1674

плотность вероятности которого является постоянной и определяется по формуле

где α и β - начало и конец интервала. Вне данного интервала f(x) = 0. Причем центр равномерного распределения совпадает с центром рассматриваемого интервала (рис.15).

f(x)

1

β α

Рис.15. График плотности равномерного распределения

Отсюда следует, что при равномерном распределении в интервале среднеквадратичное отклонение пропорционально длине интервала:

Заметим, что обычные выражения “ Выберем точку х наудачу в интервале [ α,β] “ или “ Направление на плоскости ” означают, что рассматриваемая величина (точка или угол) представляет собой случайную величину с равномерным распределением вероятностей в интервале [α,β] или

[0, 2π].

Далее, рассмотрим показательное распределение, к которому приводится задача о распределении промежутка времени Т между двумя последовательными событиями в простейшем потоке, вероятность наступления

59

того или иного события в котором зависит от длительности рассматриваемого промежутка времени и не зависит от того, какое число событий наступило до начала этого периода.

Говорят, что случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром λ, если плотность ее вероятности равна

при положительных Х и равна нулю при отрицательных Х.

Это распределение еще называют экспоненциальным распределением по виду кривой распределения (рис. 16) .

F(x)

Рис 16. Кривая показательного распределения

Заметим, что математическое ожидание здесь определяется по формуле

Действительно, средний промежуток времени между двумя последовательными событиями в простейшем потоке равен 1/λ. Скажем, за минуту наступает 5 событий, 1/5 минуты – это средний промежуток времени между событиями.

Дисперсия в показательном распределении равна

а среднеквадратичное отклонение здесь равно математическому ожиданию

Следует заметить, что f(x) в этом распределении быстро уменьшается и уже при 7/ λ равно 0,001.

Найдем интегральную функцию показательного распределения:

60

На рис.17 приведен график интегральной функции F(x) для показательного распределения.

f(x)

Рис. 17. График функции распределения F(x) показательного закона распределения

Показательное распределение широко применяется в инженерных приложениях, в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надежности.

Пусть элемент начинает работать в момент времени t0 , а по истечении времени длительностью t происходит его отказ.

Тогда, если обозначить через Т – длительность времени безотказной работы, то F(t) = P(T < t) – интегральная функция, которая определяет вероятность отказа за время t. А вероятность безотказной работы, т.е. события, противоположного отказу, за это же время t (T>t) равна

Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время t.

Известно, что F(t)=1 – е– λt , тогда

Показательным законом надежности называют функцию надежности (66), где λ – интенсивность отказов. Функция надежности дает возможность определить вероятность безотказной работы элемента за время t, если время безотказной работы имеет показательное распределение.

Пример. Допустим, время безотказной работы экскаватора распределено по показательному закону с интенсивностью λ = 0,02. Найти вероят-

61

ность безотказной работы машины в течение 100 часов.

Решение. Имеем f(t) = 0,02 е -0,02 t ,

тогда R(t) R(100) е 0,02100 е 2 0,135.

Ответ: R(t)≈ 0,14.

Нормальный закон распределения – наиболее часто встречающийся в природе и технике закон распределения непрерывной случайной величины, поэтому являющийся наиболее изученным и важным в теории вероятностей. Этот закон часто называют законом Гаусса (по имени его открывателя).

Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а и σ2 , если для любых х1 и х2 (х1<х2) имеет место соотношение

Параметр a представляет собой математическое ожидание, а σ2 – дисперсия случайной величины.

Отсюда дифференциальная функция распределения или плотность вероятности определяются по формуле

Исследуем график плотности вероятности для закона Гаусса:

2. lim f (x) 0.

x

3. При исследовании f(x) на экстремум имеем f (x)=max при х=а.

f(x)

1

σ1 2π

1

σ2 2π

Рис. 18. Графики плотности вероятностей для закона Гаусса, или кривые Гаусса

62

Итак, f(x) – четная симметричная функция, как показано на рис.18. Причем mx1 <mx2 , a σ1<σ2. Таким образом, mx характеризует положе-

ние центра кривой на оси х, а σ определяет ее форму: чем больше σ, тем f(x) более пологая.

