1674

ваемая система будет иметь вероятность безотказной работы, равной 0,8, а вероятность отказа – соответственно 0,2.

1.1.7. Полная вероятность. Формула Байеса

Вероятность события А, которое может наступить лишь при наступлении одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2, … , Н n , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А, т.е.

Р(А) Р(Н1) Р(АН1) Р(Н2) Р(АН2) ... Р(Нi ) P(AHi ) ...

Это соотношение называется формулой полной вероятности, которая обычно используется в такой ситуации, когда заданы вероятности равновозможных или неравновозможных исходов и вероятности успеха при каждом исходе.

Пример. Допустим, опыт состоит в вызове землеройно-транспортных машин из гаража. В гараже два блока. Скажем, в первом блоке размещено случайным образом на стоянках 10 бульдозеров и 8 скреперов, а во втором

– 7 бульдозеров и 10 самосвалов. Наудачу выбирают блок, и по селектору случайным образом называют стоянку машин. Определить вероятность того, что будет названа стоянка бульдозера.

Решение. Здесь полную группу событий составляют: Н1 – выбор первого блока; Н2 – выбор второго блока; Р(Н1) = Р(Н2) = ½=0,5.

Обозначим через событие А вызов стоянки бульдозера, тогда Р(А/Н1) – вероятность вызова стоянки бульдозера в первом блоке ( при условии, что уже выбран для вызова первый блок).

1010 5 Р(А/Н1) 10 8 18 9 0,55

То же, но при условии, что будет вызван второй блок:

77 Р(А/ Н2 ) 10 7 17 0,4.

На этом основании имеем

Р(А) Р(Н1) Р(А/ Н1) Р(Н2 ) Р(А/ Н2 ) 0,5 0,55 0,5 0,4 0,475.

Теперь представьте себе, что Вы вышли из дома, имея в кармане ключи от собственной квартиры, посетили несколько мест и возвратились обратно. При попытке открыть двери вдруг обнаруживаете, что ключей в карма-

29

не нет. Задаете себе вопрос, где же могли случайно оставить ключи? Анализируя всевозможные варианты, Вы оцениваете их вероятности и в первую очередь ищите там, где вероятность оставить ключи выше. Очевидно, что аналогичные задачи могут возникать по разному поводу.

Пусть событие А (допустим, потеря ключей) может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2, …, Нn (места посещения), которые образуют полную группу событий.

На месте человека, потерявшего ключи (т.е. событие А уже наступило), вероятность потери ключей в i –м месте посещения Р(Нi/А) может быть переоценена по формуле:

P(Hi) P(A/Hi)

i1

Втеории вероятностей эта формула называется формулой Байеса и ис-

пользуется для переоценки гипотез, принятых до испытания, на основе данных, полученных при эксперименте.

Как изменились вероятности гипотез, принятые до эксперимента, если учесть, что рассматриваемое событие уже наступило?

Формула Байеса широко используется в технической и медицинской диагностике, при упрощенном контроле качества и т.п.

Инженерное применение этой формулы рассмотрим на простом приме-

ре.

Электрические лампочки, которые используются для освещения, в частности, гаражей, стоянок, кабин машин, приборных щитков, устанавливаются в фарах и т.д. и должны гореть в среднем 1 200 ч. Если бы кто-то решил проводить сплошные испытания электроламп на продолжительность горения, то технически трудно было бы разместить сотни тысяч ламп, которые бы горели около двух месяцев непрерывно. При этом экономически нелепо было бы расходовать на это мероприятие огромное количество электроэнергии только для того, чтобы потребитель получал перегоревшие либо почти перегоревшие лампы с клеймом «Выдержали испытание на продолжительность горения». В действительности испытание на продолжительность горения заменяется упрощенным контролем – двойным зажиганием лампы. Попытаемся оценить эффективность такого контроля.

Пример. Допустим, на основе статистических данных установлено, что завод выпускает 98% стандартных ламп. Причем известно, что стандартная лампа выдерживает испытание двойным зажиганием с вероятностью 0,99, а нестандартная лампа выдерживает это испытание с вероятностью 0,04. Какова вероятность того, что электролампа, выдержавшая испытание двойным зажиганием, в действительности окажется стандартной?

30

Решение. Полная группа событий (гипотез) в рассматриваемом примере состоит из двух противоположных событий: Н1 – изделие удовлетворяет стандарту; Н2 – изделие не удовлетворяет стандарту.

Обозначим через А событие, состоящие в том, что изделие выдерживает испытание двойным зажиганием. Тогда имеем: Р(Н1) = 0,98; Р(Н2) =

1-0,98 = 0,02; Р(А/Н1) = 0,99; Р(А/Н2) = 0,04.

