Контрольные работы по разделу «Дифференциальное исчисление»

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2187.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

3.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

; и) lim(1

Контрольная работа № 1 Вариант 1

1. Найти про зводные dyданных функций, используя правила dx

вычислен

я про зводных:

2x2 3

;

y e

tgx

arcsin x

;

С1. y

x 1

y (tg x)arcctgx ;

4. x3 2xy y3 4, yx ?

x cos2t;

yxx ?

cos

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию y

и,

используя результаты исследования, построить

x 1 3

график.

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние 3

.бА

1,006

Вариант 2

Найти производные

dyданныхДфункций, используя правила

вычисления производных:

;

y 3ectgx arccos

;

x 1

И3 2 3

y (sin x)

ln x

;

x x

y y 6,

yx ?

1 t2

;

yxx ?

185

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию

и, используя результаты исследования, построить гра-

фик.

1 x

помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние

24,84.

вычислен3

Вариант 3

Найти про зводные

данных функций, используя правила

я про зводных:

y 2x2 1;

y 2ecosx arctg

;

x 2

y (arcsinx)x

;

xy2 2 0, yx ?

x sin2 t;

y ?

cos2 t

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию y

би, используяАрезультаты исследования, построить гра-

фик.

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние

99,6 .

Вариант 4

Найти производные

данных функций, используя правила

вычисления производных:

;

y 4esinx

arctg

;

x 3

y (sin2x)5ex ;

x3 xy2

3y2 1, xy ?

186

cost;

yxx

sint,

y e

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию y

и, используя результаты исследования, построить гра-

фик.

1 x2

помощью д фференциала вычислить приближенное значе-

ние 10

1,006

Найти

Вариант 5

бА

про зводные

данных функций, используя правила

вычислен я про зводных:

3 tgx

y 4 1 x sin

5 2

y arcsinx

;

y (ln4x)arctgx ;

y 2x arctg(xy),

yx ?

x t sint;

yxx ?

y 2 cost,

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию y

и, используя результаты исследования, построить

2 (x 1)2

график.

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние 1,012 3 .

Вариант 6

Найти производные

данных функций, используя правила

вычисления производных:

y arccos3

etgx;

y (1 ctg3x) e x ;

y xarcsinx ;

x2 y2 7xy x y 110,

yx ?

187

		1
	x			;
	x		t	;
5.			t			, yxx ?
5.						, yxx ?
	y			1
				1		,
					2	,
			1 t		2
			1 t

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию y

и, используя результаты исследования, построить гра-

фик.

x2 1

Найти

помощью д фференциала вычислить приближенное значе-

ние 1,015 10 .

Вариант 7

y б, А

про зводные

данных функций, используя правила

вычислен я про зводных:

y x 2

;

2. y 3

cos x etg2x ;

x2 3

y (ctg3x)cosx ;

4. 2x3 3xy2 4y3 5y 7,yx ?

;

y ?

1 t

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию y

и,

используя

результаты

исследования, построить

график.

x 1

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние 0,912 4.

Вариант 8

Найти производные

данных функций, используя правила

вычисления производных:

188

sin x

3 1 2x

y 2e

arcctg x ln(x

2. y arcsin

1);

;

y xtgx;

4. xy y3 2x2 5x 0, yx ?

x sint;

С.

yxx ?

cost

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

график

цию

спользуя

результаты исследования,

построить

помощью д фференциала вычислить приближенное значе-

бА x

ние 3,012 4.

Вариант 9

Найти производные dy

данных функций, используя правила

вычисления производных:

(x 1)2

y arcsin2(x 1) e3

;

tgx

y (ctgx)

4ex

;

arcctg(x y) x y, y

x tgt;

yxx ?

sin 2t

Исследовать методами дифференциальногоДисчисления функ-

цию

и,

используя

результаты исследования,

построить

график.

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние 10,012 3.

189

Вариант 10

1. Найти производные dy данных функций, используя правила dx

вычисления производных:

x 2

;

y e4 x cos5

;

x 1

x3 y3

4x2 y2 7, yx ?

y (cos5x)

;

цию

y tg

2t;

yxx ?

x sint,

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

бАdx

спользуя результаты исследования, построить

график.

x 2

С помощью д фференциала вычислить приближенное значе-

ние

3 65 .

Вариант 11

Найти производные

данных функций, используя правила

вычисления производных:

x 1

2. y 3

ln2x sin4(3x 1);

;

3 3

sin x

;

Д4. x 2xy 3y 5x 8, yx ?

yxx ?

t 1,

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию

1 x

и,

используя

результаты исследования, построить

график.

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние tg44o .

190

Вариант 12

Найти производные

данных функций, используя правила

вычисления производных:

arcsinx

y 7sin x 1 ln(x2

;

x);

6etg

y (x3

4)ctgx ;

x y arctg(xy),

xy ?

цию

y ?

y lnt,

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

бА

4 x

спользуя результаты исследования, построить гра-

фик.

С помощью д фференциала вычислить приближенное значе-

ние ctg46о .

Вариант 13

Дy

Найти производные

данных функций, используя правила

вычисления производных:

y ln( x 2) 2 ctg2x ;

;

cos 2x

y (x 5)

;

ysin x cos(x y) 5, x

cost

;

1 2cost

yxx ?

sint

1 2cost

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию y

и, используя результаты исследования, построить гра-

x 1

фик.

191

3. С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние sin31о .

Вариант 14

Найти производные

данных функций, используя правила

вычислен я про зводных:

методами

;

y arcsin x2 cos3 x ;

x2 1

x ;

x y arcsinx arccos y, yx ?

y xtg

x sint;

бА

yxx ?

y lncost,

Исследовать

дифференциального исчисления функ-

цию

3x4

спользуя

результаты исследования, построить

график.

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние ctg62о .

Вариант 15

Найти производные

данных функций, используя правила

вычисления производных:

2x x

;

2. y cos

14x ;

arctg

28sin28x

y (2x3

1)cosx;

4. arctg(x y) y ctgx, xy ?

t 1;

yxx ?

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию

x2 5

и,

используя

результаты исследования, построить

x 3

график.

192

3. С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние sin29о.

Вариант 16

Найти производные

данных функций, используя правила

вычислен я про зводных:

y ln

1 x2

earctgx;

y arcctg

1 x

;

1 x2

y (x4 5)cos

x ;

ycos x xsin y 2x y, xy ?

x cos

бА

yxx

y tg2t,

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию y

спользуя

результаты исследования, построить

график.

2 4

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние e0,1.

Вариант 17

Найти производные dy

данных функций, используя правила

вычисления производных:

y arcsinex

1 x

;

y 6ctgx ln(3x2 1);

y (sin x)cos2 x ;

1 x

tg(x y) sin(y x) 3, xy ?

t 3;

y ?

5. x

y ln(t 2),

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию y

и, используя результаты исследования, построить гра-

x3 1

фик.

193

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние 3

121

Вариант 18

Найти производные

данных функций, используя правила

вычислен я про зводных:

2 2x 2

;

2.y 6ln(x3 3x2

) arcsin

;

методами

ln x

;

4. xcos

(x y) tg y x, xy ?

x t sint;

бА

yxx ?

y 2 cost,

Исследовать

дифференциального исчисления функ-

цию y

спользуя результаты исследования,

построить

2 x 1 2

график.

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние cos91о .

Вариант 19

Найти производные dy

данных функций, используя правила

вычисления производных:

Д1

1.y

;

ln2(x 1) arcsin(2x 1)

;

x2 2x

y (sinx)arctgx ;

tg(xy) sin(x y) y x, xy

x t sint;

yxx ?

y 2 cost,

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию y

x3 4

и,

используя

результаты

исследования,

построить

4x2

график.

194

3. С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние tg47о.

Вариант 20

Найти производные

данных функций, используя правила

вычислен я про зводных:

ecos2x

lncos(2x 1) arcsin

1 x ;

2. y

;

Сsin x

ln2 cos2x

;

4. sin(xy) cos(xy) tg(x y),

бА

yxx ?

y lnsint,

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию y

3 x2

и, используя результаты исследования, построить гра-

фик.

x 2

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние ctg46о .

Вариант 21

Найти производные dy

данных функций, используя правила

вычисления производных:

arctg2x

;

2.y ln3

sin3 5x2;

3x 1

3. y xctgx ;

4. sin x sin y cos(xy),

x cost tsint;

yxx ?

sint tcost,

2.Исследовать методами дифференциального исчисления функ-y

цию y x2 5x 3 и, используя результаты исследования, построить x 2

график.

195

3. С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние arccos 0,51.

С2

Вариант 22

Найти производные

данных функций, используя правила

вычислен я про зводных:

esin

y ln(3 cosx) arccos

1 4x ;

2. y

;

sin3 5x

y (sin x)x

4. cos(xy) sin(x y)

бА

;

yxx ?

y arcsint,

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию y

и, используя результаты исследования, построить гра-

фик.