Существует понятие нормированного нормального распределения: это распределение, у которого а = 0; σ = 1. Скажем, если Х – нормально рас-

пределенная случайная величина с параметрами а и σ, то U x a – нор-

мированная нормально распределенная случайная величина, причем m(U)=0, а σ(U) = 1.

Плотность вероятности, или дифференциальная функция нормированного распределения, определяется по формуле

График плотности вероятности для нормированной нормально распределенной случайной величины приведен на рис. 19.

f(U)

U

0

Рис. 19. График плотности вероятностей для нормированной нормально распределенной случайной величины U

Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид

Для F (x) и F0(U) составлена таблица или, как обычно говорят, они табулированы.

На основании формул (70) и (71) имеем графики (рис. 20 и 21).

63

При исследовании природы и техники часто приходится встречаться с задачей определения вероятности попадания случайной величины в заданный интервал.

Нам уже известно, что если случайная величина Х задана дифференциальной функцией, то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу [ α, β], такова:

Как изменится формула (72), если Х распределена по нормальному закону? Учитывая формулу (68), имеем

Для того чтобы можно было пользоваться таблицами, проведем нормировку, введем z = (x–a)/σ; dx = σ dz и определим новые пределы интегрирования. Если х = , то z = ( – a)/σ, а если х = β, то z = (β – a)/σ.

На этом основании

Функция типа

64

называется функцией Лапласа. Поэтому окончательно имеем

Функция Лапласа табулирована (см. прил. 2). Эта функция обладает следующими свойствами:

2)функция Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(-х) = – Ф(х);

3)lim Ф(х) 1. lim Ф(х) 1.

Поэтому функция Лапласа табулирована только в интервале 0 – 5. Таким образом, при движении от - ∞ до +∞ функция Лапласа изменяет-

ся от – 0,5 до +0,5, проходя через Ф(х) = 0, как показано на графике

(рис. 22).

(x)

0,5

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-0,5

Рис. 22. График функции Лапласа

Формула (75) имеет важное практическое значение, поскольку значительно упрощает расчеты.

Пример. Допустим, случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а = 30; σ = 10. Найти вероятность того, что Х примет значения в интервале [10, 50].

Решение. Воспользуемся формулой (75):P(10 x 50) Ф 50 30 /10

Ф 10 30 /10 2Ф(2).Из прил. 2 имеем Ф(2) = 0,4772.

Тогда искомая вероятность равна Р(10<x<50) = 2 · 0,4772 = 0,9544. В

65

практике вероятностных оценок широко используется правило так называемых трех сигм. Сущность этого правила легко пояснить на чертеже

(рис. 23).

f(x)

Рис. 23. Графическая интерпретация правила трех сигм

Допустим, нас интересует вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал ±σ. Используя формулу (75), име-

2 0,4986=0,9972 → 99%.

Отсюда следует весьма важный инженерный вывод: в интервал а ±3σ, попадают практически все (99,72%) значения случайной величины, распределенной по нормальному закону.

На практике этот принцип применяется еще и так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условия приведенного правила выполняются, то имеются основания считать изучаемую величину распределенной нормально, в противном случае она не распределена нормально.

Примером непрерывной случайной величины, распределенной по нормальному закону, являются величины любых измерений. Действительно, если производить измерение любого параметра чувствительным прибором, то его величина каждый раз будет разная, а если этого не происходит, то отклонения измеряемого параметра лежат за пределами чувствительности измерителя.

1.2.6.Задачи

1.2.6.1.Число отказов двух землеройно-транспортных систем за некоторый период времени Т имеет биномиальное распределение и характеризуется следующими параметрами:

- для скрепера: mx1 N; Dx1 14N ;

66

- для бульдозера: mx2 0,75N; Dx2 0,5N .

