Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2551.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

16.81 Mб

Скачать

☆

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

(СибАДИ)»

Р.Б. Карасева

				И
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
			Д
Учебно-методическое пособие
		А
	б
и
С

Омск ♦ 2016

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации, причиняющей вред их здоровью и развитию» данная продукция маркировке не подлежит.

УДК 512:64 ББК 22.143 К21

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доц. О.В. Гателюк (Омский государственный университет путей сообщения);

канд. физ.-мат. наук А.С. Толстуха (Омский государственный университет)

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве учеб- но-методического пособия.

К21 Линейная алгебра [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / Р.Б. Карасева. – Электрон. дан. − О м с к : СибАДИ, 2016. - URL: http:// bek.sibadi.org/cgi-bin/irbis64r plus/cgiirbis 64 ft.exe. - Режим доступа: для авторизованных пользователей.

Содержит теоретический и справочный материал для раздела «Линейная алгебра» дисциплины «Математика», дисциплины «Линейная алгебра» при обучении студентов экономических, технических, строительных направлений бакалавриата и специалитета для всех форм обучения.

Карасева, РиммаСибАДИБорисовна.

Содержит примеры решения задач, а также вопросы для самопроверки, контроль-

ные работы, тестовые задан я.

Имеет интерактивное оглавлен е в виде закладок. Содержит видеофрагменты обучающего и демонстрац онного характера, которые воспроизводятся с помощью проиг-

рывателя Windows Media.

Может быть полезно также магистрам, аспирантам и преподавателям математики технических вузов.

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика».

Мультимедийное издание (16,5 МБ)

Системные требования : Intel, 3,4 GHz ; 150 МБ ; Windows XP/Vista/7 ; DVD-ROM ;

1 ГБ свободного места на жестком диске ; программа для чтения pdf-файлов

Adobe Acrobat Reader; Google Chrome ; Windows Media Player, колонки

Редактор И.Г. Кузнецова

Техническая подготовка − Т.И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 15.11.2016

Издательско-полиграфический центр СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 РИО ИПЦ СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1

Введение

Алгебра – это часть математики, занимающаяся решением алгебраических уравнений любой степени. Линейная алгебра – это часть алгебры, содержащая теорию линейных уравнений.

Понятия матриц впервые были введены в математику Кэли в 1875 г. Матричные обозначения компактны, удобны при выполнении, например, линейных преобразований. Интерес к теории матриц возрос после того, как в 1925 г. Гейзенберг, Борн и другие использовали их в задачах квантовой механики. Развитие компьютерных технологий, легко осуществляющих основные матричные операции, сообщило дополнительный толчок широкому использованию матриц в различных областях знаний. Матрицы нашли большое применение в практических задачах, связанных с экономическими расчетами.

1750 г. в связи с решением системы n линейных уравнений с n

переменными Крамер предложил метод решения, который носят название «правила Крамера». Разработкой теорииДопределителей занимались Безу, Вандермонд, Лаплас, Гаусс, Коши, Якоби. Название «детерминант»

Понятие определителя впервые было даноИЛейбницем в 1693 г. В

(определитель) ввёл Гаусс (1801 г.). Коши ввел современное обозначение

определителя в виде таблицы с n строками и n столбцами. Определители в математике широко распространены. Теория определителей дает удобное


обозначение в формулах при доказательствах, а также в практических
	и
расчетах. В настоящее время нетАпочти ни одной отрасли математики, в
которой определители не		мели ы приложений.
	С	бпособие «Линейная алгебра» предназначено
	Учебно-методическое
для	обучающихся эконом ческих,		технических,	строительных

направлений бакалавриата и специалитета.

Пособие состоит из 9 параграфов: «Матрицы и действия с ними», «Определители», «Обратная матрица», «Крамеровские системы линейных уравнений», «Ранг матрицы», «Однородные системы», «Системы линейных уравнений: общий случай», «Метод Гаусса», «Собственные векторы и собственные значения матрицы». В каждом параграфе представлен необходимый теоретический материал, который сопровождается большим числом примеров решения задач по изучаемым темам, заданиями для самостоятельного решения с ответами. Пособие содержит три контрольные работы, тестовые задания, вопросы и задания для самопроверки, которые могут использоваться преподавателями для аттестации обучающихся и обучающимися для подготовки к экзамену. К

контрольной работе для обучающихся по заочной форме приведен образец решения контрольной работы.

Необходимый теоретический материал дополнительно приводится в приложениях. Кроме того, приведены требования к экзамену по разделу «Линейная алгебра».

Подробное изложение материала пособия позволит часть тем представить обучающимся для самостоятельного изучения.

				И
			Д
		А
	б
и
С

§1. Матрицы и действия с ними
Матрицей размера	m × n называют совокупность m × n чисел,
расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:
	a	a		a
	11	12		1n
	a21	a22	a2n
					.


		am2
am1		am2	amn
Числа ai j , составляющие матрицу, называют элементами мат-
рицы (i − номер строки;				И
рицы (i − номер строки;	j − номер столбца, на пересечении которых
стоит элемент ai j , i = 1, 2, , m; j =1,2, ,n ).
			Д
Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица

называется квадратной, а число строк – её порядком. Остальные матрицы называют прямоугольными (прил. 1).