Используя эти данные, рассчитываем вероятность того, что если изделие выдержало испытание (т.е событие А уже наступило), то оно стандартно (событие Н1) – Р(Н1/А).

0,98 0,99 0,02 0,04

Таким образом, расчеты показывают, что из десяти тысяч электроламп, выдержавших испытание двойным зажиганием, лишь одна лампа в действительности окажется нестандартной, будет принята за стандартную и отправлена потребителю. Такой контроль, естественно, удовлетворяет как поставщика, так и заказчика.

1.1.8.Задачи

1.1.8.1.При отсыпке насыпи двигатель бульдозера работает в одном из трех режимов:

Н1 – режим малых нагрузок, когда машина возвращается с насыпи на исходные позиции;

Н2 – режим стандартных нагрузок, когда бульдозер набирает призму грунта;

Н3 – режим высоких нагрузок, когда ЗТМ поднимает призму грунта на насыпь.

Определить вероятность безотказной работы бульдозера на отсыпке насыпи, если продолжительности работы машины на малых, средних и высоких нагрузках относятся как 1:3:2, а вероятности отказов – соответст-

венно 0,1; 0,3; 0,6.

1.1.8.2.На прокладке канала работают 50 скреперов, 60 бульдозеров, 28

автогрейдеров и 46 экскаваторов, имеющих соответственно вероятности отказа (N· 10-2 – 0,005); (0,005 + N· 10-2); (0,1 + N· 10-2) и (0,15 + N··10-2), где

N – номер расчетного варианта.

Определить вероятность безотказной работы землеройно-транспортной техники, занятой на сооружении канала.

1.1.8.3.Строительное управление получает землеройно-транспортные машины от трех предприятий-поставщиков. Причем первое предприятие

31

поставляет машин в два раза больше, чем второе, но в три раза меньше, чем третье. Какова надежность работы землеройно-транспортной техники в рассматриваемом управлении, если известно, что из (2N + 10) ЗТМ, поставляемых каждым предприятием, отказываю соответственно две, три и четыре машины?

1.1.8.4.Вероятности того, что возникает неисправность в двигателе, рабочем органе и в остальных узлах землеройно-транспортной системы (ЗТС), имеют следующие соотношения: 1:0,5:3,5. Вероятности обнаруже-

ния неисправности водителем по месту работы ЗТС соответственно равны

(0,5 + N· 10-2 ), (0,65+ N· 10-2 ) и (0,3+ N· 10-2 ). Во время работы произошел отказ машины. Какова вероятность того, что для обнаружения неисправности:

а) не придется прибегать к услугам специализированной мастерской; б) потребуется вызов машины технической помощи?

1.1.8.5.Экскаватор работает 40% времени на рытье котлована, 30% - на погрузке грунта и 30% - на остальных операциях (прокладка траншеи, отсыпка насыпи и т.п.). Определить вероятность безотказной работы рас-

сматриваемой машины, если вероятности отказов при выполнении указанных работ соответственно равны N ·10-2; (N + 3)· 10-2 и (N + 7)· 10-2.

1.1.8.6.В условиях задачи 1.1.8.5 произошел отказ экскаватора. Определить вероятность того, что неисправность возникла:

а) при рытье котлована; б) при погрузке грунта;

в) не при погрузке грунта и не при рытье котлована.

1.1.8.7.По автомагистрали движутся легковые, грузовые машины и автобусы в соотношении 10:4:7 соответственно. Вероятность того, что они

будут прибегать к услугам автозаправочной станции (АЗС), соответствен-

но равна (0,3 + N· 10-2); (0,1+2 N· 10-2) и [0,2+ (N + 4)· 10-2]. Определить ве-

роятность заправки любой из проходящих машин.

1.1.8.8.Три автогрейдера различной степени износа работают на планировке (выравнивании) площадки. Вероятности отказов их соответственно равны 0,01 N; 0,02 N и 0,03 N. Стало известно, что остановилась из-за неисправности одна машина. Какова вероятность того, что остановилась вторая машина?

1.1.8.9.В условиях задачи 1.1.8.7 к АЗС подошла для заправки машина. Определить вероятность того, что это автобус.

1.1.8.10.На отсыпке насыпи работают бульдозер, скрепер и автогрей-

дер, обладающие следующими характеристиками надежности работы со-

ответственно: (0,7 + N· 10-2 ); (0,6 + N· 10-2 ) и (0,5 + N· 10-2 ). Найти вероят-

ность того, что прекратили работу бульдозер и автогрейдер, если стало известно, что отказали две машины.

