1674

в) два автогрейдера; г) не будет ни бульдозеров, ни автогрейдеров.

1.1.10.9.Допустим, установлено, что из (500 + N) ЗТМ в течение месяца ремонту подлежат в среднем (25+N) машин. Определить вероятность того, что за рассматриваемый период в ремонтные мастерские поступят от 30-ти до 80-ти машин. (N – номер расчетного варианта.)

1.1.10.10.В условиях задачи 1.1.10.9 определить вероятность того, что за рассматриваемый период следует ожидать в ремонт:

а) не менее 50-ти машин; б) не более 49-ти машин.

1.1.10.11.В условиях задачи 1.1.10.9 определить вероятность того, что

втечение квартала в ремонт поступят:

а) от 100 до 200 машин; б) не менее 150-ти ЗТМ; в) не более 149-ти ЗТМ.

1.1.10.12.Вероятность отказа землеройно-транспортной системы (ЗТС)

втечение месяца равна N·10-2 . Каким парком ЗТС должно располагать до- рожно-транспортное управление, чтобы с вероятностью 0,9 ежемесячно можно было ожидать в ремонт не менее 20-ти машин?

1.1.10.13.Надежность работы (вероятность безотказной работы) ЗТМ составляет (0,5 + N·10-2) в среднем за месяц. Сколько необходимо иметь машин, чтобы с вероятностью 0,98 на объектах ежемесячно работало не менее 20N машин?

1.1.10.14.Допустим, установлено, что в среднем в течение квартала вероятность заболевания водителей равна N·10-2 . Какой штат водителей необходимо иметь дорожно-строительному управлению, чтобы с вероятностью 0,99 на объектах ежеквартально работало 100 водителей?

1.2. Случайные величины

Случайная величина – это количественная характеристика исхода опыта, протекающего под воздействием не поддающихся контролю случайных условий.

Различают прерывные (дискретные) и непрерывные случайные величины. Возможные значения дискретной случайной величины могут быть заранее перечислены. Например, количество землеройно-транспортных систем (ЗТС), находящихся в ремонте, в работе и т.п., количество пассажиров в автобусе и т.д. – примеры дискретных случайных величин.

Возможные значения непрерывной случайной величины не могут быть заранее перечислены , поскольку сплошь заполняют некоторый отрезок или всю числовую ось. Например, продолжительность безотказной работы, расход топлива, скорость, производительность землеройно-транспортной системы (бульдозера, скрепера, автогрейдера и т.п.) – примеры непрерыв-

39

ных случайных величин.

1.2.1. Законы распределения

Всякое соотношение, устанавливающее взаимосвязь между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления, назы-

вается законом распределения случайной величины .

В дальнейшем условимся случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами. Например, Х – число отказавших машин среди скреперов; возможные зна-

чения х1 = 0; х2 =1; х3 = 2; х4 = 3 и т.д.

Если дискретная случайная величина Х задана в виде табл.1, где

х1, х2, х3, … ,хn- возможные значения случайной величины; р1, р2, р3 , … , рn – соответствующие вероятности их наступления, то говорят, что закон распределения задан в виде ряда распределения этой дискретной случайной величины Х.

Причем табл.1 можно считать рядом распределения только при усло-

n

вии, что рi 1.

i 1

Иногда для наглядности ряд распределения изображают графически в виде точек, соединенных прямыми линиями (рис. 4), которые образуют так называемый многоугольник распределения, являющийся одной из форм задания закона распределения случайной величины X.

P

Рис. 4. Многоугольник распределения

40

Пример. Допустим, в результате эксплуатации установлено, что вероятность завести двигатель бульдозера равна 0,4. Студенту предоставлено три попытки запуска указанного двигателя. Построить ряд и многоугольник распределения числа удачных запусков рассматриваемого двигателя.

Решение. Обозначим через x число удачных запусков двигателя. Возможные значения Х: x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = 3. Соответствующие вероят-

ности находим по формуле Бернулли (26): р сnk pk (1 p)n k, где p, n, k

– соответственно, вероятность удачного запуска двигателя, общее количе-

Многоугольник распределения величины Х изображен на рис.5. Очевидно, непрерывную случайную величину нельзя задать рядом рас-

пределения, поскольку невозможно перечислить все ее возможные значения, сплошь заполняющие отрезок или всю числовую ось.

