Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2551.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

16.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Образец решения контрольной работы для обучающихся по заочной форме

1. Выполнить линейные преобразования, найти определитель:

2	1	3	−1
2	1	3	−1
1	2	2	3	.
1	3	1	4
2	2	3	1

Решение. Получаем нули в первом столбце определителя, используя простейшие свойства определителя. Прибавим к третьей строке определителя вторую строку, умноженную на (–1), получим

	2	1		3		−1				2		1		3		−1
	2	1		3		−1				2		1		3		−1
											Д
	1	2		2		3			=	1		2		2			3	=
	1	3		1		4			А						−1И1
	1	3		1		4				0		1			−1И1
	2	2		3		1				2		2		3			1
				б
Теперь умножим вторую строку на ( –2), прибавим к первой и
четвертой строкам:
С					0		− 3			−1			− 7
					0		− 3			−1			− 7
				=	1			2		2				3		=
		и0						1		−1				1
				0			− 2			−1				− 5
Вычисляем определитель, раскладывая по первому столбцу:
= 1 (−1)2+1				− 3 −1 − 7											− 4 −1 − 8
				− 3 −1 − 7											− 4 −1 − 8
			1 −1 1								= −				0 −1 0				=
				− 2 −1 − 5											− 3 −1 − 6

116

Делаем разложение по второй строке:
= −(−1) (−1)2+2		− 4	− 8		= +((− 4) (− 6)− (− 3) (− 8)) = 24 − 24 = 0.
		− 4	− 8
		− 3 − 6
Ответ: 0.
2. Решить систему методом Крамера.
					x + 3y − z = 0;
						2x + y + z = 4;
						2x + y + z = 4;
						3x − y − z = −1.
						3x − y − z = −1.
Решение. Находим определитель системы:
∆ = det A =		1	3	−1						3		4	0


		2	1		1			=		2		1	1	=
		2	1		1			=		2		1	1	=
		3	−1	−1						5		И
												И
												0	0
								Д
								Д
Делаем разложение по третьей строке:
= 5 (−1)3+1				4		0	А				1 0) = 20 ≠ 0
				4		0	А
				1		1	= 5	(4 1−
				б
Система крамеровская.
		и
Ищем вспомогательные определители:
С									0			3	−1
∆x =	0 3 −1								0			3	−1
	4 1					1		=	4 1 1						=
	4 1					1		=	4 1 1						=
		−1	−1		−1				3			0	0
		−1	−1		−1				3			0	0

Делаем разложение по третьей строке:

	3+1	3	−1		∆x		12

= 3	(−1)	1	1	= 3 (3 − (−1)) = 3 4 = 12 x =		=	20 .
					∆

117

1	0	−1	3	4	0
∆y = 2	4	1	= 2	4	1 =
3	−1	−1	5	3	0
Делаем разложение по третьему столбцу:

2+3		3		4		= −(9			− 20) = 11 y =								∆y		11
2+3		3		4													∆y		11
= 1 (−1)		5 3																=	20 .
= 1 (−1)		5 3															y	=	20 .
			∆z =					1		3		0
								1		3		0
								2		1		4			=
								3 −1 −1
Прибавим ко второму столбцу третий, умноженный на ( –1). За-
											Д
тем первую строку определителя прибавим ко второй строке:
								А							И
		1		3			0				1		3		0
	=	2		− 3			4			=	3		0	4		=
		3	б								3		0		−1
		3		0				−1			3		0		−1
Делаем разложен е по второму столбцу:
1+2	3		4		= −3 (− 3 −12)													∆z		45
= 3 (−1)														= 45		z =			=	20	.
= 3 (−1)														= 45		z =		∆	=		.
	и3 −1																	∆
ПроверкаС:

1)1220 + 3 1120 − 2045 = 0 − верно;

2)2 1220 + 1120 + 2045 = 4 − верно;

3)3 1220 − 1120 − 2045 = −1 − верно.

Ответ: x = 1220; y = 1120; z = 2045.

118

3.Решить систему методом Гаусса:

x + 3y − z = 0;

2x + y + z = 4;

3x − y − z = −1.

Решение. Выпишем матрицу системы и приведём её к треугольному виду:

(− 2) 1 3 −1

0 (− 3)

1 3

−1

~ (− 2)

0 − 5 3

2 1 1

−1 −1

−1

0 −10 2

−1

− 5

− 4

− 9

Выписываем систему по получившейся матрице:

x +

3 y − z = 0

− 5 y

+ 3 z = 4

− 4 z

= −9

Подставляем z во второе уравнение и находим y :

−5 y + 3 2045 = 4;

−5 y = − 5520 ;

y = 55520 = 1120 .

Подставляем в первое уравнение z и y :

119

				x + 3 11			− 45 = 0;
						20	20
				x =		12 .
						20
Ответ: x =	12	;	y =	11 ;		z =	45 .
	20			20			20
4. Решить матричное уравнение
				1 3			−1	2		3	1
					2 1		1		0	1	2
			X		2 1		1	=	0	1	2	.
									И
					3 −1		−1		3	3	2

						A				B

Решение. Уравнение можно записать и решить в матричном

виде:

X A = B;

(X A)A−1

= B A−1;

А−1

−1

;

X (A A )=

B A

бX E = B A−1;

X = B A−1 − формула для решения.

Найдём A−1 .

−1

= 20 ≠ 0 A−1 существует.

