Вопросы и задания для самопроверки по разделу «Пределы. Непрерывность функции одной действительной переменной»

([1,2,3,4,5,6], прил. 2–5)

1.

Дайте определение функции.

С

2.

Что такое область определения функции?

3.

Какое множество называется множеством значений функции?

4.

Пр вед те определение сложной функции.

5.

Чем разл чаются явное и неявное задания функции?

ции

6.

Пр вед те определение и нарисуйте график показательной

функц .

7.

Как выглядят определение и график логарифмической функ-

?

бА0

8.

Нар суйте граф к функции y

= sin x.

9.

В как х точках равен 1 график функции y = cos x ?

10.

Укаж те множество значений функции y = arcsin x.

11.

Какова о ласть определения функции y = arccos x ?

12.

На как х промежутках функция y = tg x возрастает ?

13.

Нарисуйте график функции y = arctg x .

14.

Дайте определение о ратной функции.

15.

Какие функции называют элементарными?

16.

Приведите определение предела последовательности.

17.

Д

Какая последовательность называется сходящейся?

18.

Что такое δ-окрестность точки x ?

19.

Напишите определение предела функции при x x0.

20.

В каком случае предел функции называется правым?

21.

Дайте определение предела функции при стремлении к точке

слева.

И

22.

Укажите необходимое и достаточное условие существования

предела функции в точке.

23.

Что означает «x »?

24.

Что означает «x »?

f x A.

25.

Напишите определение lim

x

26.

Что означает запись lim f x A?

x

36. Определ те неопределенное выражение, возникающее при

определение

вычислен пределов.

С37. Как е т пы неопределенностей вы знаете?

38. Как е пределы называют первым замечательным пределом?

вторым замечательным пределом?

39. Дайте

эквивалентных б.м.

40. Сформул руйте теорему о вычислении пределов с помощью

эквивалентностей

.м.

Вариант 1

1.

Найти пределы функций:

а)

lim

3x2

4x 2

;

б)

lim

x2 4

;

в)

lim

sin8x

;

x 9x

2

x 2

x 2 x

2

3x 2

x 0 sin5x

Найти

x 3

1

x 1

x

1

)x ;

г)

lim

;

д)

lim(1

е)

lim

3x 1.

x 1

x 2

x

x 1 0

Сx

2.

верт кальные асимптоты, нарисовать схему графика

функц

бАx 1

y

x2 5

.

3.

Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разры-

ва и определ ть

х т п:

x 2;

2,

x, 2 x 0;

y(x)

1

Д

0 x .

,

Вариант 2

1.

Найти пределы функций:

а)

lim

2x2

x 6

;

б)

lim

x2 4

; в) lim

sin 2x

;

x3

7

x2 3x 10

x

x 2

x 0 sin 4x

2

2xsin x

x2 x 1

1

x 13

x 1

г)

lim

;

д)

lim

И; е) lim .

x2 9

x 3

3

x 01 cos x

x 1

ln x

x 0;

С

2x,

y(x) sin x,

0 x

;

2

2x ,

x .

2

Найти

Вариант 3

1.

пределы функций:

2x2

4x 1

x2

x 20

sin 4x

бА

а)

lim

2

;

)

lim

2

;

в)

lim

;

x

x

x

12

x 4

x

16

x 0 arcsin x

г)

lim

x 2

;

д)

lim

tg x sin x

;

е)

lim

tg3x

.

x 4 3

x2

16

x 0

x 1 cos2x

x

tg x

2

2. Найти вертикальные асимптоты, нарисовать схему графика

функции

x2

y

.

x

2

4

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разры-

ва и определить их тип:

x 1;

2x 1,

И

y(x) x2,Д1 x 2;

3

,

2 x .

x 1

Вариант 4

1. Найти пределы функций:

а)

lim

4x2

x 3

;

б) lim

x2 1

;

в) lim

sin3x

;

x 1

2x 3

x 2x2

x 1 x2

x 0 sin6x

г)

lim

3

x 6

2

;

д) lim

sin2

x tg2x

;

е)

lim

x2

x 1 1

.

x4

tg x

x 2

3 x3 8

x 0

x 1

2. Найти вертикальные асимптоты, нарисовать схему графика

функции

x2

y

5x

.

x 1

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разры-

ва и определ ть

х т п:

и

x 1;

2x 1,

1 x 1;

Сy(x) x2 1,

1,

1 x .

бА2

Вариант 5

1. Найти пределы функций:

а)

lim

4x2

x 1

;

) lim

x2 1

;

в) lim

tg4x

;

x 2x2

x 6

x 1 x

2 4x 5

x 0 sin3x

4

2

e4x 1

sin7x sin3x

г)

lim

x

;

д) lim

;

е) lim

.

x 16 3

4 2

x 0

x

x 2

ex2 e4 2

x

sin

1

2. Найти вертикальные асимптоты, нарисовать схему графика

функции

x2 2x 2

И

2

.

y

Дx 1

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разры-

ва и определить их тип:

x 0;

x 1,

y(x) x ,

0 x 2;

1

2

x

1 , 2 x .

а)

lim

3x2

x 18

;

б)

lim

x2

x 2

;

в)

lim

sin12x

;

x 2

2x 4

x 3x2

x 2 2x2

x 0 arcsin12x

5

д) lim

1

;

ln 5 2

x

.

г)

lim

9 2x

;

cosx

е)

lim

xsin x

x 8

3 x 2

x 0

x 2 10 3x 2

и

2.

Найти верт кальные асимптоты, нарисовать схему графика

функц

С

f (x)

x2 4x 4

.

x2

x 6

3.

бА

Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разры-

ва определ ть

х т

п:

ex,

x 0;

f

0 x 2;

(x) x 1,