Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2187.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

3.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

§ 5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма. Пусть функция f (x) определена, непрерывна

на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает

свое наибольшее или наименьшее значение. Если в точке x0

существует производная этой функции, то

f (x0 ) = 0.

принимает

для

определенности,

функция

Доказательство. Пусть,

точке x0

наибольшее значение на (a, b). Покажем,

что f ' (x0) = 0. Используем определение производной в точке x0:

бА

f (x0 )

= lim

(x0 x) f (x0)

x 0

Так как f (x0) – наи ольшее значение, то при любом знаке

имеем f(x0 + x) – f(x0) <

Отсюда, если x

> 0, то

f (x0 x) f (x0)

< 0,

а поэтому

f (x0 ) 0 .

то

Если же приращение аргумента отрицательно x < 0,

f (x0 x) f (x0)

> 0, поэтому f

(x0)

Так

как

f (x0)

– определенное число, то

получаем,

что

f (x0)= 0, что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Ферма

На

рис. 41 изображена непрерывная функция. В точке x1 функ-

ция принимает наибольшее значение M, а в точке x2

– наименьшее

значение m.

Заметим, что

f ( x1) = f ( x2) =kкасательной = 0.

133

y f (x)

бА

иИтак,

Рис. 41

касательные к графику функции y = f (x) в точках экстремума

x1 и x2 параллельны оси Ox.

Теорема Ролля.

Если

функция f (x)

непрерывна на отрезке

[a, b], дифференцируема в каждой точке интервала (a, b) и f (a) = f(b),

то

существует по

крайней

мере

одна внутренняя точка x0 отрезка

[a, b], такая, что f ' (x0) = 0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке [a, b],

то, по теореме Вейерштрасса, она достигает на этом отрезке своего

наибольшего значения M и своего наименьшего значения m .

Если M = m, то функция f

(x) постоянна на отрезке [a, b], а пото-

му

f ' (x) = 0 в любой точке x

Д(a, b).

Рассмотрим

случай,

когда

M > m.

Так

как, по условию,

f(a) = f(b), то либо наибольшее значение M, либо наименьшее значе-

ние m,

либо и M, и m достигаются во внутренней точке x0 интервала:

(a,

b). Выполнены все

условия теоремы Ферма и поэтому

f (x0 )= 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Геометрически теорема Ролля утверждает (рис. 42), что если функция непрерывная на [a, b], дифференцируемая на (a, b) и имеет на концах отрезка [a, b] одинаковые значения, то

134

найдется точка x0 (a, b), для которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.

С		y
С					M
					M



			y = f(x)

	f(a) = f(b)

и
и				a	x0	b x
		0		a	x0	b x

Рис. 42

Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], д фференц руема на интервале (a, b), то найдется хотя бы одна

внутренняя точка x0 отрезка [a, b], такая, что
f (x0 )=	f (b) f (a)			.	(3)
			b a

Д
Доказательствоб. РассмотримАвспомогательную функцию
F(x) = f(x) – f (b) f (a)(x – a).
		b a		И
Покажем, что функция F(x)
		удовлетворяет всем условиям тео-
ремы Ролля.
Действительно, функция F(x) непрерывна на [a, b], так как на
[a, b] непрерывны функции f(x) и (x – a).
Производная F ' (x) имеет вид
			f (b) f (a)
				.	(4)
F ' (x) = f (x) –

b a

Производная существует в интервале (a, b), как и производная f (x). Вычислим значения F(x) на концах отрезка [a, b]:

135

F(a) = f(a) – f (b) f (a)(a – a) = f(a); b a

F(b) = f(b) – f (b) f (a)(b – a) = f (b) – f (b) + f (a) = f (a).

b a

Значит, F(a) = F(b).

