1674

Продолжение табл.4

Окончание табл.4

0при х > 1.

1.2.3.Числовые характеристики

Во многих вопросах инженерной практики нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, исчерпывающим образом, с помощью закона распределения. Зачастую бывает достаточно указать только отдельные числовые параметры (допустим, среднее значение, разброс значений относительно среднего и т.п.), характеризующие существенные стороны распределения случайной величины.

Такими параметрами для распределения случайной величины Х являются моменты, которые различаются по трем признакам: по порядку β момента, по началу отсчета случайной величины и по виду самой случайной величины.

Практически рассматривают нулевой, первый, второй, третий и четвертый моменты (β = 0, 1, 2, 3, 4), а вообще-то, порядок момента может быть любым целым числом. Различают по началу отсчета случайной величины начальные и центральные моменты, а по виду – для дискретных и непрерывных величин.

Для дискретной случайной величины начальным моментом β-го порядка называют выражение

где n — количество возможных значений случайной величины, шт.; для непрерывной —

Исходя из этого, можно записать, что нулевым начальным моментом является выражение

Нулевой начальный момент отражает то обстоятельство, что сумма вероятностей полной группы событий (а xi – это полный перечень возможных значений дискретной случайной величины, т.е. ничего больше, кроме указанного, не произойдет) всегда равна единице.

Первый начальный момент, или начальный момент первого порядка, — это среднее значение или математическое ожидание случайной величины mх:

Этот момент характеризует значение случайной величины, вокруг которой группируются все возможные ее значения, т.е. α1 = mx. Причем величина mx измеряется в тех же единицах, что и величина Х.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами: 1. МС = C – матожидание const, которое равно const;

2. М·Сх = C·Мx, если C – const;

3.М(Х+Y) = М(Х)+М(Y);

4.М(Х·Y) = М(Х) ·М(Y), где Х и Y – независимые случайные величины. На рис. 11 дана геометрическая интерпретация математического ожи-

дания.

f(x)

x

mx1 mx2

Рис. 11. Геометрическая интерпретация первого начального момента, когда mx1 mx2

Центр группирования случайной величины часто принимают за начало

51

отсчета, что равносильно переносу начала координат в точку mx. Случайные величины, отсчитываемые от математического ожидания, т.е. от центра группирования, называются центрированными, а их моменты – центральными.

Для дискретных случайных величин переход от начальных моментов к центральным осуществляют заменой значения xi на (xi – mx ). Тогда будем иметь:

- нулевой центральный момент

- первый центральный момент

Отсюда следует, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю;

- второй центральный момент

i 1

характеризует рассеяние случайной величины относительно ее среднего значения и называется дисперсией Dx, которая имеет размерность квадрата случайной величины.

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1)дисперсия постоянной величины равна нулю: Dc = 0;

2)D·Cx = C2·Dx ;

3)D(X+Y) = D(X) + D(Y), если X и Y независимы.

Среднее квадратичное отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии, т.е.

Центральные моменты высших порядков используют для более полного описания случайной величины, а именно:

- третий центральный момент

i 1

52

характеризует скошенность, или асимметрию, распределения.

f(x)

Sx1

Sx2

Рис. 12. Геометрическая интерпретация второго центрального момента

Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле

и является безразмерной величиной.

f(x)

x

Рис. 13. Геометрическая интерпретация третьего центрального момента

На рис. 13 приведены кривые распределения с левой (кривая 1, когда Ax 0) и правой (кривая 2, когда Ax 0) асимметрией;

- четвертый центральный момент

53

i 1

характеризует островершинность или плосковершинность (т.е. крутость) распределения по сравнению с широко распространенным в природе и технике нормальным законом распределения. Обычно описывается это свойство распределения с помощью безразмерного коэффициента, называемого эксцессом:

следовательно, Ex 0. Функции распределения, более совершенные по сравнению с соответствующей кривой нормального закона распределения, обладают положительным эксцессом, а более плосковершинные – отрицательным эксцессом, как показано на рис. 14.

