1674

Л.А.УСОЛЬЦЕВ

ТЕOРИЯВЕРOЯТНOСТЕЙ ИЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Л.А.УСОЛЬЦЕВ

ТЕOРИЯВЕРOЯТНOСТЕЙ ИЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

(СибАДИ)

Л.А.УСОЛЬЦЕВ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Учебное пособие

Омск Издательство СибАДИ

2002

УДК 519

ББК 22.182 У 76

Рецензенты: д-р пед. наук, проф. В.А. Далингер, канд. техн. наук, доц. В.Г. Осипов

Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия по дисциплине «Прикладная математика» для заочной формы обучения студентов

Усольцев Л.А. Теория вероятностей и элементы математической статистики:

Учебное пособие. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2002. – 131с.

Составлено на основании рабочей программы дисциплины «Прикладная математика» и предназначено для студентов СибАДИ.

Рассмотрены основные вопросы теории вероятностей и математической статистики, в частности случайные события и величины, числовые характеристики и законы распределения, предельные теоремы, цепи Маркова, точечные и интервальные оценки параметров, а также проверка гипотезы о законе распределения случайной величины и обработка экспериментальных данных. Изложение материала ведется на конкретных примерах прикладных инженерных задач.

Табл.30. Ил.35. Библиогр.: 8 назв.

ВВЕДЕНИЕ

Достижение высоких экономических результатов и роли полноправного партнера России в мировой экономической системе непосредственно зависит от использования современных высоких технологий, обеспечивающих, в частности, переработку больших объемов информации и принятие решений в реальных условиях жизни и в реальном масштабе времени. В наиболее развитых странах для этих целей широко используются эконо- мико-математические методы и информационные технологии, позволяющие выбрать порой из огромного множества допустимых решений наилучшие в области научных исследований, оперативного и перспективного планирования и управления.

Результаты этих вычислений и, в конечном счете, принятие решения в определяющей степени зависит от исходных данных, которые в реальных условиях не являются постоянными величинами, а изменяются под воздействием случайных, часто не зависящих от нас факторов. Например, нельзя точно предсказать расход энергоносителей в городе, регионе и т.д. за фиксированный промежуток времени, количество заявок на обслуживание в системе массового обслуживания (АТС, системе продажи билетов на авиа-, авто- и ж.-д. транспорт и т.п.), число студентов на лекции и т.д.

Вразличных областях науки и производства приходится встречаться с массовыми явлениями, которым присущи особые закономерности. Например, при обработке деталей одного размера на станке-автомате или при многократном взвешивании одного и того же предмета на аналитических весах мы будем наблюдать колебания размеров деталей и величин веса предмета.

Эти колебания носят случайный характер, но при больших количествах испытаний (изготовление деталей, взвешивание) обнаруживаются довольно точные закономерности. Так, средние арифметические из размеров деталей (либо величин веса предмета) в больших партиях оказываются приближенно одинаковыми (соответственно для рассматриваемых опытов). Что касается отклонений от этих средних величин, то можно довольно точно рассчитать, как часто будут встречаться отклонения той или иной величины. Эти закономерности не дают возможности предсказать результат единичного измерения, но позволяют производить обработку статистических данных (данных массовых измерений).

Разделы математики, занимающиеся изучением закономерностей случайных явлений при многократном повторении испытаний, называются

теорией вероятностей и математической статистикой; каждому из них будет посвящен раздел настоящего пособия.

Впервом разделе рассматриваются вопросы теории вероятностей, в частности случайные события, случайные величины, предельные теоремы и

4

элементы теории марковских цепей.

Второй раздел посвящен математической статистике, в том числе вопросам определения числовых характеристик, законов распределения, доверительных интервалов случайной величины, проверке гипотезы о законе распределения и обработке экспериментальных данных.

Настоящее учебное пособие составлено на основании рабочей программы, соответствующей стандарту образования, разработанному Министерством образования Российской Федерации, и предназначено для студентов заочной формы обучения Сибирской государственной автомобиль- но-дорожной академии (СибАДИ).