1.1.8.11.Допустим, на основе обработки статистических данных уста-

32

новлено, что рабочий орган экскаватора (ковш со стрелой) имеет вероятность отказа при прокладке траншеи, погрузке грунта и выполнении про-

чих работ соответственно ( 0,05 + N· 10-2); (0,02+ N· 10-2) и (0,01+ N· 10-2).

Определить вероятность безотказной работы рабочего органа экскаватора, если известно, что 40 % времени он работает на прокладке траншей, 25 % - на погрузке грунта, а остальное время занят выполнением прочих работ.

1.1.8.12.В условиях задачи 1.1.8.11 наступил отказ экскаватора. Определить вероятность того, что машина отказала при погрузке грунта.

1.1.8.13.На ремонте участка дороги работают бульдозер, асфальтоук-

ладчик и каток, имеющие вероятности отказов соответственно р1=0,1; р2=0,3; р3=0,2. Стало известно, что отказали две машины. Какова вероятность того, что отказал асфальтоукладчик?

Решение. Обозначим через событие А – отказали две машины. Сделаем два предположения (выдвинем две гипотезы): Н1 – отказал асфальтоукладчик; Н2 – не отказал асфальтоукладчик.

Это два противоположных события, составляющих полную группу событий.

По условию задачи Р(Н1) = 0,3, тогда Р(Н2) = 1 – 0,3 = 0,7.

Определим условную вероятность Р(А/Н1), т.е. вероятность того, что отказали две машины, причем одна из них асфальтоукладчик и, следовательно, вторая либо бульдозер (при этом не каток), либо каток (при этом не бульдозер). Эти два события не совместны, поэтому применим следующую формулу: Р(А/ Н1) р1 q3 p3 q2 0,1 0,8 0,2 0,7 0,22.

Найдем вероятность того, что отказали две машины, причем асфальтоукладчик не отказал, т.е. Р(А/Н2). Другими словами, определим вероятность того, что отказали бульдозер и каток. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения вероятностей

Р(А/Н2) 0,1 0,2 0,02.

Используя формулу Байеса, находим искомую вероятность:

0,825.

1.1.8.14.В гараже N легковых, 2N грузовых машин и (3N + 10) автобусов, расположенных случайным образом на нумерованных стоянках. По селектору вызывают два автомобиля. Какова вероятность того, что один из них окажется автобусом?

33

1.1.9. Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра-Лапласа

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<1), событие наступит ровно К раз (безразлично в какой последовательности), можно определить по формуле Бернулли:

Примечание 0! = 1.

Пример. Два равносильных мотогонщика соревнуются в достижении максимальной скорости на отрезке пути. Что вероятнее выиграть: два заезда из четырех или три из шести?

Решение. В рассматриваемом примере предполагается равная (одинаковая) вероятность выигрыша для обоих противников, поскольку сказано, что противники равносильны. Отсюда определяется искомая вероятность:

р=1/2.

На этом основании имеем P4(2) C42 p2(1 p)2 4!/(2!2!) 0,52

0,52 6 0,25 0,25 0,375; Р6(3) 1 2 3 4 5 6 0,53 0,53 0,31. 1 2 3 1 2 3

Расчеты показывают, что вероятнее выиграть два заезда из четырех, чем три из шести, поскольку Р4(2)>Р6(3), т.е. 0,375>0,31.

Кроме указанной в инженерной практике встречаются такие ситуации, когда необходимо определить вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит:

а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз.

В этих случаях используют соответственно следующие формулы:

а) Рn(0)+Pn(1)+ … +Pn(k – 1);

б) Pn(k+1) + Pn(k+2) + … + Pn(n); в) Pn(k) + Pn(k+1) + … + Pn(n); г) Рn(0)+Pn(1)+ … +Pn(k ).

Пример. Допустим, бульдозеры составляют 60% землеройнотранспортных машин (ЗТМ) рассматриваемого предприятия. Определить вероятность того, что из шести ЗТМ, работающих на объекте, окажется:

34

а) менее трех бульдозеров; б) более трех бульдозеров; в) не менее трех бульдозеров; г) не более трех бульдозеров.

Решение. В рассматриваемом примере р=0,6. Тогда, используя вышеприведенные формулы, имеем

0,004096 0,036824 0,13824 0,27648 0,45568.

Из вышеприведенных расчетов видно, что с увеличением числа опытов n применение формулы Бернулли становится затруднительным из-за быстрого возрастания объемов вычислений.

Выход из этого затруднения состоит в использовании локальной и интегральной предельных теорем Муавра-Лапласа.

Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа:

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 р 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна

x k np . npq

Функция f(х) табулирована для положительных значений х и приведена в прил.1. Для отрицательных значений x используют соответствующие положительные ее значения, поскольку функция f(x) четная, т.е.

