1674

1.2.6.17. Автогрейдер, работая на планировке грунтовой площадки, имеет следующие характеристики нормально распределенной случайной величины Х – отклонения от горизонтальной поверхности: а = 10 см, х = 5 см.

Определить интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут расположены значения рассматриваемой случайной величины Х.

1.2.7. Предельные теоремы теории вероятностей.

Наибольшая познавательная ценность теории вероятностей заключена в ее предельных теоремах.

Опыт, накопленный человечеством, говорит о том, что события, имеющие вероятность, весьма близкую к единице, почти всегда происходят. Точно так же, события, вероятность которых очень мала (иначе, очень близка к нулю), наступают весьма редко. Эти обстоятельства играют основную роль для всех практических выводов из теории вероятностей, поскольку указанный опытный факт дает основание считать в практической деятельности маловероятные события практически невозможными, а события, происходящие с вероятностью, весьма близкой к единице, практически достоверными. При этом нельзя дать однозначные ответы на вопросы, каковы должны быть эти вероятности, чтобы мы могли события считать практически невозможными либо практически достоверными.

Например, если измеренное расстояние между селениями равно 12 670 м и ошибка этого измерения с вероятностью 0,02 равна или больше 20 м, то мы можем этой ошибкой пренебречь и считать расстояние равным 12 670 м. Но если при строительстве большой гидростанции выяснилось, что вероятность катастрофического паводка в рассматриваемых условиях равна 0,02, то эта вероятность будет сочтена большой и при проектировании станции она должна быть учтена, а не отброшена, как это было сделано в предыдущем примере.

Из сказанного следует, что только требования практики могут подсказать, какие события мы будем считать практически невозможными или практически достоверными.

Вместе с тем необходимо заметить, что любое событие, имеющее сколь угодно малую вероятность, все таки может произойти. Так, при раздаче карт между четырьмя партнерами в условиях хорошей их тасовки вероятность того, что каждый их них получит карты только одной масти, равна менее 1,1·10-18, иначе говоря, чрезвычайно мала. И тем не менее однажды факт такой раскладки все-таки был зарегистрирован.

Таким образом, в практической деятельности, как и в общетеоретических задачах, большое значение имеют события с вероятностями появления, близкими к единицы или нулю.

69

Рассмотрим важнейшие предельные теоремы теории вероятностей: закон больших чисел или теорему Чебышева и центральную предельную теорему, отвечающие на поставленные вопросы.

Для доказательства теоремы Чебышева рассмотрим прежде всего неравенство Чебышева, суть которого заключается в следующем.

Случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания mх по абсолютной величине меньше, чем на положительное число ε с

вероятностью не меньше, чем 1 Dx 2 . Иначе, вероятность того, что величина Х отклонится от своего математического ожидания на величину меньше ε, больше или равна величине 1 Dx 2 .

Доказательство: случайная величина Х может отклониться от своего математического ожидания на величину меньше, чем ε и больше или равно ε. Эти события составляют полную группу событий.

Известно, что сумма вероятностей полной группы событий всегда рав-

Доказательство сводится к тому, чтобы вместо вычитаемого в соотношении (77) можно было поставить Dx 2 .

Дисперсия в теории вероятностей определяется по формуле

n

Dx (xi mx )2 pi .

i 1

Или, иначе,

В соотношении (78) произведем перегруппировку таким образом, что

ные от ( k+1) до n будут иметь эту разность большую или равную , т. е. xi mx .

Теперь из соотношения (78) опускаем к первых членов, у которых

Заменяем в соотношении (79) разность (xi – mx) на . От этого неравенства (79) только усилится. При этом выносим общий элемент за скобки,

С увеличением количества опытов n вычитаемое стремится к нулю,

поскольку в левой части соотношения (86) вероятность, которая не может быть более единицы для любого события. Что и требовалось доказать.

Закон больших чисел, или иначе теорема Чебышева имеет большое практическое значение.

Допустим, х1, х2, …, хn – результаты отдельных измерений, к которым может быть применена теорема Чебышева при условии, что:

1.Результаты каждого измерения не зависят от остальных.

2.Измерения производятся без систематической ошибки, т. е. mx=a.

3.Измерительные приборы обеспечивают достаточную точность измерения, т. е. рассеяние измерения ограничено заданной величиной.

Тогда при достаточно большом числе измерений n среднее арифметическое сколь угодно мало отличается от истинного значения случайной величины.

