|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечательные пределы |
Приложение 5 |
|||
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. lim |
|
1 |
первый замечательный предел. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Сa |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. lim |
1 |
x |
|
|
e второй замечательный предел; |
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim 1 x 1 x |
|
e. |
|
|
|
|
|||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|||||||||||||
3. lim |
log |
1 x |
|
|
|
|
|||||||||||
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
бА |
|
||||||||||||||
lim |
ln 1 x |
|
|
1 частный случай. |
|
||||||||||||
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. lim |
|
ax 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ex 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
|
|
|
1 частный случай. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsinДx arctg x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. lim 1 x 1 . |
|||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x |
|||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
1; lim |
|
1; lim |
|
1. |
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
x 0 x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица эквивалентных функций |
|
|||||||
1) sin ~ |
|
|
; |
|
|
|
|
2)Иtg ~ ; |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
3) arcsin |
|
|
|
~ |
; |
|
4) arctg |
~ ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|||||
5) ln 1 ~ ; |
|
6) e 1 ~ ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|||||||
7) 1 n 1 ~ n ; |
|
8) a 1~ lna. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
||||
260
Приложение 6
Таблица производных
|
1. c 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. arcsinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2. xm mxm 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
10. arccosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3. a |
x |
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
lna; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ex ex. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4. loga x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
иxlna |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
12. arcctgx |
1 x2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
lnx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx. |
|
|
|
13. (shx)' = chx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
5. sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. (chx)' = shx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
6. cosx |
sin x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
бА |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
7. tgx |
|
. |
|
|
|
|
15. |
(th x) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. ctgx |
sin2 x. |
|
Д16. (cthx) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uv |
u v uv |
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v uv |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yx = yu ux .
261
|
|
Приложение 8 |
|
Необходимо знать следующие темы [1,2,3,4,5,6] |
|
1. |
Понятия функции, сложной функции. |
|
2. |
Предел числовой последовательности. |
|
3. |
Бесконечно малые последовательности, их связь с бесконечно |
|
больш ми последовательностями. |
||
4. |
Основные свойства последовательностей, имеющих предел. |
|
5. |
Понят е предела функции в точке и на бесконечности. |
|
и |
||
6. |
Основные свойства предела функции. |
|
С7. Замечательные пределы. |
||
8. |
равнен е |
есконечно малых функций, эквивалентные беско- |
нечно малые функц |
, х использование. |
|
9.Непрерывность функции в точке, основные свойства непрерывных функц й.
10.Точки разрыва графика функции, их классификация.
11.Определен е производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной.
12.Вторая производная. Физический смысл второй производ-
ной.
13.Уравнение касательной. Уравнение нормали.
14.Основные свойства производной. Производные элементарных функций. Производная сложной функции. Производные от функций, заданных неявно. Производные от функций, заданных параметрически.
15.Логарифмическое дифференцирование.
16.Производные высших порядков.
17.Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Формулы приближенных вычислений с помощью дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
18.Нахождение области определения функции, проверка четности, нечетности, периодичности.
19.Асимптоты функции: горизонтальные, вертикальные, на-
клонные.
20.Исследование функции с помощью первой производной. Промежутки монотонности, экстремумы.
21.Исследование функции с помощью второй производной. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.бАИ
263