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние cos31о .

Вариант 23

Найти производные dy

данных функций, используя правила

Иy

вычисления производных:

cos

y ln2 sinx arctgex ;

x ;

etgx

ln x

y (1 x

)

;

arctg

x cost;

yxx ?

y sin

196

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию

x2 5x

и, используя

результаты исследования, построить

x 1

график.

помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

С dx

ние arctg 1,2.

Вариант 24

вычислен3. y (x 1) ;

4. y sin x xsin y, xy ?

Найти про зводные

данных функций, используя правила

я про зводных:

y cos4

x e tgx ;

2. y

arctg

1 x4

;

бА

esin4x

arcsin x

;

x cos t

sin

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию y

и,

используя результаты исследования, построить гра-

3 x2

фик.

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние

e0,3 .

Вариант 25

Найти производные

данных функций, используя правила

Иln(cosx 1);

вычисления производных:

y sin3

ectg2(x 1) ;

2. y

4 x

y (sin x)x2 1;

4. arctg(xy) sin

, xy ?

197

	x arctg			t;
5.		2			?

		t		yxx
	y		,
		2

Исследовать методами дифференциального исчисления функ-

цию

и, используя результаты исследования, построить гра-

фик.

2 1

помощью д фференциала вычислить приближенное значе-

вычисленя про зводных:

ние ln 1,02.

Вариант 26

Найти про зводные

данных функций, используя правила

ecos

3 1

;

y arccos

3 x tg

x5 4x

y (tgx)x2 1;

y (x3

1)tg2x ,

xy ?

x lnt;

yxx

y arctg

ИсследоватьбметодамиАдифференциального исчисления функ-

цию

2x2

и,

используя

результаты исследования, построить

график.

4x2 1

С помощью дифференциала вычислить приближенное значе-

ние arcctg 1,02.

Контрольная работа № 2

Вариант 1

1. Найти производные следующих функций:

8x2

;

б)

y e2x(2 sin2x cos2x);

2(x2 4)

198

y 8x4

log

x3;

г) y lnsin

2x 4

в)

x2 1

x 1

Вычислить с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражения arctg0,97.

оставить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции

в точке

x0 1.

Найти на большее и наименьшее значения функции на от-

резке y cos2x;

;

Найти Вариант 2

все ас мптоты графика функции y

2 4

, построить

схему граф ка.

1. Найти про зводные следующих функций:

x5 5x2

;

)

(5 xsin2x x2 cos2x);

x3 14

ln x

y arccos x 3

log4 x.

в) y ln

;

г)

x2 4

sin 3x

Вычислить с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражения 3

1,02

3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y x2

e2x

в точке x0 0.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на от-

резке y

;

; 2

Найти

промежутки

монотонности графика

функции

точки экстремума. Построить схему графика.

x2 3

Вариант 3

1. Найти производные следующих функций:

199

5x2

б) y 3e3

2);

a) y

;

2(1 3x4)

в)

y (2x

x2)arccos

ln3x;

г)y arcsinx (x4

1) 5x.

x 3

С1

2. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражения tg46о.

остав ть уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y 4x x2

в точке пересечения с осью Ох.

Наx 3йти

4. Найти на большее и наименьшее значения функции на от-

резке y x2 1

; 1;1 .

бА5

промежутки выпуклости и вогнутости графика функции

точки перег

а. Построить схему графика.

Вариант 4

1. Найти производные следующих функций:

a) y

4 3x3

;

б) y e x(arcsin53x ln

);

1 2x

x(3 x)

(x 1)sin x

г)y arctgln

в)

x lg(x x);

1 x

2.Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 3 8,01.

3.Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-


1
ции		0		.
ции		0		.
2			3
4. Найти наибольшее и наименьшее значенияИфункции на отрез-
ке y	1	; 2;5 .
ке y	x2 1	; 2;5 .
	x2 1

5.Найти все асимптоты графика функции y 3x4 1, построить

схему графика.

200

Вариант 5

1. Найти производные следующих функций:

x6 x3

;

б) y esin x(x

);

cos x

1 x

в)

y sin3x 3

log4(2x x2);

г)

y lnln2(6x2 5).

2. Выч сл ть с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражен я sin 91о.

ции

остав ть уравнения касательной и нормали к графику функ-

y cos5x в точке x0

бА

4. Найти на

ольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y

;

1;3 .

Найти

промежутки монотонности графика

функции

x2 2x 2

точки экстремума. Построить схему графика.

x 1

Вариант 6

Дx

1. Найти производные следующих функций:

;

б)

y cos sin x ;

ex 2

в)

y x2 ln x;

г)

y arccos

2. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражения sin 43о .

3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y cos3x в точке x0

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y

;

2;3 .

201

Найти

промежутки

монотонности

графика

функции

, точки экстремума. Построить схему графика.

2 x2

Вариант 7

1. Найти производные следующих функций:

y arcsin

;

б) y x2 ln(x 4);

Св) y cos

ex 1

;

г)

ex e x

Выч сл ть с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражен

sin 47о .

Состав ть

касательной и нормали к графику функ-

уравнения

ции y cos7x в точке x0

Найти наи ольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y

;

2;5 .

x2 1

Найти

промежутки

монотонности

графика

функции

3x4 1

,бАточки экстремума. Построить схему графика.

Вариант 8

1. Найти производные следующихДфункций:

e x

;

б)

y x3 ln(x2

4x);

e x

в)

y cos3

;

г)

y arctg

7x 4

И3

Вычислить с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражения cos 47о .

Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y sin

x в точке x0

202

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y

;

1;1 .

Найти

промежутки

монотонности

графика

функции

x2 2x 2

x 1

, точки экстремума. Построить схему графика.

Вариант 9

Найти

про зводные следующих функций:

ex e x

б)

y x3 cos(x2

1);

;

ке y

ex 1

бА; 2;2 .

в)

sin

3 x

;

г)

y arcctg

2. Выч сл ть с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражения cos61o .

3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y sin	1	x в точке x0	.

4

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

x2 1

5. Найти промежутки монотонности графика функции y

1 x2

точки экстремума. Построить схему графика.

Вариант 10

1. Найти производные следующих функций:

y ln(cosx);

;

б)

ex 1

в)

y x2 sin x2;

г)

y arccos

2. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения cos89о .

203

Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y tg

x в точке x0 .

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y x2

;

; 2

Найти промежутки монотонности графика функции

точки экстремума. Построить схему графика.

Найти

Вариант 11

бА

про зводные следующих функций:

y x2ex;

б) y

cosx

;

в) y x 3;

г) y e

Вычислить с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражения 5

Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y x3 x в точке x0 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y cos2x;

; 3

Найти

промежутки монотонности

графика

функции

3 2x

(x 2)2 , точки экстремума.ДПостроить схему графика.

Вариант 12

1. Найти производные следующих функцийИ:

y xe3x ;

б) y

sin x

;

x 1

г) y 2

в) y

;

x3 1

204

2. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 5240.

3.оставить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y x2

3x 2

в точке x0

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y sin2x;

;

5. Найти промежутки монотонности графика функции

Найти

y 2x

точки экстремума. Построить схему графика.

Вариант 13

бА

про зводные следующих функций:

a) y x2e3x ;

б) y

tgx

;

x 1

в) y

;

г) y 2

x2 1

2. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражения 3

3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y x

3x 2

в точке xо 2.

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y tg

;

Найти

промежутки

монотонности

графика функции

точки экстремума. Построить схему графика.

2x2

Вариант 14

1. Найти производные следующих функций:

a) y x3e x ;

б) y

;

ctgx

205

x 1

в) y

;

г) y 3

x2 2x

Вычислить с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражения

оставить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y x2

5x 6 в точке x0

Найти на большее и наименьшее значения функции на отрез-

Найти

ке y ctg

;

промежутки

монотонности графика

функции

y 12x

бА

9 x

Вариант 15

1. Найти производные следующих функций:

a) y x2e2 x ;

б)

y 3

;

cos x

в) y

x2 1

;

г)

y 2(1 x2)3 .

Вычислить с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражения 4

Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y

5x 6 в точке x0 1.

И2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

;

ке y sin

;

Найти промежутки монотонности графика функции

точки экстремума. Построить схему графика.

Вариант 16

1. Найти производные следующих функций:

206

y cos

x3 ;

б) y x2 ln(x 4);

в)

;

г) y arcsin

e x

Вычислить с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражения

4 17.

оставить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y cos3x в точке x0

Найти на большее и наименьшее значения функции на отрез-

Найти

ке

; 2;5 .

промежутки монотонности графика функции y

бА

x2 1

точки экстремума. Построить схему графика.

