0

2

3

5

8. Вычислите определитель матрицы

2

1

0

−1

.

0

0

− 2

8

1

1

− 3

− 2

§3. Обратная матрица

Матрица

X , удовлетворяющая вместе с заданной матрицей

A

равенствам XA = AX = E ,

где E − единичная матрица порядка n,

на-

зывается обратной к матрице A и обозначается A−1 (прил. 4). Так как

A и A−1 перестановочны, то обе они должны быть квадратными по-

рядка n.

И

Из свойств определителя получаем, что если существует матри-

ца A−1, обратная к A,

то

AA−1

E

;

A

A−1

= 1, поэтому det A ≠ 0

=

(говорят, что A

Д

– невырожденная), причем

А

A−1

=

1

.

б

A

и

Каждая квадратная матрица с отличным от нуля определителем

имеет обратную матр цу

пр том только одну.

С

A−1:

Схема отыскан я обратной матрицы

−1

1. Вычислить определитель матрицы A. (Если det A = 0 , то A

не существует.)

~

~

~

2. Составить матрицу A =

(Ai j ), где

Ai j – алгебраические допол-

нения элементов ai j матрицы A .

~

3. Транспонировать A.

1

4. Умножить последнюю на

.

det A

1

~

−1

T

Итак, A

=

(A) .

det A

3

− 4

5

2

− 3

1

A =

.

3

− 5

−1

Сначала вычислим определитель A:

det A =

3

− 4

5

= −1 ≠ 0, значит, A−1 существует.

2

− 3

1

3

− 5

−1

Считаем алгебраические дополнения

~

Ai j :

Д

~

=

1+1

− 3 1

= 8;

~

И1+2

2 1

= 5;

A11

(−1)

− 5

−1

A12

= (−1)

3

−1

б

~

= −

1+3

2

− 3

= −

А

~

2+1

−

4

5

= −29;

A

= (−1)

A13

(

1)

3

− 5

1;

21

−

5

−1

~

= (−1)

2+2

3 5

= −18;

~

2+3

3

− 4

= 3;

A22

A

= (−1)

3

−1

23

3

− 5

и

~

− 4 5

~

3 5

=

3+1

= 11;

3+2

= 7;

A

(−1)

A

= (−1)

31

С

32

2

1

−

3

1

~

=

3+3

3

− 4

= −1.

A33

(−1)

2

− 3

~

8

5

−1

− 29

−18

3

Итак, A =

.

11

7

−

1

~T

8

− 29

11

5

−18

7

Транспонируем A : A

=

.

−1

3

−1

Получаем обратную матрицу

1

~ T

1

8 − 29

11

− 8 29

−11

−1

A

=

(A)

=

5

−18

7

=

− 5 18

− 7

.

det A

−1

−1 3

1 − 3

1

−1

Для проверки правильности нахождения

A−1 нужно перемно-

жить A и A−1 в любом порядке. Должна получиться единичная мат-

рица.

Проверка:

− 8

29 −11 3

− 4 5

1 0 0

И

− 5

18 − 7

2

0 1 0

A−1 A =

− 3 1

=

.

1

− 3 1

3

0 0 1

Д− 5 −1

Существует ещё один способАотыскания обратной матрицы.

Любую невырожденную матрицу A элементарными преобразо-

ваниями только строк ( либтолько столбцов) можно привести к еди-

ничной матрице E . Если совершенные над A элементарные преобра-

и

зования в том же порядке применить к единичной матрице E , то в ре-

зультате получится матрица A−1, обратная A .

Свойства обратной матрицы:

С

1

2

2

5

7

;

б)

6

3

4

;

а)

3

4

5

− 2

− 3

1

2

2

1

1

1

1

1

1

−1

−1

2

1

− 2

;

в)

г)

1

−1

1

−1

.

2

− 2

1

1

−1

−1

1