§4. Крамеровские системы линейных уравнений

a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1;

a

x

+ a

22

x

2

+

+ a

2n

x

n

= b ;

21 1

2

(1)

+ am 2 x2 + + am n xn = bm.

am1x1

Коэффициенты этих уравнений, записанные в виде матрицы, на-

зываются матрицей системы:

И

a

a

a

11

12

1n

a21

a22

Д

A

=

.

a

А

m1

m 2

m n

б

Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец

свободных членов:

и

b1

С

B

=

b2

.

b

m

a11

a12

И

a1n

∆ = det A =

a21

a22

a2n

≠ 0

,

Д

am1

am 2

am n

б

деляемое по формулам Крамера (прил. 5):

∆1

∆2

∆n

x =

;

x А= ; ; x

n

=

,

1

∆

2

∆

∆

С

где ∆i

– определитель, который получается из определителя системы,

если

в нем i-й столбецизаменить столбцом

свободных членов

(i =1, 2, ,n).

Пример.

Решить систему:

x + y + z = 1;

2x − y + z = 0;

x − y + 2z = −1.

1

1

1

1

1

1

3

2

= −(9 − 4)= −5 ≠ 0,

∆ =

2

−1

1

=

3

0

2

= −1

1

−1

2

2

0

3

2

3

1

1

1

1

1

1

−1 1

∆x =

0

−1 1

=

0 −1 1

=

= −3 ;

−1

−1

2

0

0

3

0

3

1

1

1

1

1

1

2 1

= −(6 − 2) = −4;

∆ y =

2 0 1

=

2 0 1

= −1

1

−1

2

2

0

3

2

3

И

А

1

1

1

1

1

1

∆z =

2 −1 0

=

2

−Д1 0 =

2

−1

= 2.

2 0

1

б

2

0

0

−1

−

1

Решение получаем по формулам Крамера:

x =

∆x

= 3; y =

∆y

=

4

; z =

∆z

= −

2 .

5

и∆ 5

∆

∆

5

Правильность решения системы проверяется подстановкой ре-

шения в системуС.

Проверка:

3

+

4

−

2

=

5

=

1;

5

5

5

5

2

3

−

4

−

2

= 0;

5

5

5

3

−

4

− 2

2

= −1.

5

5

5

ний совпадает с числом неизвестных

и

определитель системы от-

личен от нуля,

то есть система является крамеровской.

Заменим исходную систему (1) эквивалентным ей матричным

уравнением

AX = B,

(2)

x

1

x2

где X =

− матрица-столбец, составленная из переменных.

xn

Поскольку

матрица A

– невырожденная, значит, существует

обратная к ней матрица A−1. Умножим обе части уравнения (2) на A−1

слева:

А

И

A

−1

−1

(AX ) =ДA B .

Имеем

и

−1

= A

−1

B;

С

б(A A)X

EX = A−1B;

X = A−1B.

x − 2y − z = 5;

Решить систему

3x + y + 2z = 0;

1

− 2

−1

=1 ≠ 0.

∆ =

3

1

2

1

2

2

x

5

− 2

2

− 3

5

− 7

И

y =

A−1

0

=

− 4

3 − 5

0

=

−15

,

−1

5

− 4 7

18

z

−1

т.е. x = −7; y = −15;

z =18.

Д

А

Задачи для самостоятельного решения

б

1. Решить системы по формулам Крамера:

и

x1 − x2 − 2x3 = 3;

2x − y − z = 4;

С

2x1

− x2

+ 2x3 = −4;

а) 3x + 4y − 2z = 11;

б)

4x1

+ x2

+ 4x3 = −2;

3x − 2y + 4z = 11;

3x + 2y + z = 5;

x + 2y + 4z = 31;

в)

2x + 3y + z = 1;

г) 5x + y + 2z = 29;

3x − y + z = 10;

2x + y + 3z = 11;

3.

Найти многочлен y = f (x) 3-й степени, график которого про-

ходит через точки (0,1); (1, −1); (2,5); (3, 37).

4.

Найти

квадратный

многочлен

f (x), зная,

что

f (1)= −1;

f (−1)= 9; f (2)= −3.

третьей степени y = f (x),

5.

Найти

многочлен

для

которого

f (−1) = 0; f (1) = 4;

f (2) = 3;

f (3) = 16.

И

Ответы:

Д

1. а) x = 3;

y =1; z = 1;

)

x =1; x

= 2; x = −2 ;

в) x = 2; y = −2;

z = 3

А1 2

3

; г)

x = 3; y = 4; z = 5;

д)

x = −1;

б

е) x =1; y = 2; z = −1; t = −2.

y = −1; z = 0; t =1;

2. а) x = 5;

y =

3

;

б) x =1;

y = 0; z = 2;

и2; z = +

2

в) x = 2; y = 0; z = −1; г) x = 2; y = −5; z = 3.

3

2

3.

y = 3x

С

− 5x

+1.

4.

f (x) = x2 − 5x + 3.

5.

f (x)= 2x3 − 5x2 + 7 .