Вариант 17

1. Найти производные следующих функций:

e x

;

б)

y sin3

x ;

y x3 cos(x

2 1)

в)

;

г)

arcctg

Вычислить с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражения 3

Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y sin

в точке x

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y

;

2;2 .

Найти промежутки монотонности графика функции y

4 x2

точки экстремума. Построить схему графика.

207

Вариант 18

1. Найти производные следующих функций:

y x2ex ;

б)

;

cos x

С1

в)

e x ;

г)

arcctg

2. Выч сл ть с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражен я

ции

остав ть уравнения касательной и нормали к графику функ-

y tg

x в точке x0 .

4. Найти на

ольшее и наименьшее значения функции на отрез-

бА

ке y cos2x;

;

5. Найти промежутки монотонности графика функции y

точки экстремума. Построить схему графика.

x 1

Вариант 19

1. Найти производные следующих функций:

a) y x2e3x ;

б) y

;

tgx

x 1

ние выражения

ции

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y tg	x	;	;	.

		2 2

208

5. Найти промежутки монотонности графика функции

2x2

3x 5

точки экстремума. Построить схему графика.

Вариант 20

1. Найти производные следующих функций:

y x2e2 x ;

б) y 3

;

cos x

ние2

в)

;

г) y 3x4 .

2. Выч сл ть с помощью дифференциала приближённое значе-

бА

выражен я 3 26 .

3. Состав ть уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y x

5x 6 в точке x0 1.

4. Найти на

ольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y sin

;

; .

Найти

промежутки

монотонности

графика функции

x2 2x 2

точки экстремума. Построить схему графика.

x 1

Вариант 21

1. Найти производные следующих функций:

;

б) y cos

sin x

;

в)

y x2 ln x;

г) y arccos

2. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения arctg0,97.

3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y2 4 x в точках пересечения с осью Ох.

209

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке

;

1;3 .

5. Найти промежутки монотонности графика функции y

2 x2

точки экстремума. Построить схему графика.

Вариант 22

про зводные следующих функций:

Сe 1

б) y cos

;

x ;

в)

y x

2 ln(x 4)

;

г)

y arcsin

бА1

Най2. Вычтслить с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражен я

15,8.

3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y

в точке x0

4. Найти наи ольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке

; 2;5 .

5. Найти промежутки монотонности графика функции y

3x4 1

точки экстремума. Построить схему графика.

Вариант 23

1. Найти производные следующих функций:

e x

Иy x ln(x 4x)

ex e x ;

б)

;

y cos3

;

y arctg

в)

г)

2. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения tg46о .

210

3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y

в точке x0

4 x2

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y

; 1;1 .

x2 1

Найти

промежутки монотонности графика функции

x2 2x 2

точки экстремума. Построить схему графика.

x 1

Найти

Вариант 24

про зводные следующих функций:

бА

e x

;

б)

y sin3

;

в)

y x3 cos(x2

1);

г)

y arcctg

2. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 31,02.

3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y x2

e2x

в точке x

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y

; 2;2 .

x2 1

Найти

промежутки монотонности графика функции

2x3

, точки экстремума. Построить схему графика.

Вариант 25

1. Найти производные следующих функций:

2cosx

;

б)

y cos

;

tgx

ex 2

в)

y x2 sin3x;

г)

y arcsin

211

2. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения sin91о .

3.оставить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y sin3x

в точке x0

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y 3x x3 ;

0;3 .

5. Найти промежутки монотонности графика функции y

x2 3

Найти2

точки экстремума. Построить схему графика.

Вариант 26

y sinбАx

про зводные следующих функций:

y arctg(x

1 x

);

б)

y cos

(2x 1);

в)

y x3(x2 23x );

г)

2arcsin x

1 x2

2. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значе-

ние выражения cos89о .

3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

в точке x0

ции

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрез-

ке y

8x 15; 2; 0,5 .

Найти

промежутки

монотонности графика функции

x2 2x 2

точки экстремума. Построить схему графика.

x 1

212

Типовой расчет

1. Найти пределы числовых последовательностей или устано-

вить их расходимость.

2. Найти пределы функций.

3. Исследовать функцию на непрерывность. Установить тип то-

чек разрыва и изобразить график функции в окрестности этих точек.

4. Выч сл ть пр ращение функции f (x)

в точке x0 ,

соответст-

вующее пр ращен ю аргумента x.

ции0

5. Найти про зводные функций.

6. Прод фференц ровать неявно заданную функцию.

7. Прод фференц ровать функцию, заданную параметрически.

8. Выч сл ть с помощью дифференциала приближённое значе-

бАn 1

ние выражен я.

9. Состав ть уравнения касательной и нормали к графику функ-

y f (x)

в точке x .

10. Найти про зводную показательно-степенной функции.

11. Исследовать функции и построить схематически их графики.

12. Найти наи ольшее и наименьшее значения функции на от-

резке.

Вариант № 1

1. а)

;

; ;

( 1)

; ; б)

n 1

; в)

2n 1

4n 3

cosn

2. а)

lim

3x2

4x 2

; б) lim

2 5x

; в)

lim

x2 1

;

6x 7

6x 5

5x 1

x 1

x3 1

ctg2x

г)

lim

; д) lim

; е)

lim

;

ж)

lim

;

x2 4

x 0 3 x2

x 0 sin5x

x 3

)x ; к)

lim

з)

; и)

lim(1

lim 3x 2 .

x x 2

x 2

x 2 0

213

x 0;

x2 1

sin x,

3. а) f (x)

; б) f (x) x3,

0 x 2;

x2 4x 3

С2

x 2.

2 x

f (x) x2

;

0; x 0,02.

5. а)

;

б) y cos

; в)

y x2 ln x; г)

y arccos

sin x

xy3

4xy

2 0.

;

x 2t

y t 3t

sin 46о.

бА

y cos3x;

10. y xsin x .

11. а)

;

)

2 x2

x2 4

12.

;

1;3 .

Вариант № 2

1. а)

n2 1

;

; ; б)

4n 3

; в)

an cosn.

2n 1

2. а)

lim

4x 2

; б)

lim

2x2 5x 8

; в)

lim

;

2 2x 3

x 6x2 x 5

x 3x

x 1 x

x2 2

ctg4x

г)

lim

; д) lim

; е) lim

;

ж)

lim

;

tg5x

x 2

x 0 3

x 3 x

з) lim x x 3

214

2 3x 2

4 x2, x 0;

3. а) f (x)

; б)

f (x) 4e

, 0 x 4;

2 4x 3

С2

, x 4.

x 4

f (x) x3

;

x0 0;

x 0,02.

y x2 ln(x 4); г)

y arcsin

5. а) y

; б)

y cos

; в)

e x

x2 y3

2 y

1 0.

6t;

x 2t

y 2t 3t

8. sin 44о.

бА

y cos5x;

10. y (cosx)sinx .

11. а) y

3x4 1

;

) y

x2 3

12. y

; 2;5 .

Вариант № 3

1 1

( 1)n 1

n 1

1. а) 1;

;

; ;

3n 1

; ; б)

an n2

3; в)

cosn.

x 2

Д2

2. а) lim

; б)

lim

; в) lim

x x 2 ;

x 4x2 x 5

x 3x2 5x 1

x 1 x2 6x 7

ctg2x

г)

; д) lim

; е)

;

ж) lim

;

lim

ctg3x

x 0 3

x 2 sin5x

2x 1 x

)x ; к)

з)

lim

; и) lim(1

lim

3x 3 .

x 2

x 3 0

215

x 3;

x2 2x 4

3. а) f (x)

x 3

; б) f (x) x 3,

3 x 0;

3x 10

x 0.

4. f (x) х+3; x0

x 0,02.

5. а) y

e x

; б)

y cos3

; в) y x3 ln(x2

4x); г)

y arctg

ex e x

и0

x2 y

3 x

2 y

Сx 2t t 3;

y t

cos44о.

бАВариант № 4

y sin

10. y (cosx)x .

11. а)

;

) y

x2 2x 2

3 x2

x 1

12. y

;

1;1 .

1. а) 1;

;

; ;

; ; б) an n

; в) an

cosn

3 9

3n 1

7n 3

2. а) lim

; б)

lim

5x 1

; в)

lim

;

x 9x2 x 2

x 3x3

x 2 x2 3x 2

г)

lim

x4 1

; д) lim

; е)

lim

sin8x

;

ж) lim

ctg6x

;

9x2

x 0 3

x4 6

x 0 sin5x

x 1

)x; к)

з)

lim

; и)

lim(1

lim

3x 1.

x x 1

x 2

x 1 0

216

		x	2	6x 9		x2	2x,		x 0;
			2
3. а)	f (x)				; б)
						f (x) x3,		0 x 2;
		x	2	4x 3		f (x) x3,		0 x 2;
		x	2	4x 3				x 2.
						x 3,		x 2.