Этот принцип положен в основу выборочного контроля качества продукции, с помощью которого значительно снижаются трудовые и материальные затраты и достигается основная цель этого контроля – не допустить снижения качества выпускаемой продукции.

Но, кроме того, иногда физически невозможно (допустим, измерить длину всех волокон урожая хлопка) либо экономически недопустимо использовать сплошной контроль, как в случае с контролем качества ламп освещения на продолжительность горения. Если, допустим, предположить, что изготовитель электроламп принял схему сплошного контроля этих изделий на продолжительность их горения, то, во-первых, потребовались бы значительные площади, на которых каждая лампа для того, чтобы быть признанной стандартной, должна гореть в течение, допустим, 1 200 часов и не перегореть по окончании этого срока. Во-вторых, потребуются значительные энергозатраты на это мероприятие. И, наконец, в-третьих – потребитель получал бы практически отслужившие свой срок лампы со штампом «Выдержала испытание на продолжительность горения в течение 1 200 часов». Таких примеров можно привести сколь угодно много из различных сфер человеческой деятельности.

Вот какова современная цена закона больших чисел – одного из осно-

72

вополагающих постулатов теории вероятностей.

Следствием закона больших чисел является теорема Бернулли. Допустим,

P* (A) – относительная частота появления события А. Р(А) – вероятность появления события А.

m – число случаев, благоприятствующих появлению события А. n – общее число испытаний.

Теорема Бернулли формулируется следующим образом.

При достаточно большом числе испытаний относительная частота события А сходится по вероятности с вероятностью рассматриваемого события.

Тогда можно записать

Теорема Бернулли дает в руки исследователя свойство устойчивости частоты события при достаточно большом числе испытаний.

Другой наиболее важной теоремой теории вероятностей является центральная предельная теорема, которая в своей наиболее простой формулировке может быть определена следующим образом.

Допустим, х1, х2, …, хn – последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения: mxk a; Dxk 2.

В таком случае при неограниченном увеличении числа опытов их суммарная случайная величина

n

y xк

k 1

неограниченно приближается к нормальному закону распределения. Существует несколько форм центральной предельной теоремы, но все

они сводятся к формулировке условий, при которых выполняется нормальный закон распределения.

Для использования центральной предельной теоремы в инженерной практике достаточно следующего условия: если случайная величина может быть представлена десятью ( а иногда и менее) независимыми или слабозависимыми случайными величинами, каждая из которых оказывает малое влияние на конечный результат, то такую величину можно считать распределенной нормально.

73

Это условие на практике выполняются довольно часто, поэтому нормальный закон распределения является самым распространенным законом распределения случайных величин в природе и технике.

Наиболее важное инженерное значение имеют формулы, вытекающие из центральной предельной теоремы.

Это локальная и интегральная предельные теоремы Муавра-Лапласа, которые рассмотрены в разделе «Повторение независимых испытаний» настоящего пособия.

Здесь только следует заметить, что если вероятность появления рассматриваемого события известна и постоянна от опыта к опыту, то при достаточно большом числе испытаний n биномиальный закон распределения (иначе, закон распределения Бернулли) сводится к нормальному закону распределения (закону Гаусса).

1.2.8. Элементы теории марковских цепей

Марковским случайный процесс называется тогда, когда вероятность будущего состояния системы зависит только от ее состояния в настоящий момент времени и не зависит от того, в каком состоянии она была в прошлом.

При изложении материала будет принята терминология, которая используется при изложении цепей Маркова. Здесь события называются состояниями системы, а испытания – изменениями ее состояния.

Условная вероятность того, что система из состояния i в итоге следующего испытания переходит в состояние j, называется переходной вероятностью и обозначается Pij.

Состояние системы характеризуется вектором состояний.

Если через A0, A1, A2,…, An обозначить последовательность состояний системы, то запись следующего вектора

будет означать, что в начальный момент времени система находилась в состоянии А0 с вероятностью, равной единице. Последовательность состояний системы принято называть цепью Маркова.

Матрицей перехода системы принято называть матрицу, содержащую все переходные вероятности этой системы.

Допустим, число состояний конечно и равно некоторому числу k, тогда

74

матрица перехода рассматриваемой системы в общем виде будет иметь следующий вид:

где k – номер шага.

