§7. Системы линейных уравнений: общий случай

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2551.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

16.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

+ 2x = −1;

2x1 − 3x2 − x3 − 5x4 = −7; → n = 4.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n переменными:

a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1;

am1x1 + am2 x2 + + amn xn = bm.

Поскольку каждый минор матрицы A является минором расширенной матрицы A*, но не наоборот, то

r(A *)≥ r(A).

Критерий совместности системы линейных уравнений (тео-

рема Кронекера–Капелли): для совместности системы линейных

уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы
				И
был равен рангу расширенной матрицы системы: r(A)= r(A *).
Совместная система называется определенной, если она имеет
			Д
только одно решение, и неопределенной, если она имеет больше о д-
ного решения.		А
		А
	б
	и

Пусть ранг матр цы A равен r , и определитель r -го порядка, отличный от нуля (баз сный м нор), расположен в левом верхнем углу матрицы AС(это всегда можно сделать простой перестановкой уравнений в системе). Тогда первые r строк матрицы A* линейно независимы, а остальные (m − r) строки линейно выражаются через них.

Т.е. первые r уравнений системы линейно независимы, а остальные (m − r) уравнений являются их следствиями. Достаточно решить

лишь первые r независимых уравнений, т.к. остальные уравнения будут этим решениям удовлетворять.

Возможны два случая:

1. r(A)= r(A *)= r = n (ранг равен числу неизвестных).

Систему из первых r уравнений можно решить по формулам Крамера. Система m линейных уравнений с n неизвестными совместна, определена, имеет единственное решение.

x − y + z = 3.

x + 2 y − z

x − y + 3z− x − 2 y −

=2;

=1;

z = 0; n = 3.

Матрица системы имеет вид
		1		2		−1
		1	−1			3
		1	−1			3
	A =	−1	− 2			−1	.
		−1	− 2			−1
		1	−1			1
		1	−1			1
							И
Расширенная матрица системы имеет вид
	1 2 −1 2			Д
	1 2 −1 2					1	2 −1 2

		А				1	−1 3 1
1 −1 3 1				~		1	−1 3 1
A* =	−1 − 2 −1 0			~	−1		− 2	−1 0	.
	б
	1 −1 1 3					0	0	0 0
	и
То есть четвертое уравнение системы – линейная комбинация

первых трех. Минор третьего порядка, расположенный в верхнем ле-
С
вом углу матрицы, отл чен от нуля:
	1	2	−1	= 6, r(A *)= 3.
∆ =	1	−1	3	= 6, r(A *)= 3.
	−1	− 2	−1

Этот определитель состоит из строк матрицы A , r(A)= 3. Получили r(A) = r(A*) = 3 = n . Система имеет единственное

решение, это решение находится по формулам Крамера из системы (четвертым уравнением можно пренебречь):

x + 2y − z = 2;		x = 3;

x − y + 3z = 1; y = −1;
	− x − 2y − z = 0.	z = −1.

2. r < n.

Возьмем первые r уравнений системы (1), первые r переменных назовем основными, остальные (n − r) переменных назовем сво-

бодными. Слагаемые, содержащие свободные переменные, перенесем в правые части:

+ + a12 xr = b1 − a1r+1xr+1 − − a1n xn ;

a11x1 + a12 x2

(3)

x + a

+ + a

= b

− a

rr+1

− a

r1 1

Решая систему (3) по формулам Крамера,

получим формулы,

выражающие основные переменные x1, x2 , , xr

через свободные пе-

ременные xr +1, xr +2 , , xn . Придавая свободным переменным произ-

вольные значения,

получаем бесконечное множество всех решений

системы.

Пример.

Решить систему

− x

+ x

= 1;

+ 2x

− x

+ x

− x

+ 2x

− x

= 0;

и1

− x

− 2x

+ 3x − 9x

+ 5x

= 1;

+ 3x

− 2x − x

= 1.

