1674

По аналогии с формулой (108) рассчитываем несмещенную оценку среднего квадратического отклонения: S S2 9,06 3,01;

3) согласно ранее введенным обозначениям при определении доверительного интервала для математического ожидания имеем α<а<β. При этом α=xb – δ; β=xb + δ.

В рассматриваемом примере неизвестно среднее квадратическое отклонение (известна только его оценка), поэтому воспользуемся форму-

По таблице критериев Стьюдента (прил. 3) находим t(0,05 ; 9) = 2,26. Отсюда получим 2,26 3,0110 2,18. Тогда α = xb – δ = 2,2 – 2,18 = 0,02;

β=xb + δ = 2,2 + 2,18 = 4,38. Окончательно имеем 0,02 < а < 4,38.

При определении границ доверительного интервала для оценки среднего квадратического отклонения воспользуемся формулой (120):

Величины 12 и 22 находим по прил.4.

Окончательно имеем следующий доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения: 2,06 < σ <5,5.

Для более глубокого понимания рассматриваемого вопроса разберем пример, в котором известно среднее квадратичное отклонение, т.е. задано по условию задачи.

Пример. Определить доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки неизвестного математического ожидания признака, распределенного по закону Гаусса, если известно, что σ = 8; xb =21,6, а n=81.

Решение. Для определения величины отклонения σ воспользуемся

89

На этом основании имеем α = 21,6 – 1,74 = 19,86; β = 21,6 + 1,74 = 23,34.

Тогда доверительный интервал для математического ожидания полу-

чим 19,86 < а < 23,34.

2.5. Линейная корреляция

Зависимость между X и Y можно описать в виде выборочного уравнения прямой линии регрессии, которое имеет следующий вид:

где x– выборочное среднее признака X; y– выборочное среднее признака

Y; σx, σy – выборочные средние квадратичные отклонения признака X и Y соответственно; yx – условная средняя; rb – выборочный коэффициент корреляции, который определяется по формуле

Рассмотрим конкретный пример.

Пример. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X по данным, приведенным в табл.12.

Обычно корреляционная таблица заполняется так, как показано в приведенной таблице, т.е. нули в ней опускаются (не пишутся).

90

Величина nij показывает, сколько наблюдений было признака x соответственно с признаком y.

В рассматриваемом примере имеем

Запишем вариационные ряды для признаков X и Y, сложив значения nij по столбцам и строкам соответственно ( табл. 13 и 14).

Определим объем выборки:

n nij ni nj 5+17 +45 +17 +16 =15 +24 +44 +7+10 = 100.

Определим все выборочные величины, которые необходимы для расчета коэффициента корреляции rb:

Db xb2 (xb)2=1150 – (32,2)2 = 1150 – 1036,8 = 113,16;

x Dx 113,16 10,64;

91

Db yb2 (yb)2 =851,75 – (28,65)2 = 851,75 – 820,82 = 30,92;

y Dy 30,92 5,56;

nij xi yi = 5·20·10 + 10·20·20 + 7·25·20 + 15·25·30 + 2·25·40 +

i j

+30·30·30 ++ 4·30·40 + 10·30·50 + 5·35·40 + 2·35·50 + 6·40·40 + 4·40·50 = =136700.

Определяем выборочный коэффициент корреляции по формуле (125):

rb 136700 100·32,2·28,65 7,51. 100·10,64·5,56

Подставляя расчетные величины в формулу (124), имеем

yx 28,65 7,51 5,56 (x 32,2). 10,64

Таким образом, имеем следующее уравнение линейной регрессии:

yx 3,92x 97,72 ,

которое является математической зависимостью между признаками X и Y, полученной на основе обработки статистических данных методами корреляционного анализа.

2.6. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны

Пусть будут заданы n и m – независимые выборки больших объемов (n > 30 и m > 30), по которым найдены соответствующие выборочные xb и

yb . При этом заданы генеральные дисперсии Dx и Dy.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н0: M(X)=M(Y) о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух генеральных совокупностей, распределенных нормально, с известными дисперсиями при конкурирующей гипо-

92

тезе Н1: M(X)≠M(Y), необходимо вычислить наблюденное значение критерия

и по таблице функций Лапласа (см. прил. 2) определить критическую точку Zкр из следующего равенства:

Если Zнабл < Zкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н1: M(X)>M(Y) находят критическую точку Zкр из равенства

Если Zнабл < Zкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если Zнабл Zкр, то нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н1: M(X)<M(Y) находят «вспомогательную точку» Zкр (по правилу 2). Если Zнабл > Zкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если Zнабл Zкр, то нулевую гипотезу отвергают.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример. Пусть будут заданы две независимые выборки, извлеченные из нормальных генеральных совокупностей. Заданы объемы выборки, n = 50 и m = 70, выборочные средние xb =150 и yb =140, генеральные дис-

персии Dx=90 и Dy=100. При уровне значимости α=0,01 проверить нулевую гипотезу Н0: M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе Н1: M(X)≠M(Y).

