан с большим объемом вычислений. Метод удобен для использования ЭВМ.

Сущность метода заключается в том, что заданная система преобразуется в расчетную введением следующих допущений: плавное очертание обделки заменяют на ломаное (вписанный многоугольник); непрерывное изменение жесткости обделки – на ступенчатое, причем в пределах стороны многоугольника жесткость обделки принимают постоянной; распределенные внешние нагрузки – на силы, сосредоточенные в вершинах многоугольника; сплошную упругую среду – на отдельные упругие опоры, приложенные в вершинах многоугольника, кроме тех, которые находятся в безотпорной зоне (рис. 13.13).

Рис. 13.13. Расчетная схема обделки

Размеры этой зоны зависят от степени жесткости обделки и

на упругих опорах

свойств окружающих пород. Чем более плотная порода и менее жесткая обделка, тем меньше размеры безотпорной зоны.

224

Силы трения в подошве обычно превышают сдвигающие усилия, что учитывается введением жесткой горизонтальной опоры на уровне подошвы стены.

В качестве основной системы принимают шарнирную цепь путем введения шарниров в замке и в местах упругих опор. Лишними неизвестными являются парные изгибающие моменты в симметричных шарнирах

(рис. 13.14).

Неизвестные определяются решением канонических уравнений вида

Mk ik ip 0;

0.M0 00 M1 01 M2 02 Mn 0n 0p 0;

1. M0 10 M1 11 M2 12 Mn 1n 1p 0; (13.34) 2. M0 20 M1 21 M2 22 Mn 2n 2p 0;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n. M0 n0 M1 n1 M2 n2 Mn nn n np 0.

Для определения перемещений основной системы применяется развернутая формула строительной механики, преобразованная в соответст-

225

вии со стержневым характером системы и с учетом изгиба и обжатия стержней, а также осадки упругих опор:

где am – длина m-го стержня; Dm K am b – характеристика жестко-

сти опоры шириной b и длиной am; K – коэффициент упругого отпора. Влиянием поперечных сил пренебрегают в силу их малости. В мяг-

ких и неустойчивых породах можно не учитывать влияние обжатия стерж-

ней и определять перемещения по двучленной формуле без Ni, Nk. Пренебрежение влиянием обжатия вызывает некоторое уменьшение изгибающего момента в наиболее напряженном замковом сечении обделки. Если не учитывать трение между обделкой и породой, которое производит противоположное действие, то запас прочности конструкции не уменьшается.

Усилия в основной системе от внешней нагрузки и единичных моментов определяют, используя принцип независимости действия сил, путем рассмотрения условий их равновесия в каждом узле – вершине многоугольника. Систему расчленяют на трехшарнирную арку, находящуюся в безотпорной зоне, и многошарнирную цепь на упругих опорах.

Усилия в арке находят из условия ее равновесия путем решения

226

же нормальные силы N в стержнях 0-a, а-в, в-1.

x H0 H1 Ei 0; y Vi Pi 0;Mi H0 y1 Pi x1 xi Ei y1 yi 0.

Совместно решая эти уравнения, получают

H0 1y1 Pi x1 xi Ei y1 yi ;

Усилия в шарнирной цепи определяют способом последовательного вырезания узлов (каждый узел представляет собой систему сил, сходящихся в одной точке), т.е. в каждом узле отдельно, учитывая соответствующие реакции, передающиеся на цепь от трёхшарнирной арки. В каждом узле составляют по два уравнения равновесия: сумму проекций всех сил на ось, совпадающую с радиусом кривизны, и сумму проекций всех сил на ось, перпендикулярную этому направлению (рис. 13.16):

многошарнирной системы от действия внешних нагрузок и единичных моментов.

227

Для проверки правильности вычисления усилий в основной системе от единичных моментов используется следующее обстоятельство. Если приложить единичные моменты сразу по направлению всех неизвестных, то основная система окажется в состоянии чистого изгиба, и при этом нормальные силы и реакции упругих опор будут равны нулю, т.е. при суммировании усилий всех единичных состояний должны соблюдаться условия

Mmk 1; Nmk 0; Rmk 0. (13.36)

Определив усилия в основной системе, а также перемещения, решают канонические уравнения и находят лишние неизвестные – парные изги-

бающие моменты в замке и упругих опорах Mk.

Значения окончательных усилий в сечениях обделки – изгибающих моментов в сечениях трёхшарнирной арки, а также нормальных сил в стержнях и реакций упругих опор определяют на основании принципа суперпозиции, т.е. суммированием усилий, которые вызваны в основной системе моментами в шарнирах и внешними нагрузками:

где Mmp, Nmp, Rmp – усилия и реакции опор от действия внешних нагрузок;

Mk – моменты, полученные в результате решения системы канонических уравнений(неизвестныемоменты);Mmk, Nmk, Rmk – усилия и реакции опор в основной системе от действия единичных моментов.