Находим ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы:

	3	2	−1	−1	1
	1	1	−1	2	−1
A =						r(A)= 2.
	−1	− 2	3	− 9	5


	4	3	− 2	1	0

r(A) = r(A*) = 2 < n = 5.

Минор второго порядка, отличный от нуля, расположен в левом верхнем углу матрицы A*. Составим подсистему, состоящую из первых двух уравнений (остальные уравнения – их линейная комбинация), и решим её относительно переменных x1, x2 . Остальные

(n − r) = 5 − 2 = 3 переменные x3, x4 , x5 считаем свободными.

			3x			+ 2x				2	= 1+ x					+ x			4	− x ;
				1						2				3					4	5
			x1 + x2 = x3 − 2x4 + x5;
									∆ =			3		2	=1.
									∆ =			3		2	=1.
												1		1
Решая эту систему по формулам Крамера, получим
													Д
x = ∆1 = ∆1 =					1+ x3 + x4 − x5											2			= 1− x + 5x − 3x ;
	1							А										И3			4		5
		∆	1		x3 − 2x4						+ x5					1
x = ∆2 =			∆2 =	3 1+ x3 + x4 − x5													= −1+ 2x − 7x + 4x .
2		∆	и						− 2x4 + x5											3		4	5
2		∆	1	1		x3			− 2x4 + x5											3		4	5
		С									, x			мы получим бесконечно много
При разных значен бях x , x											, x		5	мы получим бесконечно много
							3			4			5

решений системы.

Замечание 1. При выборе другого базисного минора мы имели бы другие формулы, описывающие то же множество решений системы (3). Например, если в примере за базисный взять минор второго порядка, стоящий в правом нижнем углу, основными переменными

будут x4 и x5 , а свободными − x1, x2 , x3.

Замечание 2. Если в исследуемой системе число уравнений совпадает с числом неизвестных, det A = 0 , то r(A)< n . В случае, ко-

гда r(A)≠ r(A *), система несовместна.

Задачи для самостоятельного решения

1. Исследовать системы уравнений. В случае совместности системы найти все её решения:

x + y + z = −4;

а) 5x + 3y − 4z =11;

x − 3y + 5z = −8;

x + 2y − z = 1;

в) − 3x + y + 4z = 2;

12x −11y +17z = 3;

б)

г)

5x − 2y + 2z = 4;

3x + 2y − 4z = 2;x − 2y + 3z = 1;

3x − y + 2z = 9;

x − 5y + 3z = −4;x − 7 y + 4z = 5;

x + y + z = 4;

x1 − 2x2 + x3 + x4 = 1;

д) x − y + z = 5;

е) x1 − 2x2 + x3 − x4 = −1;

x + y + 2z = 6;

− 2x

+ x

+ 5x

= 5;

2x + y + z = 2;

2x1 − x2 + x3 − x4 = 1;

x + 3y + z = 5;

− x

− 3x = 2;

з)

ж)

3x1 − x3 + x4 = −3;

x + y + 5z = −7;

+ 2x

− 2x

+ 5x

= −6;

Д2x

2x + 3y − 3z = 14;

x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 4;

4x + 2x

+ 3x + x

= 5;

− x

+ x

= −3;

и)

− x1 − x2

+ x3

к)

+ 3x2 − 3x4 = 1;

+ x4

− 7x + 3x

+ x

= −3;

2x1 − 2x2

+ x3

− x4 + x5 = 1;

x +С2x − x + x

− 2x = 1;

л)

= 1;

4x −10x

+ 5x

− 5x

+ 7x

−14x

+ 7x

− 7x

+11x

= −1.

2. Подобрать λ так, чтобы система уравнений имела решение

	2x	− x	2		+ x	+ x	4	=1;
	1		2		3		4
	2x1 + 7x2 − 4x3 −11x4 = λ;
x + 2x				2	− x	+ 4x		4	= 2.
	1			2	3			4

3. При каких значениях a система уравнений

5x − 8y + 9z =1;

3x − 2y + z = a;2x + y + z = −1

а) имеет единственное решение? б) не имеет решений?