Пример. Водитель машины, прибыв на станцию технического обслуживания, застает на линии обслуживания очередь их двух машин, к обслуживанию первой машины приступают техники. Зная, что вероятность неисправности машин, обращающихся на станцию технического обслуживания, равна 0,8 , продолжительность диагностики (обнаружения неисправности) – 10 минут, а длительность ремонта (устранения неисправности) – 20 минут, определить числовые характеристики времени пребывания водителя в очереди.

f(x)

Ex>0

Ex=0

Ex<0

x

Рис. 14. Геометрическая интерпретация четвертого центрального момента

Решение. На основе исходных данных имеем вероятность того, что поступившая машина неисправна, равна 0,8 (p=0,8). В таком случае вероятность того, что машина неисправна, равна q=1 – p = 1 – 0,8 = 0,2.

54

Возможные значения дискретной случайной величины Х – времени пребывания рассматриваемого водителя в очереди:

х1 = 20 минут (когда обе машины исправны); х2 = 40 минут (когда одна машина исправна, а одна неисправна); х3 = 60 минут (когда обе машины неисправны).

Определим вероятности для каждого из указанных времен ожидания. Для того чтобы ожидание очереди длилось 20 минут, необходимо, что-

бы совпадали следующие события: и первая машина исправна, и вторая машина исправна. В этом случае используется формула умножения вероятностей. Условимся, что р20 (вероятность с указанием времени ожидания) будет обозначать вероятность соответствующего времени ожидания ( так, в рассматриваемом случае 20 минут).

Отсюда имеем р20 = q1·q2 = 0,2·0,2 =0,04; ожидание 40 минут будет в том случае, если либо и первая машина неисправна, и вторая исправна либо и первая исправна, и вторая неисправна. Тогда имеем р40 р1 q2

q1 p2 0,8 0,2 0,2 0,8 0,32.

Эту таблицу можно считать рядом распределения, если рi 1. Производим проверку: 0,04+0,32+0,64=1.Отсюда имеем ряд распределения времени ожидания (см. табл. 5).

Sx 497,44 22,4мин.

По формулам (47) и (49) с учетом соотношений (46) и (48) получим

3 (20 52)3 0,04 (40 52)3 0,32 (60 52)3 0,64 1536;

1536 Ах 22,43 0,14;

4 (20 52)4 0,04 (40 52)4 0,32 (60 52)4 0,64 51200;

55

51200 Ех 22,44 3 2,8.

1.2.4. Задачи

1.2.4.1. Определить математическое ожидание числа удач при пятикратном запуске двигателя скрепера, если случайная величина Х (число удач) задана рядом распределения (табл. 6).

1.2.4.2. Проводится контроль технического состояния пяти автогрейдеров. Вероятность того, что рассматриваемая машина исправна, равна 0,8. Определить mx, σx и Dx случайной величины X – числа исправных машин.

1.2.4.3.На пересечении автомагистралей установлен автоматический светофор, работающий в режиме: 1 минута – зеленый, 0,5 минут – красный свет для рассматриваемого направления, по которому в случайный момент времени к перекрестку подходит автомобиль. Определить вероятность того, что машина пройдет перекресток, не останавливаясь. Кроме того, найти закон распределения и числовые характеристики времени ожидания машины у перекрестка.

1.2.4.4.Водитель самоходного скрепера производит независимые по-

пытки преодоления трех сложных препятствий. Вероятность удачи (преодоления препятствий) для всех препятствий одинакова и равна (N·10 – 2 +0,2). Определить числовые характеристики случайной величины Х- числа

удач: mx, σx и Dx.

1.2.4.5.Студент, имея в распоряжении 4 попытки по 5 минут, пытается

обнаружить неисправность в бульдозере. Вероятность обнаружения неисправности при каждой попытке одинакова и равна (0,3+ N·10 – 2). Найти математическое ожидание и дисперсию числа попыток, оставшихся неиспользованными.

