1674

А B C

A

B

C

б)

Рис. 1. Геометрическая интерпретация суммы событий D = AUBUC = A + B + C (а)

и произведения событий А В С (б)

Часто говорят, что если не наступает событие А, то наступает событие, ему противоположное, которое обозначается Ā и называется не А, понимая под этим событием все остальные элементарные события, которые могут произойти в результате реализации опыта.

Для событий справедливы следующие соотношения (свойства алгебры событий):

а) AUB = A + B = B + A; A B = A·B = B·A;

б) AUBUC = AU (BUC) = (AUB)UC = A + B + C = A + (B+C) = = (A+B) + C;

A B C = A (B C) = (A B) C = A·B·C = A· (B·C) = (A·B) ·C; в) A (BUC) = A BUA C = A · (B+C) = A · B + A · C;

г) AUĀ = A + Ā = E;

A Ā = A·Ā = ;

AUE = A + E = A;

A E = A · E = A;

AU = A + = A;

A = A· = ; Ē = .

9

1.1.2.Задачи

1.1.2.1.Образуют ли полную группу следующие события: а) Опыт – заводка двигателя;

события: А1 – двигатель заведен; А2 – двигатель не заведен.

б) Опыт – разработка грунта скрепером; события: А1– набор грунта в ковш;

А2 – транспортировка грунта. в) Опыт – запуск трех двигателей;

события: А1 – запущен один двигатель; А2 – запущены два двигателя; А3 – запущены три двигателя.

г) Опыт – запуск четырех двигателей; события: А1– хотя бы один успешный запуск;

А2– хотя бы один неудачный запуск. д) Опыт – технический осмотр пяти бульдозеров;

события: А1 – один бульдозер неисправен; А2 – хотя бы два бульдозера неисправны.

е) Опыт – распределение трех автомашин по работам; события: А1 – две машины не назначены на работы;

А2 – хотя бы одна машина назначена на работу; А3 – ни одна машина не назначена на работу.

ж) Опыт – отсыпка насыпи с помощью скрепера; события: А1 – набор грунта в ковш;

А2 – транспортировка грунта; А3 – разравнивание грунта на насыпи.

1.1.2.2.Являются ли совместными следующие события:

а) Опыт – выравнивание грунта на площадке с помощью бульдозера; события: А1 – срезание выпуклостей грунта;

А2 – заполнение впадин грунтом.

б) Опыт – рытье котлована с помощью скрепера; события: А1 – набор грунта в ковш;

А2 – транспортировка грунта. в) Опыт – движение трех автомобилей; события: А1 – разгон автомобиля № 1;

А2 – торможение автомобиля № 2; А3 – остановка автомобиля № 3.

г) Опыт – движение автомобиля; события: А1 – разгон;

А2 – торможение.

10

д) Опыт – отсыпка насыпи с помощью трех скреперов; события: А1 – набор грунта в ковш некоторой ЗТМ; А2 – транспортировка грунта некоторой ЗТМ;

А3 – эвакуация грунта из ковша некоторой ЗТМ.

е) Опыт – распределение трех землеройных машин по работам; события: А1 – хотя бы одна машина назначена на работу;

А2 – хотя бы одна машина не назначена на работу; ж) Опыт – текущий ремонт двух автомобилей;

события: А1 – установка кабины на некоторой машине; А2 – снятие заднего моста некоторой машины; А3 – проточка цилиндров двигателя машины.

1.1.2.3. Каким событием необходимо дополнить указанную совокупность, чтобы получить полную группу событий:

а) Опыт – соревнование двух водителей бульдозеров при рытье идентичных котлованов;

события: А1 – соревнование выиграет водитель первого бульдозера; А2 – соревнование выиграет водитель второго бульдозера.

б) Опыт – эксплуатация землеройной машины; события: А1 – работа;

А2 – ремонт. в) Опыт – работа скрепера;

события: А1 – набор грунта в ковш; А2 – транспортировка грунта.

г) Опыт – отсыпка насыпи с помощью бульдозера; события: А1 – движение вперед;

А2 – движение назад.

д) Опыт – технический осмотр двух автогрейдеров; события: А1 – обе машины исправны;

А2 – обе машины неисправны.

е) Опыт – заказ на поставку трех автомобилей; события: А1 – поставлен хотя бы один автомобиль;

А2 – поставлены все автомобили. ж) Опыт – отсыпка четырех насыпей;

события: А1 – хотя бы две насыпи отсыпаны; А2 – хотя бы одна насыпь не отсыпана.

з) Опыт – ремонт одного бульдозера и двух автогрейдеров; события: А1 – отремонтирован один автогрейдер;

А2 – отремонтирован бульдозер.

