Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2187.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

3.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

= –lim 2sin xcos x =0.

x 0 1

3. Теорема Лопиталя верна и в случае, когда x .

4. Предел отношения двух функций может существовать, в то время как предел отношения их производных не существует.

Пример

(x sin x)

lim

x sin x

= 1, но

lim

= lim

(1 + cosx) – не суще-

(x)

ствует, так как lim cosx не существует.

5. Теорема Лоп таля остается верной и в случае, если

lim

f (x)

= = .

x x0 g (x)

Пр мер

Найти lim

x x2

Решение. Имеем неопределенность вида

. Применям тео-

рему Лопиталя два раза, получаем

бАe e e

lim

= .

x x2

x 2x

x 2

§ 12. Формула Тейлора

Пусть функция f(x) имеет производные до (n

+ 1)-го порядка

включительно в некотором промежутке и число x0

принадлежит этому

промежутку. Формула

(n)

f (x) = f (x0) +

(x0)

(x – x0) +

f (x0)

(x – x0) 2 +...+

(x – x0) n +

+ Rn(x)

(8)

называется формулой Тейлора для функции f(x) , а Rn(x) называется

остаточным членом.

169

Рассмотрим многочлен

Pn(x) = Pn(x0) +

P (x

)

(x – x0) +

P (x

)

(x – x0)2 + ... +

(n)

)

(x – x0) n.

С
Если для некоторого x остаточный член Rn(x) достаточно мал, то
формула Тейлора дает приближенное значение для функции f (x):
	f (x) Pn(x),

оценки

при этом погрешность этого приближения равна остаточному члену

Rn(x).

остаточного члена Rn(x)

Для

используются различные

бА

формулы, одна

х называется

формой Лагранжа и имеет вид

Rn(x) =

(n 1)

(с) (x – x0) n+1,

(9)

(n 1)!

где c – некоторое число, заключенное между x0 и x.

Число c можно представить в виде c = x0 + (x – x0), где

число

– заключено между 0 и 1:

0 < < 1. Тогда формула остаточного

члена примет вид

f (n 1)(x

(x x

))

(10)

Rn(x) =

(x – x0) n+1.

(n 1)!

Еще одна формула для Rn(x) называется формой Коши и имеет

вид

Rn(x) =

f (n 1) (x

(x x

))

(x – x0) n+1(1 – ) n,

(11)

где удовлетворяет неравенству 0 <

< 1.

Отметим, что значения в формулах (10) и (11) различные. Заметим, что если в формуле Тейлора (8) положить n = 0 и оста-

точный член записать в форме Лагранжа (9), то получим формулу f(x) = f(x0) + f (c)(x – x0), откуда получаем формулу Лагранжа

170

f(x) – f(x0) = f (c)(x – x0).

Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа (конечных приращений).

Если в формуле Тейлора (8) положить x0 = 0, то получим форму-

лу, называемую формулой Маклорена

f(x) = f(0) +

f (0)

x +

f (0)

x2 + ... +

f (n)(0)

xn + Rn(x),

(12)

спользование

(n 1)

n+1

Сf (

(0 <

< 1) – остаточный член в форме

где Rn(x) =

(n 1)!

Лагранжа.

бА

Пр меры

Рассмотр м

формулы Тейлора. Найдем разложе-

ние некоторых элементарных функций по формуле Тейлора, причем

возьмем x0 = 0 (то есть выпишем формулы Маклорена для этих функ-

ций).

1. f(x) = e x.

Решение

Так как f (x) = ex;

f (x) = ex;

...; f (n)(x) = ex

и f(0) = 1;

f (0) = 1,

f (0) =1;

...; f (n)(0) = 1, то по формуле Маклорена (12) получаем

ex = 1 +

+ ... +

xn 1

e x;

0 < < 1.

(13)

(n 1)!

Если |x| < 1, то при n = 8 получаемДR8 < 3 < .

Вычислим теперь приближенно значение числа e и оценим по-

грешность приближения.

x = 1; n = 8, получаем

Используем формулу (13) при

1 + 1 +

2,71828,

причем погрешность R8(1) не превосходит 0,00001.

171

2. f (x) = sin x.

Решение

Найдем производные до (n + 1)-го порядка для функции f (x) = sinx и значения производных при x= 0:

f(x) = sinx;

f(0) = 0;

f (x) = cos x = sin (x + /2);

f (0) = 1;

(x) = –sin x = sin (x + 2 /2);

(0) = 0;

f (x) = –cos x = sin(x + 3

/2);

f (0) = –1;

бА

(4)(x) = sin x = sin (x + 4

/2);

f (4)(0) = 0;

f (n)(x) = sin(x + n / 2 );

f (n)(0) = sin

Итак,

если n = 2 m; m N, то f (2m)(0) = 0;

если n = 2m + 1, то

f (2m+1)(0) = (–1)m,

поэтому, используя формулу Маклорена (12), получим

x2m 1

m+1

2m 3

sin x = x –

– ... + (–1)

(2m 1)!

+ (–1)

cos x.

(14)

(2m 3)!

3. Для функции

f(x) = cos x можно аналогично получить сле-

дующую формулу Маклорена:

m x2m

m+1

x2m 2

сos x = 1 –

– ... + (–1)

+ (–1)

cos x .

(15)

(2m)!

(2m 2)!

Поскольку x R: |cos x| < 1, то получим оценки остаточных членов в формулах (14) и (15):

172

R x	\| x \|2m 3	[по формуле (9)];


n	(2m 3)!

x|2m 2

[по формуле (11)].

(2m 2)!

4. Выч сл ть пр ближенно sin 20o с точностью до 0,0001.

Решен е. Используем формулы (8), (9) при x = 20o =

и взяв

2 члена разложен

я:

бА

sin

–

= 0,3420;

5 1

|Rn| <

0,0001.

		Задачи для самостоятельного решения
1.		Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = cos x [фор-
мулу (15)].
2.		Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = ln (1+ x).
3.		Построить формулу Тейлора для функции f(x) = e x при x 1.
4.		Разложить функцию f xДcos3x по формуле Тейлора при
x	.	И

6

5.Вычислить приближенно cos 40o и оценить погрешность вычисления, взяв два слагаемых в формуле (8).

6.Вычислить приближенно sin 47o . Оценить погрешность вы-

числения.

7. Вычислить приближенно ln1,27 и оценить погрешность вычисления.

173

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20213.77 Mб62182.pdf
#
07.01.20213.79 Mб02183.pdf
#
07.01.20213.8 Mб182184.pdf
#
07.01.20213.8 Mб2952185.pdf
#
07.01.20213.82 Mб172186.pdf
#
07.01.20213.84 Mб72187.pdf
#
07.01.20213.85 Mб12188.pdf
#
07.01.20213.85 Mб162189.pdf
#
07.01.2021356.57 Кб0219.pdf
#
07.01.20213.86 Mб112190.pdf
#
07.01.20213.86 Mб152191.pdf