Общий способ задания любой случайной величины ( и дискретной, и непрерывной) состоит в использовании интегральной функции распределения, которую чаще называют просто функцией распределения.

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее, чем х, т.е.

41

Геометрически равенство (28) интерпретируется так: F(x) – это вероятность того, что случайная величина x примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x ( рис. 6).

F(x)

x

x

Рис. 6. Геометрическая интерпретация функции распределения одномерной случайной величины Х

Функция распределения имеет следующие свойства:

I. Значения интегральной функции принадлежит отрезку [ 0; 1]:

ние, заключенное в интервале [ a; b], равна приращению функции распределения на этом интервале:

Положив b = x2; a = x1 , имеем соотношение (30).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

F(X = x1) = 0.

Поэтому не представляет интереса обсуждение вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, однако имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал. Так, на практике никто не ставит вопрос о совпадении размера детали с проектным, а интересуется тем, чтобы размеры выпускаемых деталей не вышли за рамки дозволенных границ.

III. Если возможные значения случайной величины X принадлежат ин-

42

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси х , то справедливы следующие пре-

Доказанные свойства дают возможность представить график функции распределения случайной величины.

Этот график расположен в полосе 0 y 1, если по оси Y расположить F(x) (I-е свойство).

При возрастании х график поднимается вверх (II-е свойство).

При х а ординаты графика нулевые, а при х b F(x) = 1, если случайная величина изменяется в интервале [а ; b] (III-е свойство), как показано на рис.7.

Функция распределения любой дискретной случайной величины – это всегда разрывная ступенчатая функция (см. рис. 7,а), ступеньки которой расположены в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, а высота ступеньки равна приращению F(x) на рассматриваемом подынтервале (здесь подынтервал – это длина ступеньки).

Причем сумма всех скачков функции F(x) равна единице. Поэтому по мере увеличения числа возможных значений случайной величины скачки становятся меньше, ступенчатая кривая становится более плавной и в пределе переходит в кривую, которая является графиком функции распределения F(x) для непрерывной случайной величины (см. рис. 7, б).

a b x a b x

а) б)

Рис. 7. Графики функции распределения F(x)

для дискретных (а) и непрерывных (б) случайных величин

Пример. Производится четырехкратная попытка запуска двигателя автогрейдера. Вероятность удачного запуска равна 0,3 (допустим, запуск осуществляется в зимних условиях на стройплощадке). Построить функцию распределения числа удачных запусков рассматриваемого двигателя.

43

Решение. Обозначим через Х число удач при четырехкратном запуске двигателя автогрейдера. Эта величина имеет следующий ряд распределения (соответствующие вероятности определяются по формуле Бернулли).

Построим функцию распределения F(x) случайной величины Х. С этой целью определим значения дискретной случайной величины Х в точках ее возможных значений:

4)при 2 x 3 F(x) = 0,9163;

5)при 3 x 4 F(x) = 0,9919;

6)при х>4 F(x) = 1.

График функции распределения F(x) представлен на рис. 8. Аналогично тому, как в курсе землеройных машин существует понятие

удельного усилия, допустим, на отвале бульдозера (усилие, образованное за счет срезания стружки и перемещения призмы грунта, приходящееся на единицу длины отвала) для непрерывной случайной величины вводится понятие плотности вероятностей, представляющее собой предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины Х в малый интервал (х, х+Δх) к длине этого интервала х при х → 0.

P

1

0,8

0,6

0,4

0,2

Рис. 8 . График функции распределения дискретной случайной величины Х – числа удач при четырехкратном запуске двигателя автогрейдера

На этом основании запишем, используя определение производной и следствие1 из свойства II (31):

44

Отсюда следует, что функция плотности распределения вероятностей f(x) представляет собой первую производную от функции распределения F(x) или

Кривая, изображающая плотность вероятностей распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис.9) .

f(x)

Рис. 9. Кривая распределения

Функция плотности распределения вероятностей f(x) обладает следующими свойствами:

1.Функция f(x) всегда неотрицательна, т.е. f(x)≥0, поскольку она является производной неубывающей функции F(x).