4. f (x) 2 х;

x0 2; x 0,01.

5. а) y

e x

; б) y sin3

; в) y x3 cos(x2

1); г)

y arcctg

ex 1

6. 3x2 y2 x2 y 3x y 0.

5t;

x 2t

y 3t

8. cos61о .

бА

9. y sin

x0 .

10. y (sin x)cos x .

11. а)

2x3 1

; ) y

1 x2

12. y

;

2;2 .

2 1

Вариант № 5

; ; б) an 2 5n

sin

1. а) 2;

;

; ;

; в) an

3n 1

3 9

n2 n

И2

2. а) lim

x 4x

Д5x 1 x 16

; б)

lim

; в) lim

;

x 9x2 x 1

x 3x3 5x2 1

x 4 x2 5x 4

г) lim

x4 1

; д)

lim

; е) lim

tg3x

;

ж) lim

cos3x

;

9x3

x 0 3

x4 6

x 0 sin5x

x 1 x

з) lim x x 1

217

x 0;

4x 4

3. а)

f (x)

; б)

f (x)

x 1,

0 x 2;

x 6

x 2.

x 2

f (x) x3

;

x0 0;

x 0,01.

5. а)

e x

; б)

y ln(cosx); в)

y x2 sin x2; г)

y arccos

6. 3x3y2 2xy 3x y 4 0.

;

8. cos89о .

бА

9.иy tg x; x .

10.

y (sin x)ln x .

11. а)

2 x

;

) y

x2 1

12.

y x2

;

; 2

Вариант № 6

1. а) 2,1;2,11;2,111; ; б) an

2n 1

5n 1

; в) an

2. а) lim

x2 4x 2

; б) lim

3x2

5x4 2

; в)

lim

3x 4

;

5x 4

x x 7x2 1

x x3 5x2

x 4 x2

tg7x

г)

lim(

x 2

x); д)

lim

; е) lim

;

tg5x

x 0 3

x 0

1 cos5x

x 1 2x

5 x

ж)

lim

;

з)

lim

; и)

lim 1

; к)

lim 4x 2 .

x 0 2x2

x x

x 2 0

218

4x 4

x 1;

3. а) f (x)

; б) f (x)

x3 8

x 1.

ln(x 1),

f (x)

; x

x 0,01.

x 3

5. а) y x2ex; б)

cosx

; в)

; г)

y e

6. x3y 3xy2 3x2 y 0.

x 2cos2t;

y tsin 2t.

8. 5

9. y x3 x;

x0 2.

10.иy x .

11. а) y

;

)

3 2x

x 2

12. y cos2x;

б.

;

Вариант № 7

1. а) 1,2;1,22;1,222; ; б)

4n 1 5n 1

; в)

4n 5n

2. а) lim

3x2

4x 12

; б)lim

3x2

5x4 2

; в) lim

x2 25

;

x 1

4x 5

x 5

lim

; д)

; е) lim

sin x

;

г)

x2 2x

lim

x 0 3

x 0 tg5x

1 cos4x

2 x

ж)

lim

; з)

lim

; и)

lim

; к) lim

4x 2 .

x 0

x 2

Иx 2 0

219

x2, x 0;

			x3 27		1	1
3. а)	f (x)
				; б) f (x)		, 0 x	;
		x	2 4x 3
				x2		2

4, x

4. f (x)

;

x0 1; x 0,01.

и5

x 1

5. а) y xe3x; б)

sinx

; в)

; г)

y 2

6. 3x3y 3xy2 3x2 y2 xy 0.

x3 1

x 2tcost;

бА

y t2 sint.

240

9. y x2 3x 2;

x0 2.

10.y xx .

11. а)

;

) y 2x

x2 2

12. y sin2x;

;

Вариант № 8

1. а) 1,3;1,33;1,333; ; б)

4n 1

3n 1 ; в) an n2 sin n.

2. а) lim

3x5 4x2 12

; б)lim

x2 5x4 2

; в) lim

x2 25

;

x4 x5

5x3 1

x 2x2

x 5 x

2 4x 5

x ; е)lim

sin6x

; ж)

sin3 x

x2 2

г)

lim

; д)

lim

;

x 2

x 0

2 x

2х 5

x 1

з)

lim

; и)

lim

; к)

lim 2x 3 .

2х 1

x 3 0

220

x3 1

x 3;

3. а) f (x)

; б) f (x)

x2 4x 3

x 3.

6 x,

f (x)

;

x 0,01.

5. а) y x2e3x ; б) y

tg x

; в) y

x 1

; г) y 2

6. x3y2 6xy2 3x2

xy 0.

x2 1

x 2t

cost;

2 sin2t.

y t

8.. 3 66

бА

9. y x2 3x 2;

10. y x5x .

11. а) y

;

)

2x2 1

x 2

12. y tg

;

Вариант № 9

1. а) 1,4;1,44;1,444; ; б)an

4n 1

7n 1

; в) an

n3 cos n.

4n 7n

1И

2 1

x3 2

2. а) lim

; б)lim

; в) lim

x2 25

;

5x5 9

x 3x4 x2 3x

x x2

x 5 x

4x 5

г)

x2 2

; д) lim

; е)

sin6x

; ж)

sin2

;

lim

x 2

x 0 3 x2 6 x5

x 0

x 0 4x2

х 5 x 2

з)

lim 1

; и)

lim

; к)

lim

2x 3 .

x х

x 3 0

221

x3 8

sin x,

x 0;

3. а) f (x)

; б)

cosx,

0 x ;

f (x)

x2 7x 10

x .

f (x)

;

x0 1; x 0,1.

y x3e x ; б)

x 1

5. а)

; в)

; г) y 2

ctgx

x2 2x

6xy 0.

С6. 2x y xy 3x

x t cos2t;

бА

y t2 sin2t.

8. 3

9. y x2 5x 6;

x0 1.

10. y (3x)x .

12x

11. а) y 2x2

;

)

9 x2

12.

y ctg

;

Вариант № 10

4n 1 7n 1

1. а) 1,7;1,77;1,777; ; б)a

; в)

2. а)

lim

2x4 4x2

; б)lim

x3 2

; в)

lim

x2 1

;

x x4 2x2 3

x x2 x5 4

x 1 x2

4x 5

; д)

limsin2 6x

г)

lim

x2 1

lim

; е)

;

x 0 3 x2 44 x

x 0

4x2

x 2

1 cos6x

х 3

ж)

lim

; з)

lim

; и)

lim

;

к) lim 63 x .

x 0 4x2

x х 2

x 3 0

222

223

x 2 0

x 3

x3 1

x 1,

x 2;

3. а) f (x)

;

б) f (x) x

6x 11,

2 x 4;

7x 8

2x 5,

x 4.

4. f (x)

;

x0 2;

x 0,1.

5. а) y x2e2 x ; б)

y 3

; в)

; г)

y 2(1 x2) .

cosx

6. 4xy3 2xy2 x2 6xy x 0.

x2 1

x t 2sin 2t;

С7.

y 2t tcos2t.

8. 4

9. y x2 5x 6;

x0 1.

10. y

(3x) .

11. а)

y x

;

)

x3 4

12. y sin

;

Вариант № 11

бА

1. а) 1;

;

; ;

( 1)n 1

; ; б)a

n2 1

; в) a

2n 1

4n 3

cosn

2. а) lim

3x2 4x 2

; б)lim

2 5x

; в) lim

;

6x x 5

Дx 1

2x 3

г)lim

3 x3 1

; д)lim

; е)lim

; ж)lim

ctg4x

;

x 3

x 0 sin5x

з) lim

x 3

x ; и)

lim(1

)x ; к)

lim 3

x 2

x x 2

x 1;

3x 2

3. а) f (x)

; б)

f (x)

1 x 0;

x 0.

(x) x2

;

; x 0,02.

y x2 ln(x 4); г)

y arcsin

5. а)

; б)

y cos

; в)

ex e x

xy3

4xy x

2 0.

2t2

6t;

y 2t

8. sin 46о.

y cos3x

;

10. y (cosx)sin x .

11. а)

; )

x2 1

12.

;

2;5 .

бАВариант № 12

1. а) 1;

;

; ;

( 1)n 1

; ;б)an n2 1 ; в)

3 9

3n 1

7n 3

4x 2

2. а) lim

; б)lim

2x 5x 8

; в)

lim

;

x 9x

x 3x2 5x 1

x 2 x

2 3x 2

г)

lim

x3 x

; д) lim

; е) lim

; ж)

lim

ctg6x

;

x 3

x 2 sin5x

з)

lim

; и) lim(1

)x ; к)

lim 3x 3 .

x x 2

x 2

x 3 0

224

x 2;

6x 9

x 2

3. а) f (x)

; б) f (x)

2 x 0;

x2 4x 3

sinx,

0 x .