Для краткости можно обозначить матрицу одной буквой, на-

пример А, В и т.п., или записывать (ai j ), где i = 1, 2, , m;							j =1,2, ,n .
Матрицу размера 1× n называют матрицей-строкой или век-
тор-строкой: (a1,a2 , ,an ).			А
Матрицу размера			А
Матрицу размера		m ×1 называют				матрицей-столбцом или век-
тор-столбцом:		б
		б
	и
С				a
				1
				a2
					.



				am
				am

Матрицу, у которой все элементы равны нулю, называют нулевой, обозначают буквой О (размер произвольный m × n).

Квадратную матрицу, у которой равны нулю все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали (т.е. диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол), называют диаго-

нальной:

	λ	0	0		0
	1	λ2	0		0
	0	λ2	0		0				λi		при	i = j;
0		0	λ		0	, или a	i j	=	λi		при	i = j;
			3				i j			0	при	i ≠ j.
										0	при	i ≠ j.

	0	0	0
	0	0	0	λn

Диагональную матрицу, у которой все диагональные элементы равны единице, называют единичной порядка n:

			1	0		0
			0	1		0
			0	1		0
	Еn =						= (δi j ),


			0	0		1
			0	0		1
					Д			i = j;
					1	при		i = j;
			А			И
здесь использовано обозначение δi j					=	И
	б				0	при		i ≠ j.
Две матрицы одного и того же размера A = (ai j ) и B = (bi j ) счи-
и									j выполняет-
тают равными тогда и только тогда, когда для всех i и									j выполняет-
ся равенство ai j = bi j .
С
Суммой двух матр ц A = (ai j ) и B = (bi j ) одного и того же раз-
мера m × n называется		матрица			C = (ci j )			размера	m × n , где
ci j = ai j + bi j для всех i и		j (прил. 2). Обозначение: C = A + B .

Произведением матрицы A = (ai j ) размера m × n на число α

называется матрица C = (ci j ) размера m × n : ci j = α ai j для всех i и j .

Обозначают C =αA.

Матрицу C = (−1)A = −A называют противоположной матрице

A .

Матрицу C = (ci j ) размера m × n называют произведением матрицы A = (ai j ) размера m × p на матрицу B = (bi j ) размера p × n , если для всех i и j элементы матрицы С находятся по формуле

ci j = ∑aik bk j = ai1b1 j + ai2b2 j + + aipbp j . k =1

Обозначение: C = AB .

Заметим, что произведение AB возможно, если число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B .

Схематически это можно изобразить так:

•

= m

Если определено произведение AB, то не обязательно BA имеет

смысл. Если A и B − квадратные матрицы одного порядка, то опреде-

лены произведения и AB , и BA, но, возможно, что AB ≠ BA.

Если AB = BA , то матрицы

B называют перестановочны-

ми. Из свойств сложения и умножения чисел легко получают свойст-

ва операций над матрицами:

A + B

= B + A.

(A + B)+ C = A + (B + C).

A + 0 = 0 + A = A.

A + (− A) = 0 .

5. α (β A)=

(α β )A.

6. α (A + B)= α A + α B.

7. (α + β )A = α A + β A.

8. α (AB)= (α A)B = A(α B).

9. A(BC)= (AB)C .

10. (A + B)C = AC + BС .

11. A(B + C)= AB + AC .

Если A = (a

) – матрица размера m × n ,

то матрица AТ = (a

j i

)

i j

размера n × m называется транспонированной по отношению к

A .

′

A иногда обозначают

A*, A .

Свойства операции транспонирования:

1.(AT )T = A.

2.(A + B)T = AT + BT .

3.(α A)T = α AT .

4.(AB)T = BT AT .

5.ET = E .

Пример.

1. Найти произведение A× B матриц:

		2	0 3		0							1	1
		2	0 3		0
										И
A =		1 1 −1 0					;	B		=		−1	3		.
												−1	3
	1 4 − 3 1						Д						3
	1 4 − 3 1											0	3
				А
Решение. У матрицы А			четыре столбца, у							В – четыре строки, поэтому
умножение матриц возможно.
	и						1		1
	и											−1			11
2 0			3 0				2					−1			11
	1 1		−1 0				2	− 4							− 6
A B =	1 1		−1 0						3		= 4				− 6	.
			б−1						3
С
1 4			− 3 1				0		3			12		− 21
							0		3
Заметим, что произведение						BA не определено, так как у В два
столбца, что не равно трем – числу строк матрицы А.
2. Найти AB и BA:
	1		1 −1						1			1	2
		2	1 0		;		B =			2		0	3
A =		2	1 0		;		B =			2		0	3		.
		3	3 1							1		−1
		3	3 1							1		−1	−1

Решение. Матрицы А, В – квадратные, одного порядка, поэтому оба произведения существуют.