3 −1 −1

Находим алгебраические дополнения:

A = (−1)2

A = −

2 1

= 5;

A = +

2 1

= −5;

= 0;

−1

3 −1

120

A = −			3	−1		= 4;					A		= +				1				−1				= 2;					A23 = −			1		3			=10;
A = −			3	−1		= 4;					A		= +				1				−1				= 2;					A23 = −			1		3			=10;
21			−1	−1						22							3				−1												3		−1

A = +		3 −1			= 4;						A32 = −					1 −1								= −3; A = +										1 3			= −5.


31		1		1												2			1										33					2	1

Итак, матрица алгебраических дополнений имеет вид
										~				0					5					− 5
										~				4					2				10
										A		=		4					2				10				.
														4				− 3						− 5
														4				− 3						− 5
Транспонируем ее:																		Д
																		Д
									~T						0				4							4
									~T						5				2							− 3
									A			=			5				2							− 3		.
														− 5				10
														− 5				10								−И5

Находим A−1:								б
Находим A−1:												А4
						и						А4														4
															0
															0				20							20
			С
			С					A−1 =							5					2						− 3 .
								A−1 =						20					20							− 3 .
														20					20							20
														− 5					10							−	5
														− 5					10							−	5
														20					20							20
Теперь вычислим							X = B A−1 :
										0					4							4							10			24			−			6

				2 3 1										20					20										20			20				20
				2 3 1										20					20										20			20				20
										5					2								3			=					5	22				13 .
	X =			0 1 2						5					2				−				3						−		5	22			−
	X =			0 1 2					20					20					−			20							−			20			−
				3 3 2					20					20								20							20			20				20
				3 3 2					−	5				10					−				5						5			38			−			7

										20				20								20							20			20				20
										20				20								20							20			20				20

121

Теперь (для проверки) нужно подставить найденную матрицу X в исходное уравнение, перемножить матрицы A X , получить B.

	10		24	−	6

	20		20		20

Ответ: X =	−	5	22	−	13	.
			20		20
	20
	5		38	−	7

	20		20		20

5. Проверить выполнение теоремы Кронекера–Капелли. Решить

систему линейных уравнений																	И
					5x			− x		+ 2x			+ x				И
					5x			− x	2	+ 2x			+ x		4	= 2;
						1			2			3			4
					2x1 + x2 + 4x3 − 2x4 = 1;
					x		− 3x		2	− 6x			+ 5x			4	= 0.
						1			2			3				4
						б
Решение. Составляем расширенную матрицуДсистемы и преобразуем
ее:					и				А2 1
					и
			5 −1 2					1								− 3 − 6 5 0
		=		2 1	4 − 2					1		~		5		−1		2	1 2	~
	A	=		2 1	4 − 2					1		~		5		−1		2	1 2	~
				С
				1 − 3 − 6 5						0				2			1	4 − 2 1
				1 − 3 − 6 5						0				2			1	4 − 2 1
			1	− 3	− 6		5			0
			0	14	32	− 24				2
~			0	14	32	− 24				2	.
			0	7	16	−12			1
			0	7	16	−12			1

В процессе преобразований третью строку поставили на первое место, затем получили нули в первом столбце с помощью линейных преобразований строк. Вторая и третья строки пропорциональны, поэтому любую из этих строк можно вычеркнуть. Получили матрицу

1		− 3	− 6	5	0
						.
	0	7	16	−12	1
	0	7	16	−12	1

122

Ранг этой матрицы равен 2. Мы делали одновременно преобразования и для матрицы системы, и для расширенной матрицы системы. То есть ранги этих матриц равны.

rangA = rangA = 2 .

Условие теоремы Кронекера–Капелли выполнены, система совместна. При этом ранг матрицы системы равен 2 и меньше 4 – числа

неизвестных, поэтому решений бесконечно много.

Минор второго порядка,

отличный от нуля, – это, например,

минор

1 − 3

. Выберем его в качестве базисного.

Перепишем систему в виде

− 3x

= 6x

− 5x

;

7x = 1−16x

+12x .

То есть мы рассматриваем

x1, x2 как базисные переменные, а

x3, x4

б7

как свободные. Решаем систему. Из второго уравнения систе-

мы находим

x = 1 (1−16x +12x ) .

Подставляем x2 в первое уравнение и находим x1:

− 3 (1−16x +12x

) = 6x − 5x

;

7 x1 − 3 + 48x3 − 36x4 = 42x3 − 35x4 ;

x1 = 17 (3 − 6x3 + x4 ).

Общее решение системы имеет вид

123

x1 = 17 (3 − 6x3 + x4 );

x2 = 17 (1−16x3 +12x4 );

x3, x4 − произвольные.

Система имеет бесконечно много решений. Выпишем несколько частных решений:

;

= 2

;

= −

8 ;

;

= −

;

= −

;

и т.д.

= x

= 0;

= 2;

= −1;

Дx = 1

1 (3 − 6x

+ x

);

Ответ:

(1−16x

+12x

);

, x

− произвольные.

С3 4

124

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.202116.32 Mб12547.pdf
#
07.01.202116.47 Mб92548.pdf
#
07.01.202116.58 Mб42549.pdf
#
07.01.2021374.21 Кб1255.pdf
#
07.01.202116.64 Mб302550.pdf
#
07.01.202116.81 Mб72551.pdf
#
07.01.202116.85 Mб162552.pdf
#
07.01.202117.36 Mб52553.pdf
#
07.01.202117.48 Mб112554.pdf
#
07.01.202117.58 Mб02555.pdf
#
07.01.202117.65 Mб152556.pdf