2.Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в заданный интервал [α , β] вычисляется как определенный интеграл

и равна площади криволинейной трапеции, заключенной под графиком f(x)

впределах от α до β (см.рис.9).

3.Полная площадь криволинейной трапеции, заключенной под графиком f(x) и осью абсцисс, равна единице, т.е.

Это означает, что в результате испытания непрерывная случайная ве-

45

личина Х обязательно примет одно из своих возможных значений. Пример. Допустим, функция распределения непрерывной случайной

величины Х – расход топлива землеройно-транспортной системы - задана выражением

а) определить коэффициент а;

б) вычислить плотность распределения вероятностей f(x);

в) найти вероятность попадания случайной величины Х на участок от

0,25 до 0,5;

г) построить график плотности распределения f(x). Решение.

а) поскольку функция распределения F (x) случайной величины Х при х = 1 должна быть равна единице, то F(x)=ах 2 = 1; отсюда а = 1;

Р(0,25<x<0,5) = F(0,5) – F(0,25) = 0,52 – 0,252 = 0,1875;

г) график плотности распределения f(x) будет представлять собой наклонную прямую на участке 0<x≤1, (f(x) = 2x) и совпадать с осью абсцисс при х ≤ 0 и х > 1, как показано на рис. 10 (выделено утолщенной линией).

Рис. 10. Кривая распределения случайной величины Х - расхода топлива двигателем землеройно-транспортной системы

1.2.2.Задачи

1.2.2.1.На пути движения автомашины четыре светофора. Каждый из них с вероятностью (N·10-2 +0,3) (N – порядковый номер студента в списке группы, если преподаватель не задал иначе) разрешает дальнейшее движе-

46

ние. Записать ряд и построить многоугольник распределения числа светофоров, пройденных автомашиной до первой остановки.

1.2.2.2. После длительной эксплуатации трех бульдозеров контролируется их техническое состояние. Допустим, из опыта осмотра этих машин установлено, что вероятность обнаружения неисправности равна (N·102 +0,2). Записать ряд распределения числа неисправных бульдозеров, построить многоугольник распределения.

1.2.2.3.В условиях задачи 1.2.2.2 определить и построить график функции распределения F(x).

1.2.2.4.На учебном полигоне последовательно расположены скрепер, бульдозер, экскаватор и автогрейдер. Условия экзамена таковы, что испытуемый допускается к последующей машине только после того, как он в течение пяти минут сможет обнаружить неисправность в предыдущей машине. Записать ряд распределения, построить многоугольник и функцию распределения числа удач при обнаружении неисправностей в рассматри-

ваемых системах, если вероятность обнаружения неисправностей во всех машинах одинакова и равна (N·10-2+0,4). Определить вероятность того, что студент будет допущен к осмотру автогрейдера.

1.2.2.5.Известно, что в партии из 5N землеройно-транспортных машин (2N – 1) неисправных. Из партии наудачу изъяты четыре машины. Найти ряд распределения случайной величины Х – числа неисправных машин - среди отобранных, построить функцию распределения и определить вероятность того, что среди отобранных будет не более двух неисправных машин.

1.2.2.6.Имеется четыре заготовки для одной и той же детали. Вероятность изготовления стандартной детали из заготовки равна (N·10-2 +0,5). Найти ряд распределения, построить многоугольник распределения числа использованных заготовок. Определить вероятность того, что использовано будет не более трех заготовок.

1.2.2.7.При сооружении автотрассы длиной 100N метров работают 5 землеройно-транспортных машин. Считая, что вероятность попадания машины на какую-либо часть трассы зависит от длины этой части и пропорциональна ей, построить ряд, многоугольник и функцию распределения числа машин, работающих на правой половине автотрассы (здесь длина трассы делится на две равные части – левую и правую). Определить вероятность того, что на левой половине трассы будет работать не более двух машин.

1.2.2.8.Непрерывная случайная величина Х (допустим, производительность, скорость, расход топлива и т.п. землеройно-транспортной машины) задана плотностью f(x) либо функцией F(x) распределения (табл. 4). Необходимо построить графики f(x) и F(x), определив предварительно коэффициент А.

47

Таблица 4

Варианты заданий