4. Исследовать систему при различных значениях λ1, λ2 , λ :

λ1x + y + z = 4;

λy + z

= λ;

а) x + λ2 y + z = 3;

б)

+ y

+ λz = λ2 ;

2λ2 y + z = 4;

λx

+ y + z =1.

x +

Ответы:

+ z

; y = 13z −1;

1. а) x =1; y = −2; z = −3;

б)

x =

в) несовместна; г) несовместна;

д) x = 5 ; y = −

1 ;

z = 2;

e) x = 2x − x ; x = 1;

ж) x =1; y = 2; z = −б2; з) x = 0; x = 2; x = 5; x = − 4;

2 − 2x3

− 5x1

− 5x3 − 2x1

и) x2 =

;

где x1,

x3 – любые действительные числа;

к) x1 = −8; x2 = 3 + x4 ; x3 = 6 + 2x4 ;

л) x = 2 + x5 ;

= 1+ 3x3 − 3x4 + 5x5 .

2. λ = 5.

3. а) a ≠ 3; б) a = 3.

2λ2 −1

4. а) Если λ2 (λ1 −1) ≠ 0,

x =

;

y =

;

λ2 (λ1 −1)

λ2

z =

2λ1λ2

− 4λ2

(λ −1)

= 1 , решения зависят от одного параметра. В ос-

Если λ = 1, λ

тальных случаях система решений не имеет.

; z = (λ +1)2 .

б) Если

(λ −1)(λ + 2)≠ 0 , x = −

λ +1

;

y =

λ + 2

Если λ =1, система имеет решения,

зависящие от двух парамет-

ров. Если λ = −2, система решений не имеет.

Вопросы и задания для самопроверки [1,2,3,4,6]

1.Какая система линейных уравненийИназывается однородной?

2.Дайте определение совместной системы.

3.Дайте определение расширенной матрицы системы.

4.Сформулируйте теорему КронекераД–Капелли.

5.Как исследуется система на совместность с помощью нахождения рангов матрицы системыАи расширенной матрицы системы?

6.Как найти базисный минор системы линейных уравнений?

7.Какие переменныебсистемы называют базисными, а какие свободными?

8.Какая системаилинейных уравнений называется однородной?

9.Какой особенностью по числу решений обладают однородные системы линейныхСуравнен й?вестных) – метод нахождения множества решений системы линей-

ных уравнений – заключается в приведении расширенной матрицы системы

a		a		a		b
	11		12		1n	1
a21		a22		a2n		b2
A* =

		a		a		b
a	m1		m2		mn
						m

с помощью элементарных преобразований, производимых только над строками этой матрицы, к трапециевидному

	a		a	a	a		b
	a		a	a	a		b
		11	12	1m		1n	1
~		0	a′	a′	a′		b′
~			22	2 m		2 n	2
A =		0	0
		0	0
		0	0	a′		′	′
		0	0	a′		′	′
				mm		amn	bm

или близкому к нему виду (см. прил. 5).

Система уравнений, соответствующая матрице A , эквивалентна исходной.

–прибавлять к любой строке другуюИстроку, умноженную на любое число; Д

–переставлять строки A*;

–умножать строки матрицыАA* на любые числа, кроме нуля;

–вычеркивать одну из двух пропорциональных строк;

–вычеркивать нулевуюбстроку. получаетсяПри выполнении преобразований над расширенной матрицейи

а)	0		С
а)					с стема меет единственное решение (совмест-
на);
б)	0					система имеет множество решений (совместна);
б)						система имеет множество решений (совместна);

в)	0 0=	1		система противоречива, решений не имеет (несо-
в)				система противоречива, решений не имеет (несо-

вместна).

Примеры. Решить системы уравнений методом Гаусса:

x + y − z = 4;2x − y + 3z = 8;x − y − 3z = 0;4x + y − z =12.

