§ 9. Нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Наибольшее M и наименьшее m значения функции y f (x) на

отрезке находятся по плану:

С

1. Найти критические точки первого типа.

2.

Выбрать те критические точки первого типа, что принадлежат

данному отрезку.

3.

Выч сл ть значения функции на концах отрезка и в выбран-

Найти

ных кр т ческ х точках.

4. Из всех найденных значений выбрать самое большое – это M

и самое малое – это m.

Пр мер

на

ольшее

и

наименьшее

значения функции

y x

3

3x

2

1 на

1;4

(рис. 50).

Д

Рис. 50

И

1.

Вычисляем производную y 3x2

6x, затем решаем уравне-

ние 3x

2 6x 0;

x

0; x

2

2 – нашли критические точки пер-

1

вого рода.

2.

x1 ; x2 1;4 . Обе критические точки принадлежат данному

отрезку.

3.

Находим значения функции на концах отрезка и в критиче-

ских точках:y( 1) 3;

4.

yнаибольшее(4) 17;

yнаименьшее( 1)

y(2)

3.

1.

Найти область определения функции.

2.

Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или общего

С

вида.

3.

Найти точки пересечения графика с осями координат.

4.

Найти ас мптоты графика функции (вертикальные, горизон-

тальные, наклонные).

Найти

5.

первую производную функции. Определить интервалы

возрастан я, убыван я, точки экстремума функции.

6.

вторую производную функции. Определить интервалы

выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции.

7.

На основан

проведённого исследования выбрать масштаб,

постро ть граф к функции.

Четность и нечетность функции

Функция

y f (x) называется четной, если y ( x) y x . Гра-

фик четной функции симметричен относительно оси Oy.

Пример

1

Функции y x2 ;

y cos x; y

–

четные.

Д

x

2

ФункциябАy f (x) называется нечетной, если y ( x) y x .

График нечетной функции симметричен относительно начала коор-

динат.

Пример

1

Функции

y x

3

;

– нечетные.

y sin x; y

x

Асимптоты графика функции

Прямая x a

называется вертикальнойИасимптотой кривой

y f (x), если

lim

f (x) или

lim

f (x) .

x a 0

x a 0

Пример

Дe

k lim

f (x)

= lim

(

x

– 1) = ,

x

x

x

x

ex

что при x правой

так как lim

= . Отсюда следует,

x

x

И

наклонной асимптоты нет.

Так как

lim ex x , то правой горизонтальной асимптоты

x3 4

4

b lim ( f (x) kx) lim

x

lim

0.

2

3

x

x

x x

x

Наклонная асимптота у = х.

С

5. Находим

виде табл. 3.

8

при

Таблица 3

y

1 x3

; y = 0

х = 2; у = при х = 0.

бА

2

– критическая точ-

ка 1-го рода.

х

0

(0,2)

2

y

–

0

y

Не

Убывает

3

ции ymin 3.

Д

6. Находим

интервалы

выпуклости и точки перегиба графика

функции с помощью второй производной.

И

24

y

x4 > 0 при любом х 0, следовательно,

функция

вогнутая

b lim

( f (x) k x) lim(3

6x2 x3

x) 2,

x

x

значит,

y x 2 – наклонная асимптота.

Горизонтальных асимптот нет, так как есть наклонная.

5. Первая производная имеет вид

y

x(4 x)

.

2

и

(x2 (6 x))

3

Реш м уравнен е

0

и найдём критические точки

2

С

(x2 (6 x))

3

первого рода:

x1 0:

y не существует в этой точке, но меняет знак при

( )

= 0– точка мини-

y 0

мума (особый экстремум);

x2 4:

y 0 в этой точке и меняет знак при переходе че-

– точка максимума;

x3 6:

y не существует в этой точке, не меняет знак при

переходе через точку, значит, экстремума в этой точке нет.

Д

6.

Вторая производная равна y

8

.

4

5

x

3

(6 x)

3

Решим уравнение

8

0

и найдём критические точки

4

5

x

3

(6 x)

3

второго рода:

y не существует в этой точке,

x3 6:

меняет знак с ми-

( )

6 = 0 – точка пе-

региба;

x1 0: исследована выше.

И

и

Рис. 52

С

§ 11. Прав ло Лопиталя

бА

0

).

0

Пусть функц f(x), g(x) определены, непрерывны и дифферен-

цируемы в точке x0

некоторой ее окрестности, причем g'(x) 0 для

любого x из этой окрестности, и пусть f(x), g(x) – бесконечно малые

при x x0.

Если предел

lim

f (x)

существует,

то существует и

g (x)

x x0

предел lim

f (x)

, причем

Д

x x0

g(x)

lim

f (x)

=

lim

f (x) .

x x0 g(x)

x x0

g (x)

Прием вычисления пределов, основанный на теореме Лопиталя,

называется правилом Лопиталя.

И

Пример

1 cos3x

Найти предел

lim

.

x 0 2x

g(x) = 2x удовле-

Решение. Поскольку функции f (x) =1 – cos3x;

творяют условию теоремы Лопиталя, то

lim

1 cos3x

= lim

(1 cos3x)

= lim

3sin3x

= 0.

2x

x 0

x 0

(2x)

x 0 2

ленности вида

. Неопределенности 1 ;00

; 0 ; и другие

С

0

или

, а затем приме-

нить правило Лопиталя.

0

Пр мер

lim x2 ln x.

Найти предел

x 0

x 0 1/ x2

x 0

Решен е. Так как limln x = , то имеем неопределенность типа

x 0

lnx

(0 ). Преобразуем ее к

:

lim x2ln x (0 )= lim

.

бАx 0

Теперь пр мен м правило Лопиталя:

lnx

(lnx)

1/ x

x2

lim

2

=

lim

= lim

3

= lim

= 0.

x 0 1/ x

x 0 1/ x2

x 0

2/ x

x 0

2

Итак, lim x2 ln x = 0.

Д

2. Правило Лопиталя можно применять несколько раз при вы-

числении одного предела.

И

Пример

ln x

Найти предел lim

.

x 0 ctgx

Решение. При x 0 и x > 0

limln x = ; limctg x = , следова-

x 0

x 0

тельно, имеем отношение двух бесконечно больших при x 0+ и не-

определенность вида

. Вычислим предел по правилу Лопиталя:

lim

ln x

= lim

1/ x

= –lim

sin2 x 0

=

1 sin2

x

0

x 0

ctgx

x 0

x

x 0