5.Какими методами можно решать крамеровские системы линейных уравнений?

6.Сколько решений имеют крамеровские системы линейных уравнений?

7.В чем заключается матричный метод решения систем линейных уравнений?

§5. Ранг матрицы

В прямоугольной матрице выделим k произвольных строк и k

называется минором k-го порядка матрицы A. Матрица A имеет

Рангом матр цы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличный от нуля (прил. 6). Обозначают его r(A),

rang(A). Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы равен нулю.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называют базисными строками и столбцами.

Теорема. Пусть в матрице A имеется минор M порядка r , отличный от нуля, а всякий минор порядка r + 1, включающий все элементы минора M (окаймляющий минор), равен нулю, тогда ранг матрицы A равен r .

Эта теорема дает способ нахождения минора ранга матрицы A . Находим минор матрицы A порядка r , отличный от нуля. Затем вы-

28

числяем только миноры порядка r +1, окаймляющие этот минор. Если все они равны нулю, то ранг матрицы A равен r .

Ещё один менее трудоемкий способ нахождения ранга матрицы основан на применении элементарных преобразований матрицы,

не изменяющих ранга матрицы:

̶ перестановка строк матрицы; ̶ вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

̶ умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля; ̶прибавление к элементам одной строки соответствующих эле-

ментов другой строки; ̶те же операции со столбцами.

Любую матрицу можно элементарными преобразованиями при-

Вычисляем окаймляющие его миноры третьего порядка:

29

Все окаймляющие миноры равны нулю, значит, ранг матрицы A равен 2.

2-й способ (линейные преобразования).

В последней матрице легко выделить минор второго порядка, отличный от нуля.

Теорема о базисном миноре. В произвольной матрице каждый столбец является линейной комбинацией базисных столбцов, а каждая строка – линейной комбинацией базисных строк.

30

Следствие. Если A – квадратная матрица и det A = 0 , то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов, а также одна из строк – линейная комбинация остальных строк.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы A равен максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице (аналогичное утверждение верно для строк).

Следствие. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице.

Задачи для самостоятельного решения

1.Чему равен ранг диагональной матрицыИпорядка n ?

2.Сколько матриц k -го порядка можно составить из матрицы, имеющей m строк и n столбцов? Д

3.Составить матрицу, ранг которой равенрангов слагающих матриц. А

5. Как может измениться ранг матрицы, если приписать к ней

6.Когда Свычерк ван е одной строки (столбца) матрицы не изменяет её ранга?

7.Найти ранг матрицы A методом окаймления миноров:и

31

8. Найти значения λ , при которых матрица имеет наименьший

ранг

32

Ответы:

2. Сmk Cnk .

33

5. а) не изменится или увеличится на 1; б) либо не изменится, либо увеличится на 1 или на 2.

6.Тогда и только тогда, когда вычеркнутая строка (столбец) линейно выражается через остальные строки (столбцы).

7.а) 3; б) 3; в) 2.

8.При λ = 0 ранг матрицы равен 2; при λ = 0 ранг равен 3.

9.При λ = 3 ранг равен 2; при λ ≠ 3 ранг равен 3.

10. а) 5; б) 3; в) 2; г) 4; д) 2; е) 2; ж) 3; з) 3; и) 2.

11.а) λ =15; λ − любое.

12.Таких систем четыре: 1) a1, a3; 2) a1, a4 ; 3) a2 , a3; 4) a2 , a4 .

13.а) 1) a1, a2 ; 2) a2 , a3;

б) любые два вектора образуют базис.

1.Приведите определение минораДпорядкаИk матрицы Am×n .

2.Дайте определение ранга матрицы.

3.r (A) = 3. r (AT )− ? А

4.r (E5 ) − ? б

5.Напишите определение окаймляющего минора.

6.Что такое базисный м нор?

7.Как измен тся ранг матрицы, если к матрице дописать нулевую строку? С

8.Как измен тся ранг матрицы, если к ней приписать нулевой столбец?

9.Как изменится ранг матрицы, если к третьей строке прибавить первую с коэффициентом 2?

10.Как изменится ранг матрицы, если ко второму столбцу прибавить первый с коэффициентом 3?

11.Как изменится ранг матрицы, если переставить первый и третий столбцы?

12.Как изменится ранг матрицы, если вторую строку умножить

на 2?

34