1 1			−1 1		1	2
	2	1	0	2 0		3	=
AB =
	3	3	1	1	−1
						−1

1+ 2 −1				1+ 0 +1 2 + 3 +1	2		2	6
	2	+ 2	+ 0	2 + 0 + 0 4 + 3 + 0		4	2	7
=					=				;
	3	+ 6	+1	3 + 0 −1 6 + 9 −1			2	14
					10

				1	1		2			1		1	−1
				2 0			3			2 1			0
			BA =	2 0			3			2 1			0	=
				1 −1						3 3			1
				1 −1			−1			3 3			1
1+ 2 +			6 1+1+ 6				−1+ 0			+ 2			И			1
1+ 2 +			6 1+1+ 6				−1+ 0			+ 2				9	8	1

= 2 + 0 + 9 2 + 0 + 9							− 2 +		Д					11 11 1 .
= 2 + 0 + 9 2 + 0 + 9							− 2 +		0	+	3		=	11 11 1 .
	1− 2 −		3 1−1− 3				−1+ 0			−1				− 4	− 3	− 2
						А
Заметим, что			AB ≠ BA.			А
Заметим, что			AB ≠ BA.
						1		1
			и
						2
3. Найти AT , если A =						2	− 4			.
	С
	С			б−1				3
						0		3
						0		3

Решение. Матрица Aразмера 4 × 2. Матрица AT имеет размер 2 × 4:
				AT	=	1	2		−1			0
				AT	=								.
							− 4			3
						1	− 4			3		3
		Задачи для самостоятельного решения
1. A =	2 3			− 4			− 7			C			1 3 4
1. A =			; B =					;		C	=				;
					3		2						7 6
	1	− 5			3		2						7 6		− 2

− 2		− 3 − 5			2		1	4
D =				;	E =				.
	1	0	6			3	− 5	4

Можно ли сложить матрицы A и C ? Найти A + B и B + A.

Проверить на примере данных матриц, что (A B) C = A (B C).

Определено ли произведение AC ? Какого размера матрица получится в результате? Определено ли произведение CA? Почему?

2. Найти матрицу B = A AT , решив матричное уравнение

		3 4 7					=		5		8	− 3
	2A +						=					.
			6 8 − 9							6	− 2
			6 8 − 9							6	− 2	−1
3. Перемножить матрицы:											И
2	1 1	3	1			2			Д					2
2	1 1
а)	и	2 1 ;		А									(1 2 3) и	4	.

3	0 1	1				3								1
		1	0			3								1
	и
4. Найти A AT . Имеет ли смысл произведение AT A?
	С		б3				2			12
			A =								.
					4	1				13
					4	1				13
5. Найти A2 − A, если
					2			1		1
					3			1		2
			A =		3			1		2	.
					1	−1				0
					1	−1				0
	3 1 4			1		3					1	2
	3 1 4	;	B =	2		1			;		1	2
6. A =		;	B =	2		1			;	C =		.
	2 2 1
	2 2 1			−1		5					3	− 2
				−1		5

Проверить, что (AB)C = A(BC).
7. Найти A4 , если
		1	1			A	cosα		− sinα
а) A =				; б)		A	=				.
		0	1						cosα
		0	1				sinα		cosα
		4		3	2			2	3
8.		− 5		7	1			3	−1
8.	A =	− 5		7	1		; B =	3	−1	.
		1		1	− 2			1	− 2
		1		1	− 2			1	− 2

Проверить, что (A B)T									= BT AT .							И
Проверить, что (A B)T									= BT AT .
Ответы:
		9	3					2	4	6
3.		9	3			б)		1	2	3		;		в) (13).
3.	а)				;	б)		1	2	3		;		в) (13).
		10	3										Д
		10	3					3	6	9			Д
							б

		1	4			б)	cos 4ϕА− sin 4ϕ
7. а)		0	1	;		б)					cos 4ϕ					.
		0	1				sin 4ϕ				cos 4ϕ

		Вопросыии задания для самопроверки [1,2,6]
1. Приведите определение матрицы размера m × n и определение
квадратной матрицыСпорядка n.
2.	Сформулируйте определение равных матриц, нулевой матри-
цы.
3.	Запишите матрицу E4 .
4.	Дайте определение произведения матрицы А на число k.
5.	Как определяется сумма матриц?
6.	Как выглядит процедура транспонирования матрицы?
7.	Какие операции над матрицами называются линейными?
8.	Найдите произведение матриц														1	1	2
8.	Найдите произведение матриц																	.
															2		3
															2	3	3

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.202116.32 Mб12547.pdf
#
07.01.202116.47 Mб92548.pdf
#
07.01.202116.58 Mб32549.pdf
#
07.01.2021374.21 Кб1255.pdf
#
07.01.202116.64 Mб302550.pdf
#
07.01.202116.81 Mб72551.pdf
#
07.01.202116.85 Mб162552.pdf
#
07.01.202117.36 Mб52553.pdf
#
07.01.202117.48 Mб112554.pdf
#
07.01.202117.58 Mб02555.pdf
#
07.01.202117.65 Mб152556.pdf

Введение

§1. Матрицы и действия с ними