Изложенный метод расчета обделки может быть использован и при расчете обделок замкнутого очертания, где упругая среда заменяется упругими опорами на всем контуре взаимодействия обделки и породы.

13.3. ОБДЕЛКИ КРУГОВОГО ОЧЕРТАНИЯ

13.3.1. Расчетные схемы

Расчетные схемы обделок кругового очертания разделяют на две группы. В первую группу входят расчетные схемы для обделок из монолитного бетона и железобетона, сборныхметаллическихижелезобетонныхобделокспостояннымисвязями растяжения, в которых элементы обделок (тюбин-

228

ги и блоки) соединены болтами, металлическими клиньями или сваркой выпусков арматуры.

При проходке тоннелей в слабых водонасыщенных породах, не оказывающих существенного сопротивления деформациям обделки под воздействием внешних нагрузок и в условиях всестороннего горного и гидростатического давления (илы, плывуны, водонасыщенные пески,текучиесупесии суглинки, пластичные глины, породы с коэффициентом крепости менее 1) обделку рассчитывают как кольцо в податливой среде (свободно деформируемое).

В более плотных устойчивых породах средней крепости (коэффициент крепости f = 1 4), обладающих упругими свойствами и оказывающих существенное сопротивление деформациям обделки под воздействием внешних нагрузок, расчет обделки выполняют как расчет кольца в упругой среде, т.е. с учетом упругого отпора породы. При этой расчетной схеме рассматривают совместную работу обделки с окружающим горным массивом.

Вторая группа расчетных схем обделок кругового очертания предназначена для расчета сборных железобетонных обделок, не имеющих постоянных связей растяжения в радиальных стыках. Статическая работа таких сборных обделок определяется конструкцией и размерами элементов (блоков или тюбингов), формой стыков и свойствами окружающей породы. На характер распределения и величину внутренних усилий в обделке существенное влияние оказывают деформации, возникающие в радиальных стыках. Деформации появляются из-за образования в стыках внецентренного сжатия вследствие появления технологических дефектов торцов блоков (трещин, сколов, раковин), повреждения элементов при транспортировании, неточности сборки колец обделки при монтаже, проявления неравномерности величины горного давления. Поэтому расчетные схемы сборных обделок устанавливают с учетом деформаций радиальных стыков в зависимости от формы стыков, количества и размеров элементов в кольце обделки. По форме различают плоские и цилиндрические стыки, по размерам элементов – обделки из мелких или крупных блоков.

Применяют следующие расчетные схемы: обделки с плоскими радиальными стыками без начальных зазоров; обделки с плоскими радиальными стыками, имеющими начальные зазоры; обделки с цилиндрическими (центрированными) радиальными стыками. Все расчеты обделок выполняют по методу Метрогипротранса с учетом совместной работы обделки с окружающим породным массивом.

13.3.2. Кольцо в податливой среде (свободно деформируемое)

229

Расчетная схема и основная система расчета обделки как кольца в податливой среде приведены на рис. 13.17.

На обделку действуют вертикальное q и горизонтальное p гор-

ные давления, hв (давление воды сверху), hв+2r (то же снизу), R (реакция породы, которая равномерно распределена по горизонтальной проекции кольца):

X2

R (hв+2r) в

Рис. 13.17. Расчетная схема и основная система кольца в податливой среде

В запас прочности обделки горизонтальную составляющую реакции породы не учитывают.

Основная система вследствие вертикальной симметрии нагрузки и конструкции является дважды статически неопределимой. Расчет производится методом сил. В качестве лишних неизвестных принимают усилия X1 и X2, помещенные в упругом центре тяжести кольца, который совпадает с центром круга (см. рис. 13.17). Канонические уравнения имеют вид

X1 11 1p 0;

(13.39)

X2 22 2p 0.

Величины неизвестных X1 и X2 находят от действия произвольной нагрузки, симметричной относительно вертикального диаметра кольца.

230

Так как нагрузка не уравновешена, то в нижней точке кольца введено закрепление. Усилия в закреплении от суммы уравновешивающихся нагрузок не будет и, следовательно, это допущение не отразится на конечном результате расчёта.

Единичные ik и грузовые ip перемещения определяют по одночленной формуле Мора без учета влияния нормальных и поперечных сил:

За положительные приняты изгибающий момент, уменьшающий кривизну, и сжимающая нормальная сила.

Подставляя их значения в канонические уравнения, определяют неизвестные:

231