Если вероятность перехода Pij не зависит от номера шага, то такая марковская цепь называется однородной. В противном случае она называется неоднородной.

Вероятности перехода однородной марковской цепи должны отвечать следующим условиям:

а) поскольку Pij - вероятности событий, которые составляют полную группу событий (т.е. ничего более, кроме указанного, не произойдет), то

что означает, что переходная вероятность состояния определяется с использованием формулы полной вероятности.

Если переход системы из одного состояния в другое возможен в любой случайный момент времени, то такой процесс называется марковским процессом с непрерывным временем. Марковский процесс называется процессом с дискретным временем, если переход системы из состояния в состояние осуществляется в заранее фиксированные моменты времени.

Если переход системы в состояние совершается скачками, т.е. мгновенно, то это марковский процесс с дискретными состояниями.

Марковский процесс с дискретными состояниями графически изображается в виде графа состояний системы.

Рассмотрим марковский случайный процесс с дискретным состоянием на примере работы автоматической телефонной станции (АТС).

Р02

Р11 Р20

Рис. 24. Граф состояний АТС, имеющей две линии

75

Рис. 25. Размеченный граф перехода системы

Поскольку процесс однородный, то матрица перехода системы останется неизменной.

Чтобы определить вероятности состояний системы после второго шага (к=2), воспользуемся формулой полной вероятности, поскольку доподлинно неизвестно, в каком состоянии система находилась после первого шага. Например, вероятность того, что система после двух шагов будет находиться в состоянии А0, запишется так:

где Р(Н0) – вероятность гипотезы Н0, заключающейся в том, что после первого шага система находилась в состоянии А0; Р(А0 Н0) – условная вероятность того, что за время второго шага система останется в состоянии А0 – (Р00); Р(Н1) – вероятность гипотезы Н1, состоящей в том, что после первого шага система была в состоянии А1; Р(А0 Н1) – условная вероятность события, состоящего в том, что во время второго шага система перейдет в состояние А1 – (Р10).

Подставляя числовые значения в формулу полной вероятности (92),

получаем Р(сост.А0 ) = 0,7·0,7 + 0,3·0,8 = 0,73.

Тогда вероятность состояния системы А1 будет определяться как про- тивоположное событие, поскольку Р(сост.А0к 2 ) Р(сост.А1к 2 ) 1.

Отсюда Р(сост.А1к 2 ) 1 Р(сост.А0к 2 ) 1 0,73 0,27.

Вектор состояний рассматриваемой системы после двух шагов будет иметь вид

Аналогично определяется вероятность состояния данной системы по-

77

сле трех шагов:

Р(сост.А0к 3 ) 0,73 0,7 0,27 0,8 0,727; Р(сост.А0к 3 ) 1 0,727 0,273.

Рассмотренная последовательность вычислений применима для определения состояния системы и для четырех и более шагов.

Для установившегося режима имеем

Наличие установившегося режима проверяется по такому правилу:

а) если в матрице перехода системы из одного состояния в другое все элементы больше нуля, то процесс имеет установившийся режим;

в) если в матрице перехода системы имеется хотя бы один ноль, тогда для определения установившегося режима необходимо найти корни характеристического уравнения и, если при этом один корень характеристического уравнения равен единице, а остальные меньше единицы, то установившийся режим существует. В противном случае установившегося режима нет.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Математическая статистика как наука и раздел математики возникла в XVII веке, причем создавалась она на базе и одновременно с теорией вероятностей. Основатель математической статистики Р.Фишер определяет ее как науку о методах приведения громоздкого статистического материала к компактной форме. Это значит, что математическая статистика даёт в руки исследователя методы замены наблюдаемых значений случайной величины небольшим количеством чисел, содержащих исчерпывающие сведения о рассматриваемой случайной величине. Основной задачей математической статистики является построение методов оценки параметров событий или принятие решений о характере события на основе статистических данных. При этом статистический материал представляет собой совокупность значений случайной величины. Во второй половине XIX и начале XX веков значительный вклад в развитие этой науки внесли П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, а также К. Гаусс, А. Рабле, С. Гамильтон, К. Пирсон и др. В XX веке наиболее существенный вклад в эту науку внесли российские математики В. Романовский, Е. Слуцкий, А. Колмагоров, Н. Смирнов, а также английские ученые Р. Фишер, Э. Пирсон и американские исследователи Ю. Нейман и А. Вальд.

Предметом изучения математической статистики является установле-

78