Выписываем расширенную матрицу и делаем элементарные преобразования только со строками:

	1		1	−1	4 (− 2) (−1) (− 4)	1		1	−1	4

									И		−	2	(−1)
		2	−1	3	8		0	− 3	5	0


A =		1	−1	− 3	0	~	0	− 2	− 2	− 4		3		~



		4	1	−1	12		0	− 3	3	− 4

1 1		−1		4							1 1		−1		4


															0
												Д			0
0 − 3			5	0		б								5
~	0 0	−	16	− 4	−	2 3				~	0 0		−	16	− 4		.
	0 0	−		− 4	−						0 0		−		− 4
				и						А
			3				16			А				3	−	5
	0 0	− 2		− 4							0 0			0		2
			С
	Система приведена к трапециевидному виду. Последнее уравне-
ние:		5
	0 = −	5	− противоречие						система несовместна (решений нет).
	2.	2
	2.						x + 3y − z = 2;
							x + 3y − z = 2;
								2x − y + 2z = 3;
								2x − y + 2z = 3;
								3x + 2y + z = 5.
								3x + 2y + z = 5.

Выписываем расширенную матрицу и делаем элементарные преобразования только со строками:

	1 3			−1	2 (− 2) (− 3)	1 3			−1	2		1 3			−1	2
	1 3			−1	2 (− 2) (− 3)	1 3			−1	2		1 3			−1	2


A =		2	−1	2	3	~	0	− 7	4	−1	(−1)~		0	− 7	4	−1 .
A =		2	−1	2	3	~	0	− 7	4	−1	(−1)~		0	− 7	4	−1 .

		3	2	1	5		0	− 7	4	−1			0	0	0	0

Нулевую строку отбрасываем, выписываем систему:

x + 3y

− z = 2;

−7 y = −1

− 4z y =

1 + 4 z.

− 7 y + 4z = −1

7 7

Подставляем в первое уравнение:

x + 3

z − z = 2;

x + 3

12 z − z = 2;

x =

11 − 5 z.

Получили

А11 5

−

y =

− любое число.

Получили

множество

решений.

Например,

x =

; y =

или

x =

;

y =

z = 0;

z = 1;

и другие, которые

получаются при различных z .

Проверку сделаем для любого из наборов, например для перво-

го:

				11 + 3 + 0 = 14 = 2;
				7		7			7
				7		7			7
				22	−	1	+ 0 =		21	= 3; − верно.
				7	−	7	+ 0 =		7	= 3; − верно.
				7		7			7
				33	+	2	+ 0	=	35	= 5.
				7	+	7	+ 0	=	7	= 5.
				7		7			7
	11	−	5	z;
x =	7	−	7	z;	z −любое число. Решений множество.
Ответ:	7		7		z −любое число. Решений множество.
	1		4
		+ 7 z.
y = 7		+ 7 z.

		3.						x − y + z = 1;						И
		3.

											Д
								3x + y + z				= 5;
												3.
								x + y + z =				3.
		Преобразуем расширенную матрицу
							б
	1		−1 1		1 (− 3) (−1)				1	−1 1			1				1
										А4 − 2						1
A =		3		1 1	5			~	0	А4 − 2			2		−	2	~ 0
	1			1 1	3				0 2 0				2			2	0
	1			1 1	3				0 2 0				2				0
					С

		Получили				и
			x − y + z = 1;				z = 1;
			4y − 2z = 2; 4y − 2 1 = 2; x = 1+ y − z = 1
							y = 1.
			z = 1;				y = 1.

Проверка:

1−1+1 = 1;

3 +1+1 = 5; − верно.1+1+1 = 3.

−1	1	1

4	− 2	2
			.
0	1	1

+1−1 = 1;

Ответ: x =1; y =1; z =1. Решение единственное.