4. f (x)

;

1; x 0,1.

5. а)

; б)

y sin3

x ; в) y x3

cos(x2 1); г)

y arcctg

6. x2 y3 x2 y x2 y 0.

бА

5t;

8. cos44о.

9. y

sin

6 .

10.

y (sin x)cos x .

11. а)

; б) y

4 x

12.

;

2;2 .

Вариант № 13

n 1

sin

1. а)

;

; ;

; ; б)an

; в) an

2 .

n 1

3 9

2. а)

lim

4x 2

lim

3x2

5x 1

lim

x2 3x 4

x x 7x2

1 ; б)x 3x3

5x2 1; в)x 4 xИ2 5x 4 ;

г) lim

4 x4 1

;

д)

lim

; е) lim

tg3x

; ж)

lim

1 cos5x

;

2x2

9x3 4

x 0

3 x

x 0 sin5x

x 0

x 1 x

з) lim x x 1

		5	x		1
; и)			; к)	lim 4x 1.
	lim 1
		x
	x			x 1 0

225


						x2, x 0;
	x	2	4x 4
3. а) f (x)	x		4x 4
						; б) f (x) tg x, 0 x				;
			x	3	8
				3					2
									2

						x, x		.
						x, x	2	.
4. f (x) x3 ;							2
4. f (x) x3 ;			x0		1; x 0,01.

x 3

5. а) y x2ex ;

y e x .

б)

cos x ;

в)

;

г)

С3x y 2xy 3x y 4 0

x 2cost;

12.

бА; ; .

y tsin2t.

8и. cos89 .

9. y tg

x0 .

10.

y xx2 .

11. а)

;

)

3 x

x 1

y cos 2x

Вариант № 14

n 1

1. а) 1,2;1,22;1,222; ; б)an

; в) an

2. а) lim

3x5 4x2 12

; б)lim

3x2 5x4 2

; в)

lim

x2 25

;

4x 5

x 2x

x 5

1 ; д)

г)

lim

; е) lim

sin x

;

12 x5

x 0 3 x

x 0 tg5x

lim

sin

2х

x 1

ж)

; з)

; и) lim

; к)

lim 4

x 2

lim 1

2х

x 0 5x

x 2 0

226

x3 1

3x 1,

x 1;

3. а) f (x)

; б) f (x) 2x 2,

1 x 3;

x 3.

lg(x 3),

f (x)

;

x0 1; x 0,01.

5. а) y x2e3x ; б)y

x 1

; в)

; г) y 2

tgx

6. 3x3 y 3xy2 3x2 y2 xy 0 .

x 2t cost;

С2

y t

sin2t.

8. 5

240

9. y x2 3x 2;

x0 2.

иy x

10.

11. а) y

;

)y 2x2

3x 5.

12. y tg

;

Вариант № 15

бА

1. а) 1,4;1,44;1,444; ; б)an

4n 1 7n 1

; в)

n3 cos n .

4n 7n

x2 25

2. а) lim

x4 4x2 1

; б)

lim

2x4

5x 8; в)

lim

;

x 5

3x x 3x

Дx 4x 5

sin2 6x

г)lim x 1

x ;

д) lim

; е) lim

;

x 0

х 5 x 2

sin2 5x

3 x

ж)

lim

; з)

lim 1

; и)

lim

Иlim 6

x 0 4x

; к)

x х 1

x 3 0

x3 1

x 3;

3. а) f (x)

; б) f (x)

7x 8

x 3.

ln(x 3),

227

f (x)

;

x 0,1.

5. а)

y x2e2 x ; б)

y 3

cos x ; в) y

; г)

y 2(1 x

) .

2 6xy 0.

2x2 y3

x t 2sin2t;

2t tcos2t.

иx

;

10. y (3x)2x .

2x 2

11. а)

y 2x

;

)

x 1

12.

y sin

;

Вариант № 16

1. а)

( 1)n 1

; )a

3n 1

; в) a

;

3n 1

;

4n 3

sinn

3x2 5x 2

2. а)

lim

x2 6x

; б)lim

; в) lim

;

x 3x4 5x 1

x 13x2 4x 1

г)

lim

3 x3 1

; д)

lim

; е) lim

tg3x

; ж)

lim

ctg2x

;

x 0 3

x 0 sin6x

x 3

lim

x 3

lim(1

)x ; к)

з)

; и)

3x 1 .

lim

x x 1

x 2

x 1 0

x 0;

x2 1

tgx,

3. а) f (x) x2 4x 3; б)

0 x

f (x) x

x 2.

f (x) x2

2 x

;

0,01.

228

; б) y cos

; в)

y arccos

5. а)

sin x

y x2 ln x; г)

6. xy3 y3 x2 2 0.

7. x t(tcost 2sint);

y t(tsint 2cost).

8. arctg0,97.

y2 4 x

в точках пересечения с осью Ох.

10. y (3x)

2x .

С11. а) y

; )

x2 4

2 x

12.

;

1;3 .

Вариант № 17

1. а) 1;

;

; ;

; ; )a

; в) a

3 9

бn 1 2

cosn

2. а)

lim

3x4 4x 2

; )

lim

3x2 5x4

; в)

lim

3x2 4x 1

;

x 6x2 x 5

x x

3 5x2

x 1 x2

3x 2

x2 2

ctg4x

г)

lim

;

д)

lim

; е)

lim

; ж)

lim

;

x 2

x 0 3 x4 6

x 0 tg7x

з)

x 3 x

;

и)

1 x

lim(1 )

lim

; к) lim

5x 2 .

x x

x 3

x 2 0

x 0;

3. а) f (x)

; б) f (x)

tgx,

0 x

;

x 5

f (x) x3

;

0,01.

5. а)

y cos

y x2

ln(x 4)

y arcsin

ex e x ; б)

; в)

; г)

x3 .

229

6. x3 ln y x3ey 0.

x sint cost;

7. y at a t .

15,8.

9. y

;

10.

y (cos x)sin x .

11.

а)

3x4

; б)

12.

;

2;5 .

бАx

Вариант № 18

1. а) 1;

;

; ;

( 1)n 1

; ;

)an

n3 1

; в) an

3 9

3n 1

n2 3

cos2 n

2. а) lim

x2 2

;

)lim

2x6 5x 8

; в)

lim

x2 x 2

; г) lim

x3 x

;

x 4x2 x

x 3x2 5x 1

x 1 x2 6x 7

x2 4

x ;

12 x5

д)

lim

; е)

lim

; ж)

lim

ctg2x

; з)

lim

2x 1

x 0

x 2 sin5x

ctg3x

x 2

и)

lim

; к)

lim 3x 3.

x 3 0

x 2

x 0;

3. а) f (x)

; б) f (x)

x 1,

0 x 1;

5x 6

x 1.

f (x)

;

x 0,1.

5. а) y

y x3

ln(x2

4x); в)

y cos3

; г) y arctg

; б)

6. y cos y xsin y.

x ln(1 t2);

y arcctgt.

230

8. tg46о .

;

4 x2

10.

y (cosx)x .

2x 2

11.

а)

; б)

3 x2

x 1

12.

;

1;1 .

x2 1

Вариант № 19

cosn

1. а) 1;

;

; ;

) an

n 1

; в) an

бА

4 16

4n 1

и4x 2

2. а) lim

;

)lim

; в) lim

;

x 9x2 x 2

x 3x3 5x 1

x 2 x2 x 1

г)

lim

; д)

lim

; е)

lim

tg x sin x

; ж)

lim

ctg6x

;

9x2 4

x 0 3 x4 6 x

x 0

x 1 x

з)

lim

; и)

lim(1

)x ; к)

lim 3x 1.

x x 1

x 2

x 1 0

x 1,

x 0;

3. а) f (x)

9 x

; б)

f (x)

x2,

0 x 1;

x 1.

4. f (x)

;

x0 0;

x 0,01.

5. а) y

; б)

y sin3

x ; в)

y x3 cos(x2 1); г)

y arcctg

ex 1

6. x2 y2 ln x 4 0.

8. 3

1,02

9. y x2 e2x;

x0 0.

10.

y (sin x)cos x .

231

11. а)

2x3 1

; б)

1 x2

12. y

;

2;2 .

x2 1

Вариант № 20

sin

1. а) 3;

;

; ;

; ; б)an

; в) an

3n 1

3 9

n2 n

x 4

2. а) lim

;

)lim

; в) lim

;

x 9x2 1

x 3x3 5x2 1

x 4 x

2 5x 4

бА

lim

cos3x

г) x

; д)

x 0

; е) lim

;

ж) lim

;

x 0 sin7x

x 1

з) lim

; и)

lim(1

)5; к)

lim

4x 1 .

x x 1

x 1 0

x 1

x, x 0;

3. а) f (x)

;

1, 0 x 1;

) f (x) x

2x2 x 3

x 1.

