2

6

−4

3

9

−6

13. Найти ранг матрицы

A =

. r (A) − ?

−1

−3

2

0

0

0

1

−1

2

0

−2

2

−4

0

14. Чему равен ранг матрицы A =

. r (A) − ?

0

5

0

2

+ + a1n xn = 0;

a11x1 + a12 x2

И

a

x + a

x

+ a

m2

2

mn

x

n

= 0.

m1 1

Д

Такая система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое (три-

виальное) решение: x1 = x2 = x3

=

= xn = 0. Чтобы однородная сис-

А

тема имела ненулевые решен я, необходимо и достаточно, чтобы

ранг r её матрицы был меньше

n – числа уравнений и неизвестных

системы.

б

и

Примеры.

1. Имеет ли система решения, кроме нулевого?

С

2x − y + 2z = 0;

x − 2 y + z = 0; n = 3.

x + y + z = 0.

2

−1

2

1 − 2

1

r(A)= 2 < n.

A =

;

1

1

1

2x − y + 2z = 0;

или

2x − y = −z;

x − 2y + z = 0

x − 2y = −z.

В случае m = n однородная система имеет единственное нулевое

решение при условии det A ≠ 0. Если

И

det A = 0 , то система имеет бес-

численное множество ненулевых решений.

Д

3. Сколько решений имеет система?

А

x − 2 y + 3z = 0;

m = n = 3.

x − y + z = 0;

б

x + y − z = 0.

и

С

1

− 2

3

det A =

1

−1

1

= 2 ≠ 0.

1

1

−1

Такая система имеет только тривиальное решение x = y = z = 0.

4. Сколько решений имеет система?

x + y − 4z = 0;

3x + 3y −12z = 0;

n = m = 3.

2x + 2 y − 8z = 0.

det A =

1

1

− 4

3

3

−12

= 0.

2

2

− 8

И

1. Исследовать и найти все решения систем:

10x + 2y + 5z = 0;

Д

6x + 4y + z = 0;

а)

4x − y + z = 0;

б)

7x + y − 2z = 0;

x + 4y + 3z = 0;

2x − 5y − 3z = 0;

x + 2y − z = 0;

3x1 + 4x2 − 5x3 + 7x4 = 0;

2x − 3x + 3x − 2x = 0;

в)

и

1

2

3

4

4x

+11x

2

−13x +16x

4

= 0;

2x + y + z = 0;

1

3

б

− 2x2

+ x3 + 3x4 = 0;

7x1

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7;

3x

+ 2x

2

+ x

+ x

4

− 3x = −2;

x − 3y + z = 0;

д)

1

3

5

е)

С

+ 6x5 = 23;

9y + 3z = 0;

x2 + 2x3

+ 2x4

2x −

5x

+ 4x

2

+ 3x

+ 3x

4

− x

= 12;

1

3

5

λx − y + z = 0;

з)

x + 2y − 3z = 0;

ж)

x + y + λz = 0;

3x − 2y + 5z = 0;

x1 − 2x2 + x3 + x4 − x5 = 0;

x + 2y − z = 0;

2x

+ x

2

− x

− x

4

+ x

= 0;

и)

1

3

5

к)

3x − 5y + z = 0;

x2 + 7x2 − 5x3 − 5x4 + 5x5 = 0;

3x

− x

2

− 2x

+ x

4

− x = 0;

1

3

5

x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 0;

2x

+ x

2

− x

+ 2x

4

− 3x

= 0;

1

3

5

л)

3x

− 2x

− x

+ x

− 2x

= 0;

2

4

1

3

5

2x − 5x

2

+ x

− 2x

4

+ 2x

= 0.

1

3

5

2. При каких значениях параметра система имеет ненулевые ре-

шения?

ax + 2y + z = 0;

3x + (2 − a)y + z = 0;

а) 3x + y + 4z = 0;

б)

(1− a)x + z = 0;

И

4x + (1+ a)y + z = 0.

x + y = 0;

Ответы:

Д

А

1. а)

y =

10 x;

∆ = −47;

z = −18 x; x R;

б) x = y = z = 0;

7

7

б

3x3

−13x4 ;

= 19x3 − 20x4 ;

в) x = y = z = 0; ∆ = 24;

г)

x =

x

2

и

1

17

17

д) x1 = −16 + x3 + x4 +

5x5

;

x2 =

23 − 2x3 − 2x4 − 6x5;

z

е) x = 0;

Сy = ; z R;

ж) x = −z; y = (1− λ) z; z R;

3

з) x = − 7 ; y =

7 z; z R; и) x = 3 y; z = 11 y; y R;

2

4

4

4

к) x1 = x2 = x3 = 0; x4 = x5;

л) x = − 4x4 + 7x5 ; x

2

= − 4x4 + 5x5 ; x = 4x4 − 5x5 .

1

8

8

3

8

2. а) a =

9 ; б) a = −1 ± 3.

4