Преобразуем расширенную матрицу

		1	− 4	2	0 −1		1	− 4 2 0 −1
		2	− 3	−1 − 5 − 7		~	0	5 − 5 − 5 − 5	~
A* =		2	− 3	−1 − 5 − 7		~	0	5 − 5 − 5 − 5	~
		3	− 7	1 − 5 − 8			0	5 − 5 − 5 − 5
		3	− 7	1 − 5 − 8			0	5 − 5 − 5 − 5
	1	− 4	2 0		−1			И
	0
~	0	1 −1 −1 −1 .
	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0
Отсюда		rangA = rangA* < n = 4 ,							4 − 2 = 2
Отсюда		rangA = rangA* < n = 4 ,					решений множество,		4 − 2 = 2

неизвестных могут быть выбраны произвольно. Исходная система эк-
вивалентна треугольной:									Д
вивалентна треугольной:					А
	и				А
	и								= −1− 2x ;
			x	− 4x			2		= −1− 2x ;
	С		1				2				3
	С		x		= −1+ x + x					4	.
			б2						3	4
Если положить x3 = 1;				x4 = 2 (1, 2 − произвольные числа), то по-
лучим
	x2 = −1+1+ 2; x1 = −5 + 21+ 42 .
5.	2x1 + 3x2 − x3 = 2;
	2x1 + 3x2 − x3 = 2;
		7x1 + 4x2 + 2x3 = 8; → n = 3.
		7x1 + 4x2 + 2x3 = 8; → n = 3.
		3x − 2x				2		+ 4x = 5.
			1			2			3

Здесь

−1 2			3	2	−1		2	3	2
	2	7	4	8		0	11 10 12
A* =					~					.
	4	3	− 2 5			0	0	0	1

Отсюда заключаем: rangA = 2; rangA* = 3, следовательно, система неразрешима (несовместна).

6.
x1 − x2 + x3 =12;
2x			+ 3x				− x =13;			И
	1				2		3			И
	1				2		3			n = 3.
	3x	2	+ 4x = 5;							n = 3.
		2				3
− 3x				+ x			+ 4x		= −20.
			1			2		3	Д
			1			2		3

Преобразуем расширенную матрицу системы:

			1	−1 1				12				1 −1 1
					б
A* =			2	3		−1		13			~		0 5 − 3
				и
			0	3		4	А5						0	3	4

			− 3 1			4		−					0 − 2 7
			− 3 1			4		−	20				0 − 2 7
	1 −1 1 12								1		−1 1 12
		0 − 2 7 16								0	− 2 7 16
~		0 − 2 7 16						~		0	− 2 7 16
~								~							.
						58				0		0	1	2
	С0 0 29					58				0		0	1	2

		0 0 29 58								0		0	0 0
		0 0 29 58								0		0	0 0

11 ~

Заключаем: rangA = rangA* = 3 = n , т.е. система уравнений раз-

решима, решение единственно. Треугольная система имеет вид

x1 − x2 + x3 = 12;

− 2x2 + 7x3 = 16;

x3 = 2.

Отсюда x1 = 9; x2 = −1; x3 = 2.

Для демонстрации видео

нажмите на кнопку

https://www.youtube.com/watch?v=l9R2vqWOS2E

Задачи для самостоятельного решения

а)

в)

д)

е)