4. f (x) x

;

x 0,01.

5. а) y

e x

; б)

y ln(cosx); в)

y x2 sin x2; г)

y arccos

ex 1

6. x3 y2 3xy 0.

7. x ln(1 t2 );

y t arctgt.

8. 3

8,01

9. y 4x x2

в точке пересечения с осью Ох.

10. y (sinx)lnx .

11. а)

2 x

x2 1

;

б)

232

12.

y x

;

; 2

Вариант № 21

1. а)

2,1;2,11;2,111; ; б)an

2n 1

5n 1

; в) an

2. а)

lim

4x 2

; б)lim

2 5x4 2

; в)

lim

3x 4

;

x 4 x2 5x 4

7x2 1

x x3 5x2 1

tg7x

arcsin x

г)

lim( x 2

x); д)

lim

; е)

lim

;

ж) lim

2x2

;

x 0 3 x

x 0 tg5x

x 0

бА

x 1

7 x

з)

lim

;

) lim

; к)

lim 4x 2 .

x x 1

x 2 0

x3, x 0;

3. а) f (x)

;

) f (x) 0, 0 x 1;

x2 2x 16

x 1, x 1.

f (x) x2 ;x0

x 0,01.

5. а)

2cosx

; б)

y cos

tgx; в)

y x2 sin3x; г)

y arcsin

6. xy3 5xy x2 2 0.

;

x 2e

y t 3t

8. sin 44о.

y sin3x;

10. y cos xsin x .

11. а) y x

; б)

x2 4

12.

y х 2

;

1/9;4 .

233

Вариант № 22

n 1

1. а) 1,2;1,22;1,222; ; б)an

; в) an

2. а)

lim

3x2 4x

; б)lim

3x 5x

;

в) lim

;

x4 x 1

x 2x

x 5 x

4x 5

lim

; д)

lim

sin x

;

г)

x2 2x x2

; е)

3 x

x 0

x 0 tg5x

ж)

lim

1 cos4x

; з)

;

и)

; к)

lim 4x 2 .

lim

x 0

x 2

x 2 0

Сx

3. а) f (x)

x 2

;

)

f (x)

0 x 2;

x 6

x 2,

x 2.

f (x) x3 ;

x 0,01.

ex 1

y x2 lg(x 1);

5. а)

;

)

3x;

в)

2сosx

г)

y arcsin (sin 8x).

6. xy3 2x2y2 x2 4 0.

x 2t

y 2t

8. sin91о .

y cos5x ;

10. y (tgx)sinx .

11. а) y

;

б)

0;3 .

2 3

12. y 3x x3 ;

Вариант № 23

1. а) 1,3;1,33;1,333; ; б)an

4n 1

3n 1

; в) an

n2 sin n .

4n 3n

234

2.а)

lim

3x5

4x2 12

; б)lim

5x4 2

;

в)

lim

x2 25

;

x4 x5 3x

x 2x2 5x3 1

x 5 x

4x 5

lim

x ; д) lim

; е) lim

sin6x

г)

;

12 x5

x 0 3 x

x 0

lim

sin3 x

4 x

х 5

x 1

lim 2x 3.

ж)

; з)

lim

; и)

lim

;

к)

x 0 5x

x х 1

x 3 0

x 1;

3. а) f (x)

x 3

; б) f

(x) x,

1 x 2;

4x 3

x 2.

бА

4. f (x)

; x0

x 0,1.

5. а) y

2arcsin x

; )

y cos3(2x 1); в) y x3(x2

23x);

1 x2

г) y arctg(x

1 x2

6. x

y x

x 2t

4t .

y t

8. cos88о.

9. y sin

;

10.

y (sin x)x .

11. а)

; б)

x2 2x 2

2 x2

x 1

12.

y x2

;

0,5;2 .

235

Вариант № 24

1. а) 1,4;1,44;1,444; ; б)an

4n 1 7n 1

; в) an

n3 cos n.

x4 4x2 1

4n 7n

2. а) lim

; б)

lim

; в)

lim

;

x x2 5x5 9

x 5 x2 4x 5

x 3x

lim

1 x

; д) lim

x5 4

; е) lim

sin6x

ж) lim

sin2

г)

;

x 03 1 x 1

x 0 3 x2 6

x 0

x 0 4x

х 5 x 2

з)

lim 1

;

)

lim

; к)

lim 2x 3 .

x х 1

x 3 0

3. а) f (x)

x 2

sinx,

x 0;

;

) f (x)

х 0.

x2 7x 10

f (x) x4

; x

0; x 0,01.

5. а) y

3tg x

y sin 4

; в)

xcos(x2 1);

;

)

x 2

г)

y arcctg(1 e2x ).

6. x2 y2 2xy 3x3 y 0.

5t;

x 2t

б4t 1. А

y 3t

8. cos59о .

9. y sin

;

10. y (sinx)x .

11. а) y

; б) y

1 x2

2 4

12. y

8x 15; 2; 0,5 .

Вариант № 25

1. а) 1,7;1,77;1,777; ; б)an

4n 1 7n 1

; в)

cos

4n 7n

236

2. а) lim

2x4 4x2 1

; б)lim

; в)

lim

x2 1

;

x x4 2x2 3

x x2 x5 4

x 1 x

4x 5

г)lim

; д)

lim

; е) lim

sin2 6x

x 2

;

x 0 3 x2 44 x

x 0

4x2

х 3

x 2

1 cos6x

ж) lim

; з) lim 1

; и) lim

; к)

lim 63 x .

х 2

x 0

x 3 0

x 1

2 x,

0 x 1;

3. а)

f (x)

;

б) f (x) 4 2x,

1 x 2,5;

Сx 7x 8

2x 7,

2,5 x .

4. f (x) x3 ;

x0 0;

x 0,1.

бА

иy x 1

sin

5. а)

3tgx 1

;

)

log2(cosx); в)

г) y arccos

1 x2

6. 2x3y2 2xy 3x 3y 7 0.

x 2t3 t2;

y 3t4

8. cos92о .

9. y x2 3x 2;

x0 2.

10. y (cosx)lnx .

x 2

11. а) y

; б) y

x 1

y x

; 0;9 .

12.

Пример выполнения типового расчета

1. Найти пределы числовых последовательностей или устано-

вить их расходимость.

( 1)n 1

а) (an):

;

; ;

;

6 8

237

Решение. Данную последовательность можно представить как произведение ограниченной последовательности ( 1)n 1, предел ко-

торой не определён, и сходящейся последовательности 1 , предел

которой равен нулю. Согласно одному из свойств сходящихся последовательностей, произведение ограниченной и сходящейся последовательности есть также сходящаяся последовательность, предел которой равен пределу последней. Тогда

сходится

lim a

( 1)n 1

lim

Сn

n 2n

и последовательность

бА

б)a

3n 1

Решен е.

В данном случае имеем неопределённость вида

Для её раскрытия разделим числитель и знаменатель на n.

lim a

lim

1 0

последовательность сходится.

в) an ncosn2 .

Решение.

Представим

данную

последовательность

виде

произведения двух последовательностей: a

b c ,

где

cn cosn2.

lim b . Последовательность c

Очевидно,

в силу свойств

косинуса является ограниченной: 1 cn

1. Таким образом,

члены

последовательности

при

n будут принимать как неогра-

ниченно большие, так и неограниченно малые значения. Следовательно, данная последовательность является расходящейся и предел её не определён.

238

2. Найти пределы функций:

а)

lim

x 2

x 3x

x 2

Решение.

В данном случае имеем неопределённость вида

Для её раскрытия разделим числитель и знаменатель на наивысшую

степень х относительно числителя и знаменателя, т.е. на x2 .

x 2

1 0 0

lim

x 2

3 0 0 3

Сx

б2 3А

б) lim

иx

Решен е. В данном случае снова имеем неопределённость вида

. Для её раскрытия разделим числитель и знаменатель на наивыс-

шую степень х относительно числителя и знаменателя, т.е. на x3 .

Д0

lim

x2 8x

lim

0 0

x 3x 2x 3

x 3

0 2 0

в)

lim

x2 4

x 2 x2

5x 14

Решение.

В данном случае имеем неопределённость вида

Чтобы раскрыть её,

преобразуем данную функцию, предварительно

разложив на множители числитель и знаменатель:

lim

x2 4

lim

(x 2)(x 2)

lim

x 2

x2 5x 14

x 2

x 2 (x 2)(x 7)

x 2 x 7

г) lim

x 1

239

Решение. В данном случае имеем неопределённость вида

1 . Чтобы раскрыть её, умножим числитель и знаменатель дроби

на выражение, сопряженное знаменателю:

x 1

lim

x 1

x x 1

x 1

lim

x 1

д)

lim

x 0

бА

Решен е.