1.2.4.6.– 1.2.4.13. В условиях задач 1.2.2.1 – 1.2.2.8 определить математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию случайной величины Х.

1.2.4.14.– 1.2.4.21. В условиях задач 1.2.2.1 – 1.2.2.8 определить асимметрию и эксцесс кривой распределения случайной величины Х.

1.2.5.Основные распределения случайных величин

При решении инженерных задач сталкиваются с различными распреде-

56

лениями случайных величин, которые в настоящее время достаточно хорошо изучены. В инженерной практике часто используются следующие распределения:

- для дискретных случайных величин:

а) распределения Бернулли или биномиальное распределение; б) распределения Пуассона; - для непрерывных случайных величин:

а) закон равномерного распределения вероятностей; б) показательный закон распределения; в) нормальный закон распределения (закон Гаусса).

Распределение Бернулли – это распределение вероятностей случайной величины Х, принимающей значения 0, 1, 2, 3, … , n с вероятностями

здесь n и р – параметры распределения Бернулли.

Как мы уже отмечали, формула Бернулли (50), положенная в основу закона распределения Бернулли, отражает следующую часто встречающуюся ситуацию, называемую схемой Бернулли: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых с одной и той же вероятностью р появляется событие А – успех и с вероятностью (1 – р) появляется событие А- неудача. Пусть k – искомое число успехов при n испытаниях в схеме Бернулли. Тогда число успехов k имеет распределение Бернулли с параметрами n и р.

Например, число попаданий при n выстрелах подчиняется закону распределения Бернулли, если вероятность попадания при одном выстреле равна р.

В теории вероятностей установлено, что если случайная величина распределена по закону Бернулли, то имеют место следующие формулы расчета ее числовых характеристик:

- математическое ожидание

Пример. Стрелок, имея вероятность промаха 0,03, осуществляет 100 выстрелов. Сколько он допустит промахов?

Решение: mx n p 100 0,03 3.

Это достаточно хорошо согласуется с нашими интуитивными представлениями. Если задаться целью определить вероятности суммы событий, когда k = 0; k = 1; k = 2; … ; k = n при n испытаниях, то эта сумма имеет следующий вид (это бином Ньютона):

Поэтому часто распределение Бернулли называют биномиальным рас-

пределением.

Другим распределением дискретной случайной величины является

распределение Пуассона.

Распределение неотрицательной целочисленной случайной величины Х, задаваемой формулой

называется распределением Пуассона.

При этом неотрицательное число а называют параметром распределения, который равен математическому ожиданию случайной величины Х.

Распределение случайной величины по закону Пуассона возникает в следующей ситуации: допустим, что вероятность появления одной заявки на обслуживание в интервале времени [ t, t+∆t] равна t ( t), где( t)- бесконечно малая величина, более высокого порядка малости, чем

∆t, т.е.

Вероятность появления более чем одной заявки на обслуживание в том же интервале равна ( t); события, связанные с появлением заявок в неперекрещивающиеся интервалы времени, независимы. Тогда число заявок, появившихся в интервале времени [0, t], имеет распределение Пуассона с параметром λt. Отсюда статистическое толкование параметра λ – число событий, наступивших в единицу времени.

Установлено, что если случайная величина имеет распределение Пуассона, то ее математическое ожидание и дисперсия равны параметру распределения, т.е. mx = Dx = a = t.

Подобное явление наблюдается и при распределении Бернулли, если

Эти результаты хорошо согласуются с тем, что распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения.

Другими словами, если число опытов велико, а вероятность появления рассматриваемого события мала, то распределение Бернулли приближается к распределению Пуассона.

Далее рассмотрим законы распределения непрерывных случайных величин.

Наиболее важные примеры распределений вероятностей непрерывных случайных величин – равномерное, показательное и нормальное.

Равномерным распределением в интервале [α,β] называется такое,

58