1674

которая занесена в третью строку столбца Z i+1 и т.д. Функции Лапласа определяются по прил. 2.

Например, при Z4 = – 0,29 имеем Ф(– 0,29)= – 0,1141, при Z5=0,34 полу-

чим Ф(0,34)=0,1331 [см. табл.18, строка три, столбцы Ф(Zi) и Ф(Zi+1)].

По формуле (135) находим соответствующие вероятности, например p4 = Ф(Z5) – Ф(Z4)=0,1331 – ( – 0,1141)=0,2472 (см. табл.18, третья строка,

столбец pi ).

По формуле (130) для четвертого интервала находим n14 n4 p4 , ко-

торую заносим в табл. 18 (строка третья, столбец n1i ).

(23 24,72)2 0,12 , которую заносим в табл. 18 (строка три, столбец

24,72

ni n1i 2 n1i ).

По формуле (132) находим

где S – число немалочисленных подынтервалов, S = 5.

Определяем степень свободы выборки по формуле (133): K = S – r – 1 = 5 – 2 – 1 = 2.

По таблице критических точек распределения 2 (см. прил. 4) находим

кр2 2(0,05;2) 6,0.

Поскольку набл2 кр2 , т.е. 0,749 6,0, то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности. Расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами в этом случае незначимо (т.е. случайно).

2.8.Обработка экспериментальных данных

2.8.1.Подбор аналитической зависимости по методу наименьших

квадратов

Допустим, две величины Х и Y связаны некоторой неизвестной зависимостью Y=f(x). В результате n наблюдений получены практические значения f(x) в точках х1, х2, х3, х4, …, хп, т.е. получены следующие практические сведения об изучаемой зависимости: y1=f(x1); y2=f(x2); y3=f(x3),…,

yn=f(xn).

Поскольку характер функциональной зависимости между Х и Y в самом

99

общем случае неизвестен, то, используя вышеуказанные наблюдения, необходимо подобрать аналитическую формулу, отражающую с достаточной степенью точности эту зависимость. Установить истинный характер искомой зависимости невозможно, поэтому задача состоит в том, чтобы путем использования математической обработки результатов наблюдений найти так называемые эмпирические формулы, удовлетворительно согласующиеся с опытными данными. Эти формулы являются лишь гипотезами, предположениями, однако значение их трудно переоценить. Полученную по результатам наблюдений формулу можно использовать для дальнейших исследований методами математического анализа, вычислить промежуточные значения функции y=f(x) и т.п.

Определение аналитической зависимости между Х и Y, т.е. построение эмпирической формулы, слагается из двух этапов: 1) подбор общего вида искомой зависимости величины; 2) определение параметров этой зависимости.

В математической теории планирования эксперимента искомая зависимость называется математической моделью и представляет собой полином

– отрезок ряда Тейлора, который выводится на основе обработки экспериментальных данных в виде функции

где – коэффициент уравнения регрессии, полученный на основе обработки данных генеральной совокупности.

В инженерной практике имеют дело только с выборками и тогда математическая модель объекта получает следующий вид:

где в – выборочный коэффициент, т.е. коэффициент, полученный на основе обработки данных наблюдений; в0 – свободный член уравнения регрессии; вi – линейный эффект от действия i-го фактора; вij – бинарный эффект от взаимодействия i-го и j-го факторов; вijk – эффект тройного взаимодействия i-го, j-го и k-го факторов; вjj – квадратичный эффект от действия j-го фактора.

В самом общем случае вид уравнения регрессии (144) неизвестен, поэтому он определяется путем подбора этой зависимости либо, если изучается связь от одного фактора, целесообразно построить эмпирическую линию регрессии.

Эмпирическая линия регрессии строится на поле корреляции, представляющем собой чертеж с нанесенными экспериментальными точками в заданном масштабе. Построение эмпирической линии регрессии сводится

100

к следующему.

Весь диапазон независимой переменной Х разбивается на m одинаковых подынтервалов x (рис. 34).

Координата xi, являющаяся серединой подынтервала xi, и представляет собой абсциссу всех точек, попавших в i-й интервал.

Затем подсчитывается число экспериментальных точек, попавших в заданный диапазон x, и на их основе определяется координата yi по формуле

Основным условием здесь является

где N – общее количество опытов в рассматриваемом эксперименте, или объем выборки; m – число подынтервалов, на которые разбивается диапазон изменения независимой переменной.

Число подынтервалов разбиения определяется по формуле m N , но практически эта величина не бывает меньше 5 и больше 12, т.е. ее принимают 5 m 12.

Вышеизложенным способом получают m точек (по количеству подынтервалов разбиения), затем их последовательно соединяют ломаной лини-

101

ей, которая называется эмпирической линией регрессии.