В данном случае имеем неопределённость вида

Чтобы раскрыть её,

введём

подстановку t6 x. Заметим, что t 0

при x 0. Получ м

lim

t3 4t2

lim t 4

4 4.

x 0 3 x2 3

t 0 t4 t2

x 0 t2 1

е)

lim

2x2

x 0 sin2

Решение.

В данном случае имеем неопределённость вида

Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который допускал

бы применение первого замечательного предела lim

sin x

x 0

2x2

(5x)2

lim

2lim

lim

x 0 sin

(sin5x)

x 0 25

x 0 sin5x

Замечание. При выполнении этого задания можно использовать эквивалентность бесконечно малых функций (прил. 5).

240

lim

2x2

sin x ~ x,x 0 lim

2x2

x 0 sin2 5x

x 0 (5x)2

ж)

lim

cosx

Решен е.

В данном случае имеем неопределённость вида

Чтобы раскрыть её, как и в предыдущем задании, приведём данную

дробь к в ду, который допускал бы применение первого замеча-

тельного предела lim sin x 1. Введём подстановку t

Заме-

x 0

, что t 0

при x . Получим

тим

cos(

limsint 1.

lim

cos x lim

t 0

t 0 t

x 2

x 2 x

з)

lim

x x 2

Решение. В данном случае имеем неопределённость

вида 1 .

Чтобы раскрытьбеё, приведёмАданную дробь к

виду, который

допускал

бы

применение

второго

замечательного

предела

lim(1

)x e.

x 2

x 2 4

lim

x 2

lim 1

x 2

lim

x 2

x x 2

x 2

lim

lim 1

=ex x 2 e 4 .

x 2

241

2 x

и)

lim 1

x 3

Решение. Обратим внимание,

что в

данном

случае

x 3,

поэтому нет необходимости

использовать

второй

замечательный

и предел

может

быть

предел, поскольку нет неопределённости

вычислен непосредственно.

2 3

5 3

125

lim 1

единице

к)

lim 5x 1.

x 1 0

Решен е.

Прежде

всего,

заметим, что если

стремится к

слева,

то

x 1

удет

принимать

близкие

к нулю

отри-

цательные значен я

выражение

, очевидно, стремится к .

x 1

Тогда

lim 5

x 1

1 0 1

x 1 0

Исследовать функцию на непрерывность. Установить

тип

точек разрываби изобразитьАграфик функции в окрестности

этих

точек.

x2 3x

a) f (x)

x2 4x 3

Допределения данной аналитической

Решение.

Найдём область

функции.

D( f ):( ;1) (1;3) (3; ). Имеем

две

точки

разры-

ва:x1 1

и x2

Определим,

каков характер разрыва функции в

каждой из

этих точек.

Точка

x1 1 является точкой бесконечного разрыва (второго

рода), так как

lim

x2 3x

;

lim

x 1 0 x2 4x 3

Точка x2 3 является точкой устранимого разрыва,

так как

242

lim

x2 3x

lim

x(x 3)

lim

1,5.

x 3 x2 4x 3

x 3 (x 1)(x 3)

x 3 x 1

Окончательный

ответ:

функция непрерывна

при

x ( ;1) (1;3) (3; );

точка x1 1 является точкой бесконечного

разрыва; точка x2 3 является

точкой

устранимого разрыва.

Изобразим график функции (рис. 70).

1,5

бА

3 x

Рис. 70

x 1,

x 3;

б) f (x)

x 3.

3 x,

Решение.

Данная функция составная, не является элемен-

тарной. Найдём ее область определения: D( f ):( ;3) [3; ).

Функция может иметь разрыв только в точке, где меняется ее анали-

тическое выражение, т.е. в точкеДx 3. В данной точке имеем

lim f (x)

lim (x 1) 2; lim

f (x)

lim (3 x) 0.

x 3 0

Таким образом, в

точке x 3

lim f

(x) f (3) lim f (x), т.е.

x 3 0

функция в точке x 3 имеет разрыв 1-го рода и непрерывна справа,

скачок функции

2 0

функция

непрерывна

Окончательный

ответ:

приx ( ;3) [3; );

точка x 3

является точкой

неустранимого

разрыва (1-го рода). График изображен на рис. 71.

243

														y
С														2										3				x
														2
														-1
																										1

ращению																Рис. 71
ращению
4. Выч сл ть пр ращение функции f (x)																												в точке x0 1, со-
4. Выч сл ть пр ращение функции f (x)																											x2	в точке x0 1, со-
																											x2
ответствующее пр														аргумента x 0,02.
Решен е.					Воспользуемся формулой
				f (x) f (x) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ).
Для данной функции получим
f (x)							1						1					1		1					0,0404							101			.
f (x)					(1 0,02)					2			2							1															.
					(1 0,02)							1			1,0404									1,0404							2601
																	Д
5. НайтибпроизводныеАфункций:
	а)		y			ex 2		х															И
	а)		y				2	.


Решение.						Используем правило вынесения постоянного множи-
теля за знак производной и правило дифференцирования разности:
			x	2			x	1											1										e	x	2		x	ln2
		e		2				1			x						х		1			x		х					e		2			ln2		.
y									e							2					e	x	2			ln2										.
y				2					e							2			2		e		2			ln2					2
				2				2											2												2

б) y lncosx .

Решение. Используем правило дифференцирования сложной функции: f g x f (g) g (x).

244

2xy2 x2 y x2 2 0.

cos x

(

(cos x)

cos x

cos x)

cos x

cos x 2

sin x

tg x.

2cos x

Заметим, что этот результат можно было получить, представив

функц ю в в де

lncosx.

в) y e

x ln x.

про-

Решен е. Воспользуемся правилом дифференцирования

я двух функц й и производной сложной функции. Получим

-x

e x

lnx)

lnx e

lnx

)

(lnx) e

изведен

г)

y arccos

1 .

Решение. Используем формулу производной сложной функции.

Получим

(arctg

)

( )

(

)

бА2 2 4 3

1 x4

Продифференцировать

неявно

заданную

функцию

Решение. Продифференцируем обе части данного уравнения по переменной x, учитывая при этом, что y является функцией аргумента х. Получим

(2xy2 x2 y x2 2)x 2y2 4xyy 2xy x2 y 2x 0.

Из этого равенства выразим производную yx :

245

4xyy

2xy 2y

2x, откуда

2xy 2y2 2x

4xy x2

7. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

x 2cost2;

y sint 3t.

Решение. Используем правило дифференцирования функции,

заданной параметр чески:

ние

(2cost2)

4tsint2

Получ м

cost 3

(sint 3t)

3 cost

32 бА1 32(1 ) 2 1 . Положим f (x)

x; x0

8. Выч сл ть с помощью дифференциала приближённое значе-

выражен я 5 31.

Решен е.

Используем

приближённое

равенство

f (x) df (x) f (x) x, верное при малых значениях x . Откуда

f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x.

Преобразуем

сначала

исходное

выражение:

Производная равна f (x)

;

f (1) 1. Окончательно

имеем

2(1 1 (

))

Д115.

9. Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y sin 2x в точке x0

Решение.

Запишем

уравнение

касательной

;

y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ).

нашем

случае f (x0 ) sin

246

x2 1

f (x0 ) 2cos

1. Подставляем в уравнение y

, откуда

y x

– уравнение касательной.

С3 2

Запишем уравнение нормали y

f (x0 )

(x x0 ). Под-

f (x0 )

ставив в это уравнен е числовые данные y

), откуда

Найти

y x

– уравнение нормали.

10.

про зводную функции

y (sin x)sin x

с помощью ло-

бАcosx

гарифм ческого д фференцирования.

Решен е

y (sinx)sin x;

ln y ln(sinx)sin x;

(ln(sinx)

sin x

) ;

y (sinxlnsinx) ;

y y(cosxlnsin x sin x

) (sin x)sin x (cos xlnsin x sin x ctg x)

sin x

(sin x)sin x 1(lnsin x ctg x).

11. Исследовать функцию иДпостроить ее график:

а)

x2 1

Решение

1. Находим область определения: x ; 1 1;1 1; .

2. Исследуем на четность и нечетность. Так как f ( x) f (x), следовательно, функция является четной, график функции симметричен относительно оси ординат.

247

3. Находим точки пересечения с координатными осями: c осью

Ох точек пересечения нет, так как

0; с осью Оу: при x =

x2 1

= 0; y 1.

4. Исследуем на непрерывность. Функция определена и непре-

рывна при всех х 1, поэтому

х 1 –

точки

разрыва графика

функции. Определим характер разрыва (род). Для этого вычислим од-

носторонн е пределы функции при стремлении x к

2 1

lim

;

x 1 0 x

бАk lim lim lim

lim

x 1 0

Итак, х 1 – точки разрыва 2-го рода. 5. Находим асимптоты графика функции.

Так как в точках х 1 функция имеет бесконечный разрыв, то прямые х 1 являются вертикальными асимптотами.

