Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2187.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

3.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Теорема 6 (о двух милиционерах). Если xn zn yn при всех n

и lim xn lim		yn a, то lim zn	a.
n	n	n
Последовательность xn , для которой выполняется неравенство
С
x1 x2	x3 , называется неубывающей.
Последовательность xn , для которой выполняется неравенство
x1 x2	x3 , называется невозрастающей.
Неубывающ е невозрастающие последовательности называ-
имеет
ются монотонными.
Теорема. Всякая монотонная ограниченная последовательность
предел.
та).	бА
				1	n
				1
Рассмотр		м последовательность 1			.
				n

Эта последовательность о ладает свойствами: 1) возрастает;

2) ограниченна [заключена в интервале 2, 3 ], поэтому она име-

ет предел, который о означим е; e 2,7 То есть		1 n	e
	lim 1

	n	n

Д
(e основание натурального логарифма log	e	x ln x;	ex	экспонен-

§ 5. Предел функции

Пусть функция y f x определена вИнекоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Число А называется пределом функции y f x в точке а (или при x a), если для любого числа 0 существует число 0 (зависящее от ), такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0 x a , выполняется неравенство f x A .

Обозначение: A lim f x .

x a

Если A lim f x , то на графике функцииy f x (рис. 6) это

x a

иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, от-

стоящих от а не далее, чем на , значения f(x) отличаются от А не бо-
лее, чем на .
С		y			y f x

		А


		0		а	x
и				Рис. 6
и
Пр мер		lim x =	а.			f x x, поэтому для
Показать,	что	lim x =	а.	В самом деле		f x x, поэтому для
		x a
любого 0:	f x а		при условии x a			(здесь = ).
Можно использовать ещё одно определение предела функции.
Число А называется пределом функции y f x в точке а, если
для любой последовательности xn ,					такой, что	lim xn a, выполня-
						n
бА
ется lim f xn A (рис. 7).				Д
n
		y
		А
		А
		f xn			y f x
				xn	И
				xn		x
				a
				Рис. 7
				15

Если для любой последовательности xn								, такой, что lim xn a,
выполняется									n
выполняется					то lim f x (предел функции равен
1) f xn			п. б. б.,		то lim f x (предел функции равен
) (рис. 8);						x a
) (рис. 8);
С
y
и									x
бА
						a
						Рис. 8
2) f xn			о. .	.,	то lim f x (предел функции равен
) (рис. 9);						x a
) (рис. 9);
		y				Д
	n					Д
	n						И
									x
						a
						Рис. 9
3) f x			б. б.,	то	lim f x (предел функции равен )
					x a

(рис. 10).

			x
С
		a
		Рис. 10

§ 6. Основные свойства пределов функции
Теорема 1. Если lim f x A и lim f x B, то A B.
	x a	x a
	словами, если предел функции при стремлении к a су-
Иными
ществует, то он ед нственный.

Доказательство. Предположим противное, то есть предположим, что у функции существуют два различных предела при стремле-

нии к а:

lim f x A и lim f x B, причем

A B. Выберем значе-

x a

и В не пересекались:

ние

так, что ы -окрестности

точек

А В

. Тогда,

по определению предела

lim f x A, у точки а

x a

найдется окрестность

x a

1, такая, что для всех x из этой окрест-

f x A

ности значения функции удовлетворяют неравенству

, то

есть лежат в -окрестности точки

. налогично,

по определению

предела lim f x В, у точки а найдется окрестность

x a

2 , та-

x a

кая, что для всех x из этой окрестности значения функции удовлетво-

ряют неравенству

f x В , то есть лежат в -окрестности точки

В.

ряющих неравенству x a , получаем,Ичто значения функции

Выберем min 1 ; 2 . Тогда для всех точек x, удовлетво-

f x должны находиться одновременно в -окрестности точки А и-окрестности точки В, которые не пересекаются. Это невозможно, мы пришли к противоречию. Поэтому наше предположение о наличии двух различных пределов у функции неверно.

Итак, A B. Теорема доказана.

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки а выполняется неравенство f x g x и lim f x A; lim g x B, то A B.

x a

Теорема 3 (о сжатой переменной). Если в некоторой окрестно-

неравенство f x x g x и

сти точки

выполняется

lim f x lim g x A, то lim x A (рис. 11).

x a

Эта теорема называется также теоремой о двух милиционерах.

y = g(x)

бА

y = φ(x)

y = f(x)

Рис. 11

Теорема 4. Пусть lim f x A;

lim g x B, тогда

x a

lim f x g x A B;

x a

lim f x g x AB;

x a

3. если B 0,

lim

f x

;

x a g x

lim С f x C A, где С число;

x a

lim f x g(x)

AB.

x a

Замечание. В результате применения теоремы 4 могут возник-

нуть выражения вида 0 ,

, 1 и подобные, которые являются

неопределенными выражениями и требуют вычисления с помощью специальных приемов.

Теорема 5 (связь бесконечно малых и бесконечно больших

функций).

1. Если lim

f x 0, то lim

x a

x a f

2. Если lim f x , то lim

x a

f x

чески

хемат

утверждение теоремы 5 можно записать так:

;

бА1

Пр меры

2x 5

1 2 5

4 1

1. lim

x2 7

lim

1 7

lim

x 1

x 1 8 2

lim

0, так как

lim tg x tg

tg x

3. Покажем, что (х) =

б.м. при x .

Действительно,

неравенство

ε выполняется для всех х,

которые удовлетворяют условию x

, то есть при

Введем теперь определенияДпредела функции при x и пре-

дела функции, равного бесконечности.

Предел функции на бесконечности

1. Если для любой xn п.б.б.,

lim f xn A, то

lim

f x A

(предел f x на равен A);

если для любой о. б. б. xn lim f xn A,

то

lim

f x A

(предел

f x на равен A).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20213.77 Mб82182.pdf
#
07.01.20213.79 Mб02183.pdf
#
07.01.20213.8 Mб192184.pdf
#
07.01.20213.8 Mб3052185.pdf
#
07.01.20213.82 Mб172186.pdf
#
07.01.20213.84 Mб72187.pdf
#
07.01.20213.85 Mб22188.pdf
#
07.01.20213.85 Mб162189.pdf
#
07.01.2021356.57 Кб1219.pdf
#
07.01.20213.86 Mб122190.pdf
#
07.01.20213.86 Mб182191.pdf

§ 5. Предел функции

§ 6. Основные свойства пределов функции