Решить методом Гаусса системы уравнений:
x + 2y + 3z = 2;																	x					+ 2x					И
x + 2y + 3z = 2;																	x					+ 2x				+		3x	− x				= 0;
																					1	− x			2			3			4
x − y + z = 0;																б)				x		− x			+ x			+ 2x			= 4;
																б)					1		2				3			4
	x + 3y − z = −2;																			x		Д							− 4x					= −4;
																					1			2				3				4
	2x + 4y + 3z = 1;																x					+ 8x			2	+ 7x			− 7x				4	= 6;
																					1				2			3					4
																А
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4															+ 5x5						= 0;					x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 3;
											б
	2x1 + 3x2 +									4x3 + 5x4 + x5 = 0;																			4x2 + 5x3 + 2x4 = 2;
	2x1 + 3x2 +									4x3 + 5x4 + x5 = 0;																x1 +			4x2 + 5x3 + 2x4 = 2;
	3x + 4x						+ 5x				+ x				+ 2x = 0; г)												2x + 9x + 8x + 3x = 7;
	1				2				и								5											1			2			3		4
	1				2					3			4				5											1			2			3		4
x + 3x			2	+ 5x +12x										4		+ 9x					= 0;						3x + 7x				2		+ 7x		+ 2x		4	= 12;
	1		2							3				4				5										1			2			3			4
		С
4x1 + 5x2						+ 6x3					− 3x4					+ 3x5 = 0;										5x1 + 7x2 + 9x3 + 2x4 = 20;
12x1 +14x2 −15x3 + 23x4 + 27x5 = 5;
										− 22x3 +					29x4 + 37x5 = 8;
16x1 +18x2										− 22x3 +					29x4 + 37x5 = 8;
										− 21x3 +					32x4 + 41x5 = 9;
18x1 + 20x2										− 21x3 +					32x4 + 41x5 = 9;
10x		+12x					2			−16x		+ 20x					4		+ 23x					= 4;
	1						2				3						4					5
	10x1 + 23x2 +17x3 + 44x4																				= 25;
	15x	+ 35x							2	+ 26x				+ 69x				4			= 40;
	1								2		3							4
25x		+ 57x						2		+ 42x			+108x						4		= 65;
	1							2			3								4
	30x	+ 69x						2		+ 51x			+133x						4		= 95;
	1							2			3								4

45x1 − 28x2 + 34x3 − 52x4 = 9;
	36x	− 23x	2	+ 29x	− 43x		= 3;
	1			3		4
	35x1	− 21x2		+ 28x3 − 45x4			= 16;
ж)
	47x	− 32x	2	+ 36x	− 48x	4	= −17;
	1			3
	27x1	−19x2		+ 22x3 − 35x4 = 6.

2.Какая система линейных уравнений задаёт три различные прямые на плоскости, проходящие через одну точку?

3.Какая система линейных уравнений задаёт три прямые на плоскости, образующие треугольник?

4.Написать уравнение, найти центр, радиус сферы, проходящей

через точки (1,1,1), (1,1, −1), (1, −1,1), (−1, 0, 0).
	5. Найти уравнение и определить вид кривой второго порядка,
																											2					2
проходящей через пять точек: (3, 0),																Д								5,	− 6			,			− 5, − 6		,
проходящей через пять точек: (3, 0),																(− 3, 0),								5,	− 6		3	,			− 5, − 6	3	,
																											3					3
	2																				И
5, 6	3	.																			И
	3									б
	Ответы:									б
	Ответы:											А) система несовместна;
	1. а) x = −1;						y = 0; z = 1;					А) система несовместна;
				С							x				= x		;
	в) множество решений:												4			5			−12x					;
	в) множество решений:											x		2	= −2x				−12x					;
									и					2				3					5
											x				= x			+15x				;
													1			3					5
		x	=	1 x		4	+ 31;								x			= x		4	− 53 x + 20 ;
		1		2		4			6							1				4			18		5		9
				2					6												5		18		5		9		5
			=	2	;																5	x4		+	5	x5	−		5	;
	г) x2		=	3	;							д) x2 = −									2	x4		+	6	x5	−		6	;
				3	1 x				− 7 ;												2				6				6
		x	= −		1 x			4	− 7 ;						x			=	2 x				−	1	;
		3			2			4	6							3			9		5			9
					2				6										9					9
	е) система несовместна;											ж)			x1 = 1;				x2 = 2;						x3 = −4;						x4 = −3.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.202116.32 Mб12547.pdf
#
07.01.202116.47 Mб92548.pdf
#
07.01.202116.58 Mб42549.pdf
#
07.01.2021374.21 Кб1255.pdf
#
07.01.202116.64 Mб302550.pdf
#
07.01.202116.81 Mб72551.pdf
#
07.01.202116.85 Mб162552.pdf
#
07.01.202117.36 Mб52553.pdf
#
07.01.202117.48 Mб112554.pdf
#
07.01.202117.58 Mб02555.pdf
#
07.01.202117.65 Mб152556.pdf