Все услов я теоремы Роля выполнены для функции F(x). По

теореме Ролля найдется точка x0 (a, b), такая, что F'(x0) = 0. Подста-

вив

x0 в равенство (4), получим

F'(x0) = f (x0 )–

f (b) f (a)

= 0,

b a

бА

откуда получаем формулу (3):

f (x0 )= f (b) f (a).

b a

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

f(b)

f(a)

Рис. 43

Отношение

f (b) f (a)

есть угловой коэффициент tg хорды

b a

AB (рис. 43), соединяющей точки A(a, f (a)), B(b, f (b)), f' (x0) – угло-

136

вой коэффициент касательной к графику функции y = f (x), проведенной в точке M0(x0, f (x0)), и f (x0 ) = tg .

Теорема Лагранжа утверждает, что

на графике функции y = f(x) найдется хотя бы одна точка M0, в
С
которой касательная к графику параллельна хорде AB.
Замет м, что равенство (3) можно записать в виде
щение			(5)
	f	(b) – f (a) = f (x0)(b – a).
Формулу (5) называют формулой Лагранжа и			читают: прира-
д фференц руемой функции на отрезке a,b			равно длине от-
бА
резка, умноженной на значение производной от этой функции в неко-
торой внутренней точке сегмента.
Обознач в x0 = c;		a = x0; b – a = x; b = x0 + x, из формулы
(5) получаем формулу
	f(x0 + x) – f(x0) = f (c) x.		(6)

Равенства (5) и (6) называют формулами конечных приращений,

а теорему Лагранжа – теоремой о конечных приращениях. При этом

Д ной этой функции в некоторой внутренней точкеИотрезка.

теорема Лагранжа переформулируется следующим образом:

Теорема Лагранжа. Приращение дифференцируемой функции на отрезке равно произведению длины отрезка на значение производ-

Следствие теоремы Лагранжа (признак постоянства функ-

ции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и во всех внутренних точках этого отрезка f (x) = 0, то функция f (x) постоянна на отрезке [a, b].

Доказательство. Известно, что производная постоянной функции равна нулю. Докажем обратное утверждение.

Пусть x – произвольная точка отрезка [a, b], не совпадающая с a, тогда по формуле (5) конечных приращений применительно к отрезку [a, x] имеем

f (x) – f (a) = f (x0)(x – a),

137

где x0 (a, x). Так как, по условию, f (x0) = 0, то f( x) = f (a). Следовательно, x [a, b]: f (x) = f (a) и поэтому f (x) – по-

стоянна на [a, b].

Теорема Коши. Пусть функции f (x), g (x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на (a, b), причем f '(x) 0 для любой точки x из интервала (a, b). Тогда существует внутренняя точка x0 отрезка [a, b], такая, что

Отметим		f (x0) .
С	f (b) f (a) =
	(b) (a)	(x0)
Доказательство.	, что f (b) f (a), так как в противном
бА

случае, по теореме Ролля, f ' (x) = 0 в некоторой точке x (a, b). Введем вспомогательную функцию

F(x) = f (x) – f (b) f (a)(f (x) – f (a))(b) (a)

и покажем, что F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Очевидно, что F(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на (a, b) и

				Д
F'(x) = f'(x) –				f (b) f (a)
				(b) (a)
На концах отрезка [a, b] функция F(x) принимает равные значе-
ния:					И
ния:
	F(a) = f (a); F(b) = f (a).
Следовательно, по теореме Ролля найдется точка x0 (a, b) та-
кая, что F' (x0) = 0:
				f (b) f (a)
F'(x0) =	f	(x0) –
F'(x0) =	f	(x0) –			(x0) = 0.
			(b) (a)

138

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20213.77 Mб102182.pdf
#
07.01.20213.79 Mб02183.pdf
#
07.01.20213.8 Mб242184.pdf
#
07.01.20213.8 Mб3342185.pdf
#
07.01.20213.82 Mб192186.pdf
#
07.01.20213.84 Mб82187.pdf
#
07.01.20213.85 Mб42188.pdf
#
07.01.20213.85 Mб182189.pdf
#
07.01.2021356.57 Кб2219.pdf
#
07.01.20213.86 Mб152190.pdf
#
07.01.20213.86 Mб182191.pdf