1.1.2.4. Являются ли противоположными следующие события:

а) Опыт – выравнивание грунтовой площадки с помощью бульдозера;

11

события: А1 – отвал соприкасается с грунтом; А2 – отвал не соприкасается с грунтом.

б) Опыт – рытье котлована с помощью скрепера; события: А1 – транспортировка грунта;

А2 – возвращение порожнего ковша на исходные позиции (холостой ход).

в) Опыт – отсыпка насыпи с помощью автогрейдера; события: А1 – накопление грунта на насыпи;

А2 – выравнивание грунта.

г) Опыт – заявка на диагностику и ремонт автомобиля; события: А1 – неисправность обнаружена;

А2 – неисправность устранена. д) Опыт – осмотр трех автомобилей;

события: А1 – обнаружен хотя бы один неисправный автомобиль; А2 – обнаружен хотя бы один исправный автомобиль.

е) Опыт – движение автомобиля; события: А1 – разгон;

А2 – остановка.

1.1.2.5. Допустим, имеются три скрепера. Событие А – хотя бы один из них исправен, В – неисправных скреперов среди них не менее двух. Что означают события A и B ?

1.1.2.6.При проверке двух бульдозеров с помощью системы диагностики обнаружено, что: А – один бульдозер неисправен, В – один бульдозер исправен. Что означают следующие события:

а) А + В;

б) А · В;

в) Ā + В;

г) Ā · В?

1.1.2.7.При осмотре парка землеройных машин, состоящего из шести автогрейдеров, установлено следующее: А – исправных машин менее трех, B – неисправных машин менее трех. Что означает следующее соотноше-

ние: А В?

1.1.2.8. Производится технический контроль состояния автогрейдера, скрепера и бульдозера.

События: А1 – неисправен автогрейдер; А2– неисправен бульдозер; А3 – неисправен скрепер;

В1 – все землеройно-транспортные машины исправны; В2 – две из указанных машин исправны; В3 – одна из указанных машин исправна; В4 – все машины неисправны.

12

Выразить события Bi (i = 1, 2, 3, 4) через события Aj (j = 1, 2, 3) и им противоположные.

1.1.2.9. Допустим, на гигантском холме предполагается разместить жилой массив. С этой целью на склонах холма создаются горизонтальные кольца-площадки (ступеньки) радиусом Ri (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6), начиная от центра холма. Причем R1<R2<…<R6. Событие Ai состоит в том, что ЗТМ работают на удалении Ri от центра холма (на i-й площадке). Что означают

следующие события: В1 = Ai ; В2 = Ai ; В3 = Ai ; В4 = Ai ?

1.1.2.10. Три студента соревнуются в обнаружении сложной неисправности автомобиля. Согласно договоренности, каждый их них имеет по две попытки длительностью по 5 минут. Причем попытки осуществляются по очереди. После обнаружения неисправности соревнование прекращается и студент, обнаруживший неисправность, считается победителем. Событие Aij – обнаружение неисправности i-м (i = 1, 2, 3) студентом при j-й (j = 1, 2) попытке. Событие В – состязание выигрывает первый студент; С – второй студент; D – третий студент.

Выразить события B, C, D через события Aij и им противоположные. 1.1.2.11. Представим упрощенно бульдозерный агрегат в виде трех последовательно сочлененных элементов: двигателя, движителя и отвала. Событие Ai – безотказная работа i-го элемента (i = 1, 2, 3). Изображая элементы в виде прямоугольников, составить с учетом их функциональной взаимосвязи расчетную схему бульдозера и выразить всеми возможными способами событие В (исправная работа указанной землеройно-

транспортной машины) через события Ai и им противоположные.

1.1.2.12.Автогрейдер снабжен двумя отвалами, один из которых жестко закреплен, а второй установлен с возможностью изменения углов наклона в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Каждый из указанных отвалов может работать независимо от другого, но при условии движения машины, т.е. при одновременной исправности двигателя и движителя. Основываясь на изложенной функциональной взаимосвязи элементов, составить эквивалентную расчетную схему автогрейдера и выразить события: В

–безотказную работу автогрейдера и B через события Ai – безотказную работу i-го (i = 1, 2, 3, 4) элемента и им противоположные.

1.1.2.13.На уборочной машине установлены три элемента: отвал, щетки и механизм полива. Эти элементы могут работать независимо друг от друга, но только при условии движения автомобиля, т.е. при исправных двигателе и движителе. Принимая упрощенно уборочную машину как совокупность только указанных элементов и учитывая изложенные условия их функционирования, составить их расчетную схему, перечислить полную группу несовместных событий и выразить событие В – безотказную

13

работу уборочной машины через события Ai – безотказную работу i-го (i = 1, 5) элемента и им противоположные.