35

f (- x) = f (x).

Пример. Допустим, известно, что четвертая часть деталей имеет различные виды брака. Определить вероятность того, что из 300 деталей 80 окажутся бракованными.

Решение. Из условия задачи имеем n = 300; k = 80; p = 0,25; q = 1 – p= 1 – 0,25 = 0,75. Поскольку n = 300 – достаточно большое число испытаний, то воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа.

5 0,667. Находим в прил. 1 f (0,667) = 0,3196. Тогда искомая веро- 7,5

ятность примерно равна Р300(80)=1/7,5·0,3196=0,0426.

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа:

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 р 1), событие наступит

не менее k1 раз и не более k2 раз приближенно равна :

Таблица значений функции Лапласа для положительных величин x (0 х 5) приведена в прил. 2. Для значений х>5 предполагается Ф(х) 0,5; для отрицательных значений х используют соответствующие положительные ее значения, учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е.

Ф( х) Ф(х).

Пример. Допустим, землеройная техника, поставляемая строительной организации, имеет в среднем вероятность стандартности 0,8. Определить

36

вероятность того, что из 200 получаемых машин окажутся стандартными: а) не менее 150 и не более 180; б) не менее 150; в) не более 149.

Решение. В рассматриваемом примере число опытов довольно велико, поэтому воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа

Рn (k1,k2 ) Ф(x ) Ф(x ):

а) по условию задачи имеем n = 200; k1 = 150; k2 = 180; р = 0,8; q = 1 – 0,8 = 0,2.

Вычисляем х' и х".

Учитывая, что функция Лапласа – нечетная функция, получаем

Р200 (150,180) Ф(3,533) Ф( 1,766) Ф(3,533) Ф(1,766).

По прил. 2 находим Ф(3,533) 0,4997;Ф(1,766) 0,4612.

Искомую вероятность имеем Р200(150,180)=0,4997+0,4612=0,9609.

б) для того чтобы стандартными оказались не менее 150-ти машин из 200, необходимо, чтобы было 150, 151, 152, …, 200 стандартных машин,

Поскольку х>5, то принимаем Ф(7,067) 0,5. Искомая вероятность равна

Р200(150;200) 0,5 ( 0,4612) 0,5 0,4612 0,9612.;

в) события «появилось не менее 150-ти стандартных машин» и «появилось не более 149-ти стандартных машин» противоположны, а на этом основании сумма вероятностей этих событий равна единице. Отсюда искомая вероятность равна

Р200(0;149) = 1 – Р200 (150;200) = 1 – 0,9612 = 0,0388.

Студенту предоставляется возможность убедиться в правильности по-

37

лученного ответа, решив этот пункт задачи прямым использованием теоремы Муавра-Лапласа.

1.1.10.Задачи

1.1.10.1.Среди водителей землеройно-транспортных систем (ЗТС) 20 % составляют женщины. Определить вероятность того, что среди шести наудачу взятых водителей окажется три женщины.

1.1.10.2.В условиях задачи 1.1.10.1 определить вероятность того, что

окажется:

а) менее трех женщин; б) не менее трех женщин; в) не более трех женщин; г) более трех женщин.

1.1.10.3.Допустим, что 40% парка ЗТМ составляют бульдозеры. Определить вероятность того, что из шести наудачу взятых машин бульдозеры составят:

а) три машины; б) менее трех машин;

в) не более четырех машин; г) более шести машин.

1.1.10.4.В условиях задачи 1.1.10.3 определить вероятность того, что : а) все машины будут бульдозерами; б) не будет бульдозеров.

1.1.10.5.Допустим, вероятность отказа ЗТМ в течение месяца составляет (0,1 + N·10-2 ). На рытье котлована работают четыре ЗТМ. Определить вероятность того, что за рассматриваемый период откажет:

а) три машины; б) не менее двух машин;

в) менее трех машин; г) не более двух машин; д) более трех машин.

1.1.10.6.Вероятность выхода из строя коленчатого вала двигателя ЗТМ

втечение квартала равна N·10-2. В строительном управлении 500 ЗТМ. Определить вероятность того, что за рассматриваемый период потребуется от 200 до 400 коленчатых валов.

1.1.10.7.В условиях задачи 1.1.10.6 определить вероятность того, что из строя выйдут 280 коленчатых валов.

1.1.10.8.В дорожно-строительном управлении 40N скреперов, 60N бульдозеров и (80N+8) автогрейдеров. Определить вероятность того, что из пяти наудачу взятых машин окажется:

а) три скрепера; б) четыре бульдозера;

38