Наклонные асимптоты ищем в виде y = kx + b.

y(x)

x2 1

x3 x

1 0

lim y(x) kx

lim x

1 0

lim

2Д

x x

1 0

Итак, y 1 – горизонтальная асимптота.

Наклонных асимптот

нет, так как есть горизонтальная. И 6. Находим интервалы монотонности функции и точки экстре-

мума.

Для этого найдем первую производную от заданной функции и приравняем ее к нулю.

248

2x x2

1 2x x2 1

;

x2 1

x2 1 2 0 x 0.

тац

онарная кр тическая точка x 0.

Внесем данные в табл. 4.

Таблица 4

; 1

1;0

0;1

бА2 2

–

Возрастает

Максимум

Убывает

При x 0;1 1;

–

у ывает. При

x ; 1 1;0 –

возрастает. Так м о разом, точка (0, –1) является точкой максимума.

Экстремум функции ymax 1.

7. Находим

интервалы

выпуклости и точки перегиба графика

функции.

Для этого найдем вторую производную от заданной функции и

приравняем ее к нулю:

x 1

2 x 1 2x x

3x 1

0 точек перегиба нет.

Внесем данные в табл. 5.

Таблица 5

; 1

1;1

–

Вогнутый

Выпуклый

Вогнутый

При

x 1;1

график

функции

выпуклый, при

x ; 1 1;

график функции вогнутый.

8. Построим график функции на рис. 72, начертив сначала вер-

тикальные асимптоты х 1,

горизонтальную асимптоту

y 1 и от-

метив точку экстремума (0, –1).

249

С
и
	бА
			Д
			Рис. 72
y	ln x	.
	x		И
Решение			И

1. Находим область определения: х 0.

2. Исследуем на четность. f ( x) f (x), следовательно, функция общего вида.

3.Находим точки пересечения с координатными осями. С осью Ох: y = 0; x = 1. С осью Оу: x = 0; y не существует.

4. Исследуем на непрерывность. Функция определена и непрерывна в интервале (0;+ ). В граничной точке x 0 области определе-

ния функция имеет бесконечный разрыв, так как lim ln x .

x 0 x

5. Находим асимптоты графика функции. Так как в точке x 0 функция имеет бесконечный разрыв, то прямая x 0 является вертикальной асимптотой.

250

Находим уравнение наклонной асимптоты

y kx b.

lnx

lim

k lim

x x2

x 2x

x 2x2

, то наклонных асимптот нет.

Так как k

ln x

b lim

lim

При

x 1

x x

нахожден

пределов воспользовались правилом Лопиталя.

Итак,

k b 0

уравнение горизонтальной асимптоты y 0.

образомx

Так м

, график имеет в качестве асимптот оси коорди-

нат.

6. Наход м

нтервалы монотонности функции и точки экс-

тремума.

1 ln

. y = 0 при

х =

е. Стационарная критическая точка

x e.

(0; е) и (е; ). Вне-

Исследуем знак производной на интервалах

сем данные исследования в табл. 6.

Таблица 6

(0;e)

е;

–

Возрастает

Максимум

Убывает

Экстремум функции ymax 1 0,37. e

7.Находим интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

	2ln x 3		y 0при	3
y		,		x e	2	.
	x3

251

		Определим знак второй производной в интервалах (0; e2 ) и
3
(e	2	; ). Результаты расчетов внесем в табл. 7.

Таблица 7

(0;e2 )

e2 4,48

; )

–

Имеет точку пере-

Вогнутый

Выпуклый

гиба

y(e

)=3/(2e2 ) 0,33.

бА

8. Постро м граф к функции (рис. 73).

Рис. 73

12. Найти

наибольшее

и наименьшее

значения функции

y4 x3 4x 3 на отрезке 2;4 . 3

Решение. Найдём область определения функции D( f ) R. Да-

лее продифференцируем функцию y (4 x3 4x 3) 4x2 4. 3

Найдём критические точки: y 0 4x2 4 0 x 1.

252

Обе точки x 1 принадлежт рассматриваемому промежутку.

Находим значения функции в критических точках: y( 1)	1	;

3

y(1) 17 . 3

Определим теперь значения функции на границах отрезка:

y( 2)

;

y(4)

169

Выб раем на большее и наименьшее числа среди найденных

Таким

169

значен й функц .

образом, min y

;

max y

0;3

пособ

лиографический список

1. П скунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле-

ние : учеб.

. / Н.С. Пискунов. М. : Интеграл-Пресс,

2006. Т.1.

450 с.

2. Данилов, Ю.М. Математика : учебное пособие / Ю. М. Дани-

лов [и др.]. ; ред. : Л. Н. Жур енко, Г. . Никонова ; КГТУ. М. :

ИНФРА-М, 2016. 496 с.

3. Письменный, Д. Т. Конспект лекций

по высшей математике

/Д. Т. Письменный. М. : йрис-пресс, 2014. – Ч. 1. – 288 с.

4.Шипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев. М. : Высшая школа, 2012 . 479 с.

5.Никольский, С.М. Курс математического анализа : учебник для вузов/ С.М. Никольский. – М. : Физматлит, 2011. – 592 с.

6.Карасева, Р. Б. Математика: линейная, векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной [Электронный ресурс] : учебное пособие / Р. Б. Карасева. – Электрон. дан. – Омск : СибАДИ, 2016. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/fulltext/esd106.pdf, свободный. – Заглавие с экра-

на (дата обращения к ресурсу: 14.03.2018).

7.Карасева, Р.Б. Тесты по математике : учеб. пособ. / Р.Б. Кара-ДИ

сева, Е.Ю. Руппель [и др.]. Омск : СибАДИ, 2013. 109 с.

8. Карасева, Р. Б. Типовые расчеты по высшей математике / Р. Б. Карасева, И. В. Бабичева. – Омск : СибАДИ, 2012. – Ч. 1. – 152 с.

253

Приложение 1

Символы и обозначения

| | – знак параллельности

– знак «не принадлежит»

– знак перпендикулярности

– знак включения

– знак объединения

– знак следования

– знак равнос

льности (эквивалентно-

– знак пересечения

сти)

Определения

– знак приближённого равенст-

– знак пр надлежности

ва

Множества.

этого понятия нет. Под множеством

быть

будем пон мать совокупность некоторых объектов. При этом множе-

ство должно

оп сано так, чтобы можно было понять, принадле-

жит тот ли ной о ъект данному множеству или нет. Описать то или

иное множество можно, например, перечислением его элементов или

описанием характерных свойств элементов.

Множество, не содержащее ни одного элемента, обозначается

символом – пустое множество.

Числовые множества.

N 1,2,3,...,n,... – множество натуральных чисел;

Z 1, 2, 3,..., n,... – множество целых чисел;

Q =

; m N; n N – множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел – нерациональные числа, кото-

рые

можно

представить в виде бесконечной непериодиче-

ской десятичной дроби;

R Q I – множество действительных чисел.

Числовые промежутки представляют собой подмножества

множества R:

a x b ; интервал a,Иb x R a x b ;

отрезок a,b x R

полуинтервалы

a,b

x R

a x b ; a;b x R

a x b ;

бесконечные промежутки

a, x R

x a ;

a; x R

x a ;

;a x R

x a ;

, a x R

x a ;

, R

вся числовая ось.

254

Приложение 2

Основные алгебраические соотношения

Действия со степенями

a n

a0 1

n b

am an am n

am n

m n

m n a m n a

n a b n a n b

Сa b a b

n am an

Действ я с логар

( >0; a 0)

alogab

logac b

loga b

loga b loga c logc b

фмами

logaa 1;

loga1 0

loga b c loga b loga c

loga b

logc b

logc a

lna b a eb

loga

loga b loga c

lga log10 a

loga bc cloga b

loga b

lna loge a

logb a

бА

Формулы сокращенного умножения

a b 2 a2 2ab b2

a2 b2 a b a b

3ab

a3 b3 a b

a2 ab b

Корни квадратного уравнения

bx c 0

b2 4ac

1,2

трехчлена на множители

Разложение квадратного

bx c a x x1 x x2

, где x1, x2

– корни уравнения.

ax2 bx c 0.

Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене

	2		p 2	p 2
x		px q x			q
			2	2

255

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20213.77 Mб102182.pdf
#
07.01.20213.79 Mб02183.pdf
#
07.01.20213.8 Mб242184.pdf
#
07.01.20213.8 Mб3342185.pdf
#
07.01.20213.82 Mб192186.pdf
#
07.01.20213.84 Mб82187.pdf
#
07.01.20213.85 Mб42188.pdf
#
07.01.20213.85 Mб182189.pdf
#
07.01.2021356.57 Кб2219.pdf
#
07.01.20213.86 Mб152190.pdf
#
07.01.20213.86 Mб182191.pdf