1.1.2.14. Предположим, разработка грунта ведется путем последовательного использования автогрейдера и бульдозера. Учитывая функциональные взаимосвязи элементов указанных машин, изложенные в задачах 1.1.2.11 и 1.1.2.12, составить расчетную схему разработки грунта и выра-

зить событие В – успешное завершение разработки грунта и B через события Ai – безотказную работу i-го (i = 1, 7) элемента рассматриваемых машин и им противоположные.

Замечание. Как было показано в задачах 1.1.2.11 – 1.1.2.13, переход от любой землеройно-транспортной системы к эквивалентной расчетной схеме не имеет принципиальных трудностей, поэтому ниже приведены только расчетные схемы, которыми заменены соответствующие реальные земле- ройно-транспортные системы.

1.1.2.15. Выразить событие, состоящее в безотказной работе землерой- но-транспортной системы, содержащей семь элементов, соединенных по схеме, изображенной на рис. 2. Событие Ai – безотказная работа i-го (i = 1, 7) элемента.

1.1.3. Непосредственный подсчет вероятностей

Случайное событие, как это было показано выше, появляется не во всех n испытаниях, а лишь n(A) раз: n(А) n. Отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу испытаний называют относительной частотой события и обозначают Р*(А).

Было замечено, что если существуют условия многократного повторения опыта, то относительные частоты события А в различных сериях испытаний группируются вокруг определенной величины.

Предел, к которому стремится относительная частота события при бес-

14

конечном увеличении числа испытаний, называется вероятностью рассматриваемого события и обозначается Р(А).

Это статистическое определение вероятности события.

Например, среди 50-ти землеройных машин различных марок (n=50), поставленных предприятию, у трех были обнаружены повреждения:

n(A) = 3.

Определить вероятность поставки поврежденных машин P(A).

P(A) n(A)n 350 0,06.

Известно еще классическое определение вероятности события, когда

где m – число элементарных событий опыта, благоприятствующих появлению события А; n – число возможных исходов рассматриваемого опыта.

При этом предполагается, что элементарные события опыта единственно возможны и равновозможны.

Частным случаем этого является ситуация, когда необходимо определить вероятность появления одного элементарного события при К равновозможных исходах. В таком случае вероятность события определяется как величина, обратно пропорциональная числу возможных исходов опыта, т.е.

Пример. Стоянки экскаваторов в гараже пронумерованы. Назначение на работу осуществляется путем указания наудачу выбранного номера стоянки машины. Определить вероятность того, что из 10-ти машин на работу будет назначен экскаваторщик Чернышев, если машины закреплены за водителями.

Решение. В рассматриваемом примере исходы равновозможные, а их число равно 10, т.е. K = 10.

Тогда, если через А обозначить рассматриваемое событие,

Р(A) 110 0,1.

Для того чтобы продемонстрировать использование формулы классического определения вероятности, несколько изменим условия рассматриваемого примера и попробуем определить вероятность назначения на работу трех знакомых нам экскаваторщиков.

В этом случае число событий, благоприятных рассматриваемому событию, будет равно трем (m=3), а общее число возможных исходов равно 10

15

(n=10).

Используя известную формулу (3), имеем P(A) m/ n 3/10 0,3. Однако при подсчете вероятностей событий помимо указанных до-

вольно часто приходится использовать формулы комбинаторики, основными из которых являются следующие.

Размещениями из n элементов по m называются соединения, различающиеся входящими в них элементами и порядком их следования. Число размещений из n элементов по m определяется по формуле

Примечание. 0! = 1.

Допустим, в бригаду необходимо назначить из 10–ти водителей широкого профиля (владеющих всеми указанными ЗТМ) трех человек для выполнения очередного задания, причем на работу предлагается выделить автогрейдер, скрепер и экскаватор. Определить, сколько существует возможных вариантов указанного назначения.

Очевидно, что количество вариантов искомых назначений совпадает с определением числа размещений из n элементов по m. Тогда имеем n = 10;

m = 3 и A103 10!/(10 3)! 8 9 10/1 720 вариантов.

Перестановками из n элементов называются соединения, различающиеся только порядком следования входящих в них элементов.

Количество перестановок из n элементов рассчитывают по формуле

Допустим, для увеличения силы тяги к имеющимся трем тягачам, транспортирующим автономные грузы, добавляют три дополнительных трактора из расчета один трактор на тягач. Сколько способов решения имеет данная задача?

Нетрудно видеть, что число вариантов составления дуэтов равно числу перестановок из трех тракторов, т.е. Р3 = 3! = 1·2·3 = 6 вариантов.

