2514

Константы , и b определяются из экспериментальных данных:

Энергетический вариант теории ползучести позволяет определять долговечность деталей ДВС с учетом истории нагружения, учитывающей любые изменения температурно-силового диапазона, и совпадает с теорией длительной прочности. Под длительной прочностью понимают время в часах, в течение которого материал выдерживает нагрузку при заданных температуре и напряжениях. Например, сталь 40Х10С2М при 550 С выдерживает нагрузку дл = 24кг/мм2 в тече-

ние 100 ч (табл. П.10).

Лекция 3. Численные методы исследования напряженнодеформированного состояния деталей ДВС. Метод конечных элементов

Описание физико-химических процессов, протекающих в двигателе внутреннего сгорания и его элементах, базируется на основных законах сохранения массы, энергии и количества движения, описываемых системами дифференциальных уравнений в частных производных. Моделирование может вестись по временной и по пространственной переменным. Решить поставленную задачу позволяет применение численных методов с использованием современных ЭВМ.

К наиболее распространенным способам численного решения систем дифференциальных уравнений ДВС относятся метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). В последнее время начинает применяться еще метод граничных элементов (МГЭ). Рассмотрим только основные идеи этих методов, и затем каждый из вас в процессе выполнения курсового проекта попробует сделать расчет напряженно-деформированного и теплового состояния цилиндропоршневой группы.

В основе МКЭ лежит дискретизация расчетной области с целью определения напряженно-деформированного состояния в любой точке области на основе решения систем уравнений механики сплошной среды. При этом основные этапы метода конечных элементов состоят

вследующем:

1.Рассматриваемая область разбивается на конечное число подобластей – конечных элементов. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют всю форму области. Векторы внешних нагрузок прикладываются к узлам на границе области.

30

2.Исследуемая непрерывная функция в каждой узловой точке считается неизвестной, подлежащей дальнейшему определению.

3.Непрерывная величина функции аппроксимируется на каждом элементе с помощью выбора определенного набора функций, вид которых зависит от типа элемента и количества узловых точек, входящих в него. Полиномы подбираются таким образом, чтобы непрерывность функции сохранялась вдоль границы элемента.

Представленные уравнения конечных элементов называются функциями формы (табл. 3.1). Они значительно упрощаются, если ввести локальную систему координат с пределами изменения пере-

менной 1 1. Тогда поле перемещений = [u, v, w] в изопараметрических конечных элементах задается через функции формы элемента, которые собираются в матрицу [N], т.е. =N{ }, где { ij} – узловые перемещения.

Понятие о матрице жесткости

Рассмотрим консольную балку, нагруженную силой F1 на конце.

Вертикальные перемещения точки приложенной силы равно y Fl3 , 3EJ

матрица податливости. Заметим, что матрица податливости симметрична, так как 21 = 12 по теореме Максвелла о взаимности перемещений.

Если перемещения известны, то из F = -1Y можно найти силы, но F = K Y, тогда K= -1, т.е матрица жесткости будет равна обратной матрице податливости. Переходя к объемным конечным элементам, имеем:

Вектор нагрузок Fe Fie,Fie , где Fie,Fie – матрицы сил уз-

лов i, j, ..., причем Fie,Fie – поверхностные силы и эквивалентные поверхностным напряжениям узловые силы, а также объемные силы.

Ve = ie, ej ,... – вектор приращений перемещений от нагрузок.

Силы Fie,Fie будем считать эквивалентными действующим нагрузкам т.е. KVe=Fe, где матрица жесткости имеет вид

В основу МКЭ положен вариационный принцип Лагранжа, в соответствии с которым равновесное состояние, в которое может перейти твердое тело под действием приложенных сил, характеризуется минимумом потенциальной энергии.

Полная потенциальная энергия всей системы равна деформации тела Э и работы массовых и поверхностных сил.

Для установившегося состояния можно записать

где - матрица относительных деформаций; – матрица напряжений; x – матрица рассматриваемой области твердого тела; – вся рассматриваемая область тела.

Деформации у можно выразить через перемещения с помощью уравнений Коши

33

, – множители Ляме.

E – модуль упругости тела; – коэффициент Пуансона, при этом модуль сдвига G=0,5 E/(1+ ).

34

dV dxdydz J d d d , J – определитель матрицы Якоби.

Если якобиан равен 0, то элемент вырожденный, необходимо повторить разбиение на элементы, чтобы не было нулевых.