По виду эмпирической линии регрессии можно судить о характере связи между X и Y, что, в конечном счете, определяет вид искомого уравнения регрессии y=f(x). В рассматриваемом примере математическую зависимость между X и Y можно аппроксимировать прямой линией, как показано на рис. 34.

Критерии существования линейной зависимости между Х и Y можно

Если коэффициент ki постоянный, то точки Mi(xi , yi) лежат на одной прямой, а если k1 k2 ... kп , то точки Мi приблизительно лежат на одной прямой. В зависимости от того, с какой точностью выполняется условие ki const , решается вопрос о возможности использования в качестве математической модели изучаемого явления или объекта линейной зависимости.

Когда определен вид уравнения регрессии, переходят к определению конкретных коэффициентов этого уравнения. Определение коэффициентов уравнения регрессии производится из условия наименьшего отклонения экспериментальных точек от линии регрессии, соответствующей уравнению (144). Для этого используют метод наименьших квадратов.

Сущность этого метода состоит в следующем. Допустим, имеется выборка объема N, которая сведена в табл. 19.

Задача определения параметров уравнения регрессии сводится практически к определению минимума функции многих переменных, если функ-

i 1

т.е. разность между искомой функцией и экспериментальными точками была минимальной. Здесь

Известно, что необходимым условием минимума функции (148) являет-

ся

102

линейной зависимостью. В таком случае целесообразно подобрать новые переменные u=f(x,y) и v=f(x,y), такие, чтобы между u и v была линейная зависимость. Такой прием называется выравниванием вышеуказанных нелинейных зависимостей.

Пусть y является степенной функцией от x:

Новые переменные u и v связаны линейной зависимостью и, следовательно, к ним можно применить проверочный критерий существования этой зависимости:

ui ui 1 ui;

vi vi 1 vi(i 1,2,...,m)

Тогда, если

ki vi const,

ui

то критерий существования линейной зависимости между u и v выполняется, а это значит, что эмпирическая формула (153) подобрана правильно. Во всех остальных случаях, когда ki const , функция (153) не отображает истинную зависимость между x и y.

Пусть y является показательной функцией x:

Логарифмируем это уравнение: lny=ах+lnc. Вводим новые переменные: u=х; v=lny, тогда исходное уравнение примет вид

Обозначим v=y; u=х-1. Получим линейную зависимость v=аu+в. Пусть y является квадратичной функцией x:

y=в0+в1 x+в11х2. (158)

104

териалов в жидких средах (растворителях).

В табл. 20 приведены экспериментальные данные вышеуказанного процесса.

В нижней строке первого столбца указывается номер варианта. В столбцах со второго по десятый указаны значения независимой переменной xi, представляющие собой температуры соответствующей жидкости в кельвинах, а в столбцах с 11-го по 19-й приведены величины независимой переменной yi – максимального удельного растворения соответствующего порошкообразного вещества в заданной жидкости, выраженного в граммах на 100 грамм жидкости.

Таблица 20

Исходные данные по эксперименту

Используя соответствующие данные табл. 20, исследователю надлежит получить математическую зависимость растворения порошкообразного материала в заданной жидкости, выраженную уравнением регрессии.

Для выполнения указанного требования необходимо:

1)построить эмпирическую линию регрессии для заданного варианта статистических данных;

2)выбрать вид соответствующего уравнения регрессии;

3)рассчитать параметры выбранного уравнения регрессии, т.е. определить числовые значения соответствующих коэффициентов на основе использования метода наименьших квадратов;

4)произвести проверку правильности расчетов, выполненных в п.3, и если эти расчеты не содержат ошибок, то записать полученное уравнение регрессии.

Решение. Следует определить по объему выборки N=9 зависимость растворимости порошка y от температуры растворителя x.

Начинающий исследователь, как правило, сталкивается с рядом трудностей при практическом использовании метода наименьших квадратов, в частности, с чего начинать расчеты, как проверить их правильность и т.д.

Выполнение работы начинаем с того, что по исходным данным построим эмпирическую линию регрессии. Из-за малого объема выборки это построение сводится к нанесению экспериментальных точек на график в выбранном масштабе (рис.35).

Согласно построенной эмпирической линии регрессии зависимость

107

между x и y линейная, т.е. выражается следующим уравнением регрессии y€ в0 в1x.

Коэффициенты в0 и в1 рассматриваемого уравнения определяем по формулам (164) и (165). Для проведения необходимых вычислений экспериментальные данные и результаты вычислений представим в виде табл.21.

Последние два столбца табл. 21 используются для проверки правиль-

ности вычислений по формуле (xi yi)2 x2 2 xi yi yi2 ,

1199579,08 = 887721 + 2 144004,8 + 23848,48, окончательно имеем 1199579,08 = 1199579,08, т.е. вычисления прошли верно.

Рис. 35. Эмпирическая линия регрессии для рассматриваемого примера

108