Решение.

Вычисляем наблюденное значение критерия

Находим критическую точку из равенства

Φ(Zкр) 1 1 0,01 0,495. 2 2

По таблице функций Лапласа (см. прил. 2) определить критическую точку Zкр=2,58. Имеем Zнабл > Zкр,т.е. 5,56 > 2,58. На этом основании отвергаем нулевую гипотезу, поскольку исследуемые выборочные средние различаются значимо.

93

перболу, а на рис.32,в – равномерное распределение (выравнивающая в виде прямой линии, параллельной оси абсцисс).

Выравнивающую кривую проводят через середины ступенек гистограммы (см. рис. 32,а, б) либо как среднюю линию между ступеньками гистограммы (см. рис. 32,в).

Для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины необходимо определить следующие параметры:

n1i – теоретическая частота попадания случайной величины в i-й по-

дынтервал,

где pi – вероятность попадания случайной величины X в подынтервал (xi, xi+1), т.е. pi=p(xi < X < xi+1);

n – объем выборки,

2 – наблюдённое значение критерия Пирсона,

где S – количество немалочисленных подынтервалов, в которых ni ≥ 5. Если это правило не выдерживается, то малочисленные подытервалы либо объединяют, либо присоединяют к ближайшим соседним подынтервалам;

K – число степеней свободы выборки,

где r – число параметров, оцениваемых по выборке. Оно различно при рассмотрении различных гипотез.

Если задан (либо принят) уровень значимости α и определено число степеней свободы выборки K, то по прил. 4 определяют табулированное значение критерия Пирсона:

Если набл2 2( ,K), то нет оснований для того, чтобы отвергать гипотезу о выдвинутом законе распределения. В противном случае гипотеза отвергается.

Вероятности попадания случайной величины X в подынтервал (xi, xi+1) определяются по-разному при выдвижении различных гипотез, а именно:

95

1. Пусть выдвинута гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Тогда

где Zi – нормированная нормально распределенная случайная величина, которая определяется по формуле

причем считают, что Z1=-∞; ZS+1=+∞. Для того чтобы можно было использовать формулы (135) и (136), предварительно необходимо определить выборочное среднее xb и выборочное среднее квадратическое отклонение b для нормального закона распределения. Поскольку в этом случае будут определяться два параметра выборки (xb и b ), то r=2.

2. Допустим, после построения гистограммы есть основание выдвинуть гипотезу о показательном законе распределения изучаемой случайной величины. Тогда

Здесь также необходимо определить xb , а затем найти оценку неизвестно-

го параметра показательного распределения.

xb

Вэтом случае r = 1.

3.Предположим, что изучаемая случайная величина подчинена равномерному распределению. Тогда

В этом случае необходимо предварительно определить xb и b , т.е. r = 2. Здесь следует заметить, что x1 заменяется на а, а x S+1 на b. Во всех рассмотренных случаях при расчетах xb и b в качестве элемента выбор-

ки берут середину подынтервалов.

В качестве упражнения по вышеприведенному материалу рассмотрим следующий пример.

Пример. Выдвинуть гипотезу о законе распределения и проверить ее по критерию согласия Пирсона при уровне значимости 0,05, если эмпириче-

96

ское распределение задано в виде последовательности подынтервалов и соответствующих им частот (табл.16).

Причем в этой таблице заданы только подынтервалы и соответствующие им частоты, строка ni h вычисляется дополнительно и заносится в эту таблицу для построения гистограммы (рис. 33).

Решение. На основании табл.16 строим гистограмму (рис. 33), используя строку ni h, где h xi 1 xi 6 0 6.

По виду выравнивающей кривой (см. рис.33) выдвигаем гипотезу о нормальном законе распределения изучаемой случайной величины.

Найдем n ni 100. Необходимо определить два параметра выбор-

ки (xb и b), т.е. r=2.

Запишем вариационный ряд (табл.17), в котором каждый подынтервал должна представить его середина (129): xi xi xi 1 /2.

97

Определяем среднее выборки xb и выборочное среднее квадратов xb2 :

Находим выборочную дисперсию: Db xb2 xb 2 520,2 20,76 2

89,22.

Определяем среднее квадратичное отклонение выборки: b Db =

=89,22 9,45.

Все необходимые вычисления произведем по вышеприведенным формулам, а результаты расчетов занесем в табл. 18.

Таблица 18

Результаты расчетов

По формуле (136) определяем Zi и Z i+1. Чтобы не приводить здесь всех расчетов по этим параметрам, рассмотрим определение этих величин на примере четвертого интервала. Так,

которая занесена в третью строку (первые два подынтервала объединены по причине их малочисленности) столбца Zi.

Z5 x5 xb 24 20,76 0,34,b 9,45

98