Подставляя (3.8) и (3.6) в (3.4), получаем

Или можно записать

Э 0,5 T 0 dV 0,5 P T 0 dS,

V S

где - объемные силы; Р – внешние поверхностные силы; – деформации от ; р – деформации от поверхностных сил Р.

Решение задачи дает поле перемещений V(x). Это решение аппроксимируется с помощью координатных функций формы N и неопределенных коэффициентов Q.

Матрица перемещений U(x)=[N][Q]. (3.12) Заменяя в (3.6) V(x) на U(x), получим

где B – вектор нагрузок и задача анализа прочности в МКЭ све-

Q

лась к решению системы линейных алгебраических уравнений (3.5).

Задачу определения вектора Q неопределенных коэффициентов системы решают или методом коллокаций, или методом наименьших квадратов, или методом Галеркина, с помощью которых минимизируются невязки в среднем по области интегрирования. При этом после замены функции перемещения V(x) аппроксимирующим выражением N(x)Q в исходном дифференциальном уравнении Ляме

( G)graddivV(x) G V(x) R(x) 0,

по всем элементам вектора V(x); R(x) – вектор массовых и приложенных сил. Матрица жесткости обычно сильно разрежена, поэтому для решения (3.5) применяют методы решения разреженных матриц (метод Гаусса, метод Халецкого и др.).

Применение МКЭ сводится к следующим операциям:

1.Создание геометрической модели исследуемой среды (детали) путем геометрического моделирования или вручную на экране дисплея.

2.Выбор из библиотеки модели КЭ, задание внешних нагрузок и значений геометрических и физических параметров и граничных условий.

3.Создание в геометрической модели сетки конечных элементов

сопределением координат условных точек.

4.Приведение имеющихся объемных сил и поверхностных нагрузок к узлам сети.

а

> 350 C

б

Рис. 3.1. Конечно-элементное разбиение (сетка) блока цилиндров одного из двигателей фирмы «Москвич»: а) в числителе обозначены номера термопар, фиксировавших температуру во время испытаний двигателя, в знаменателе приведены значения замеренных температур; б) температурные поля блока цилиндров

36

5.Объединение всех конечных элементов в единую конечноэлементную модель детали. При объединении элементы матрицы K образуются суммированием тех элементов матриц жесткости Ki, отдельных КЭ, которые относятся к одному и тому же узлу и направлению перемещения.

6.Решение системы уравнений (3.14).

7.Представление результатов решения либо в виде деформированной детали, либо распределения интенсивности напряжений или температур в виде гаммы цветовой окраски.

Лекция 4. Метод конечных разностей. Метод граничных элементов

Для приближенного решения задач теплопроводности и некоторых задач газовой динамики широко применяется метод конечных разностей (метод сеток). В нем область непрерывного изменения функциональной зависимости заменяется расчетной сеткой – дискретным множеством точек (узлов).

Частные производные, входящие в дифференциальные уравнения и граничные условия, заменяются разностными соотношениями. В результате такой замены решение задачи в частных производных сводится к решению системы разностных алгебраических уравнений. Несмотря на то, что число неизвестных в этой системе значительно, решение ее упрощается, а с применением ЭВМ не вызывает проблем.

Пусть температура тела изменяется от a = 100 °C до b=500 °C. При равномерном разбиении интервала имеем: xi = a+ih, где

i = 0, 1,..., N+1, а h b a .

N 1

Пусть некоторая функция f(x) = u является аналитической, разложим ее в ряд Тейлора в окрестностях точки xi.

Сложив оба выражения, получим изменение функции в узле i.

1

u (xi) h2 u(xi h) 2u(xi) u(xi h) ,

37

h

Метод граничных элементов (МГЭ) отличается от метода ко-

нечных элементов (МКЭ) тем, что он позволяет решать задачи с использованием дискретизации лишь границы области. В то время как МКЭ и МКР требуют дискретизации всей расчетной области и расчет проводится с определением значений функции на всех узлах сеток, в МГЭ предусмотрен предварительный переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих процесс, например, теплопередачи или НДС детали к соотношениям, связывающим функции на границе области. Эти соотношения представляют собой граничные интегральные уравнения или особые функционалы. При этом число узлов уменьшается в два и более раз, возникает возможность выполнять расчеты для бесконечных областей, а также для решения задач, имеющих трещины, вычислять колебания волн в заливе и т.п. Однако данный метод пока наиболее эффективен для двумерных областей (на плоскости).

39