Действительно, если обозначить i-й тягач через Ai (i=1,2,3), а j-й трактор через Bj (j=1,2,3), то решение можно представить в виде следующей совокупности:

{А1 В1, А2 В2, А3 В3; А1 В2, А2 В1, А3 В3; А1 В2, А2 В3, А3 В1; А1 В3, А2 В2, А3 В1; А2 В1, А3 В2, А1 В3; А1 В1, А2 В3, А3 В2}, т.е. P33 6.

Если при определении числа перестановок среди элементов есть одинаковые, допустим, элемент с повторялся j раз, элемент a – раз, а элемент b – раз, то формула будет иметь вид

Например, слово «канава» разрезано на буквы, которые перемешаны, а затем выбирают наудачу последовательно эти буквы и пытаются составить утраченное слово. Каково общее число возможных исходов в рассматриваемом опыте?

Здесь для определения общего числа исходов правомерно использовать формулу расчета количества их перестановок из шести букв (слово содержит 6 букв), но в рассматриваемом примере буква а повторяется 3 раза, т.е.

=3.

На этой основе имеем

P66 n! ! 6! 3! 1 2 3 4 5 6 120вариантов. 1 2 3

Необходимо заметить, что к успеху в рассматриваемом примере может привести только один единственный вариант. Тогда n(A) = 1; n = 120 и

P(A) n(A)/ n 1/120 0,0083.

Сочетаниями из n элементов по m называются соединения, различающиеся только входящими в них элементами. Количество соединений определяется по формуле

Например, определить, сколько существует вариантов зачеркивания цифр спортлото по схеме 5 из 36? Здесь m = 5; n = 36, тогда имеем

C536 36!/(36 5)!5! 376 992 варианта.

Возвращаясь к определениям вероятностей, следует заметить, что классическое определение вероятностей может быть использовано только в тех случаях, когда общее количество исходов конечно, т.е. когда их количество можно перечислить. А как определить вероятность события, связанного с геометрическими размерами фигур, как совокупностей бесконечного количества равноправных точек?

Искомая вероятность в этом случае определяется по формуле

где l – геометрический параметр (длина, площадь, объем), благоприятствующий рассматриваемому событию; L – общий геометрический параметр (длина, площадь, объем).

Допустим, нужно определить вероятность того, что нефтепровод Александровское – Анжеро-Судженск прошел через топь одного из Васюганских болот, если на нормали к линии прокладки этой коммуникации примерно через 300 м существуют топи в среднем радиусом 40 м. Шириной нефтепровода можно пренебречь.

Решение. Здесь расстояние между центрами соседних топей равно 340 м (L), из которых 40 м занято топями (l).

17

Тогда, если через А обозначить искомое событие, будем иметь

P(A) l/L 40/340 0,12.

1.1.4.Задачи

1.1.4.1.В контейнере, поступившем в ремонтные мастерские с запчастями, находится (42N – 3) деталей, из которых (24N – 2) бракованных. Определить вероятность того, что:

а) первая наудачу извлеченная из контейнера деталь окажется стандартной;

б) вторая наудачу извлеченная из контейнера деталь окажется стандартной, если первая извлеченная без возврата деталь оказалась стандартной;

в) третья наудачу извлеченная деталь окажется стандартной, если до этого без возврата из контейнера были извлечены стандартная и нестандартная детали.

Примечание. N – номер варианта (если преподаватель не задал иначе, то номер варианта студента определяется по порядковому номеру в списке группы).

1.1.4.2.В бригаде бульдозеристов, состоящей из 15-ти человек, имеются 2 психологически несовместимых человека. В паводковую группу отправляют двух наудачу взятых бульдозеристов.

Определить вероятность того, что на дежурство будут назначены психологически несовместимые люди.

1.1.4.3.Определить вероятность того, что при закладке траншея будет ориентирована по меридиану, если угол между соседними возможными направлениями закладки, начиная от меридиана, определяется по формуле

2 N

где N – номер варианта расчета.

1.1.4.4.В гараже (5N – 2) бульдозеров, (6N – 5) автогрейдеров и (14N – 10) уборочных машин, случайным образом расположенных на номерных стоянках. Определить вероятность того, что наудачу названная стоянка принадлежит:

а) бульдозеру; б) автогрейдеру;

в) уборочной машине,

если N – номер варианта (порядковый номер студента в списке группы при условии, что преподаватель не задал иначе).

1.1.4.5.При условии задачи 1.1.4.4 определить вероятность того, что при двух названных стоянках возникли следующие ситуации:

а) обе стоянки принадлежат бульдозерам;

18