Какая из этих систем имеет более высокую вероятность отказов? 1.2.6.2.Вероятность того, что студент обнаружит неисправность в зем-

леройно-транспортной системе, в среднем равна (0,5 + N 10-2). Сколько нужно осуществить независимых попыток обнаружения неисправности в одинаковых условиях, чтобы математическое ожидание числа удач было бы равно 4?

1.2.6.3. Помещение ремонтной мастерской освещается 20 N лампочками (где – вторая цифра номера группы; N – порядковый номер студента в списке группы), каждая из которых имеет вероятность перегорания10-2 в месяц. Какой запас ламп в среднем необходимо иметь, чтобы обеспечивать освещение рассматриваемой мастерской в течение года?

1.2.6.4.Завод отправил в адрес заказчика 40 N исправных землерой- но-транспортных систем (ЗТС), вероятность повреждения каждой из которых в пути равна 10-3 .Определить вероятность того, что заказчик получит три неисправных машины.

1.2.6.5. Мастерская строительного управления обслуживает 20 N зем- леройно-транспортных систем (ЗТС). Вероятность того, что любой из рассматриваемых ЗТС потребуется ремонт в течение суток, равна 10-2. Определить вероятность того, что в течение суток в мастерскую на ремонт поступят:

а) ровно три заявки; б) менее трех заявок; в) более трех заявок; г) хотя бы одна заявка.

1.2.6.6.Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение времени ожидания автобуса, если интервал движения автобусов на рассматриваемом маршруте равен пяти минутам?

1.2.6.7.В условиях задачи 1.2.6.6 определить вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке и не знающий расписание движения автобусов, будет ожидать очередной автобус менее четырех минут.

1.2.6.8.Спидометр (указатель скорости) имеет цену деления 5 км/ч. Показания рассматриваемого прибора обычно округляются до ближайшего целого деления. Определить вероятность того, что при очередном отсчете будет допущена ошибка, превышающая 1 км/ч.

1.2.6.9.Продолжительность времени безотказной работы виброударного механизма выражена следующей функцией надежности:

R(t) e (N 10 3 ) t при t >0.

Определить вероятность того, что за 500 часов прибор: а) откажет; б) не откажет.

67

1.2.6.10. Длительность времени безотказной работы гидропривода манипулятора имеет показательное распределение с функцией распределения

F (t) 1 e 10 2 t .

Определить вероятность того, что за время длительностью 10 N рассматриваемый гидропривод:

а) откажет; б) не откажет.

1.2.6.11. Проходят испытания две землеройно-транспортные системы, которые характеризуются следующими продолжительностями безотказной работы: F1(t) 1 e 0,01 N t ; F2(t) 1 e 0,01 t .

Определить вероятность того, что за 50 часов: а) обе системы откажут; б) обе системы не откажут;

в) только одна система откажет; г) хотя бы одна система откажет.

1.2.6.12. Время Т работы до отказа гидропривода управления отвалом бульдозера имеет функцию распределения F(t) 1 e N 10 3 t (t > 0).

Определить вероятность того, что продолжительность безотказной работы этого механизма будет больше своего математического ожидания.

1.2.6.13. Автогрейдер имеет показательное распределение продолжительности безотказной работы при интенсивности отказов N 10 3 в час.

Определить вероятность того, что отказ рассматриваемой ЗТС наступит

винтервале времени а t.

1.2.6.14.Деталь изготавливается в ремонтной мастерской с помощью автомата. Причем деталь считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от номинального не превышает N мм и подчинено нор-

мальному распределению со средним квадратическим отклонением х = 0,5 мм без систематической ошибки. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

1.2.6.15.Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной величины Х соответственно равны 5 и 1. Определить вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале [4; 6].

1.2.6.16.Экскаватор прокладывает траншею. Контролируется глубина

траншеи Х, которая распределена нормально с а = 200 см. Фактически глубина траншеи не менее 170 см и не более 230 см. Определить вероятность того, что при очередном измерении глубина траншеи окажется:

а) больше 215 см; б) меньше 190 см.

68