Пособие содержит теоретический материал, практические задачи и необходимые исходные данные для выполнения контрольной работы по курсу «Прикладная математика». Причем тексты задач содержат исходные данные в общем виде, где соответствующие цифры обозначены буквами. Студенту необходимо записать тексты задач, заменив буквы цифрами из соответствующей таблицы для своего варианта. Номером варианта служит последняя цифра номера в зачетной книжке студента. Например, номер зачетной книжки Аз – 99-27 – это значит, что студенту необходимо решать задачи предлагаемой контрольной работы по седьмому варианту.

Если у студента в процессе решения задач или изучения теоретического материала возникли вопросы, то он может обратиться к преподавателю за консультацией. Причем необходимо четко указать: если он не разобрался в материале по учебнику, то привести наименование учебника, его автора, издательство, год издания и номер страницы, а если затруднения возникают в процессе решения задач, то следует указать характер этого затруднения и дать предполагаемый план решения задачи.

5

1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Закономерности, относящиеся к различным средним характеристикам, к повторяемости случайных отклонений данной величины и т.п., изучаются специальной математической наукой – теорией вероятностей. Или, иначе, раздел математики, в котором изучаются закономерности случайных явлений при многократном повторении опыта, называется теорией вероятностей.

Впервые такие закономерности были отмечены при решении задач, связанных с азартными играми, особенно в кости (XVII век). Было замечено, что при многократном бросании игральной кости каждое число очков от 1 до 6 выпадает приблизительно одинаковое количество раз или, как говорят, повторяется с относительной частотой, близкой к 1/6. Установление подобных правил и решение других, более сложных задач, связанных с бросанием игральных костей, имели большое значение в начальный период развития теории вероятностей. Разнообразные задачи, поставленные перед теорией вероятностей развитием техники и естествознания в XIX и XX веках, потребовали изучения случайных величин значительно более сложной природы, особенно так называемых непрерывных случайных величин, таких , например, как расход топлива автомобилем, потребление электроэнергии, газа, воды микрорайоном, городом, регионом и т.п.

Одной констатации факта наличия случайности для уверенного использования явлений природы или управления отдельными процессами, отраслями и хозяйством на любом, в том числе и на федеральном уровне, совершенно недостаточно. Необходимо научиться оценивать случайные события, явления количественно, прогнозировать их изменение. Без этого сегодня немыслимо решение многих теоретических и практических задач.

1.1.Случайные события

Втеории вероятностей событием принято называть исход любого опыта, понимая под опытом выполнение совокупности определенных условий.

Различают следующие события:

а) невозможное событие (обозначается как пустое множество ) - это такое событие, которое в результате опыта никогда не появляется. Например, в группе из четырех бульдозеров невозможно наудачу выбрать скрепер;

б) случайное событие (А, В, С, …), которое в результате опыта может наступить, а может и не наступить, т.е. заранее и вполне однозначно нельзя сказать, что это событие наступит или нет. Допустим, в гараже содержится 4 бульдозера и 2 скрепера. Вряд ли заранее и однозначно можно утверждать, что наудачу взятая машина (извлечение осуществляется, скажем, путем указания номера стоянки) непременно окажется бульдозером. Нель-

6

зя также категорически утверждать и обратное, т.е. что выбранная машина окажется скрепером;

в) достоверное событие (Е) – это такое событие, которое непременно наступает в каждом (именно в каждом без исключения) испытании (опыте). Скажем, если в гараже только бульдозеры, то мы вполне определенно можем сказать, что наудачу взятая машина будет бульдозером, т.е. это достоверное событие;

г) совместные события – это такие, которые могут наступить одновременно в одном и том же опыте. Причем совершенно неважно, как часто это может быть. Важно другое, а именно то, что это в принципе возможно. Скажем, в гараже находятся десять автогрейдеров и две уборочные машины. Выбирают наудачу две машины. Возможно ли в принципе, что среди выбранных машин окажется автогрейдер (событие А) и уборочная машина (событие В)? Условия опыта допускают такое сочетание, а это значит, что события А и В совместны. Если же указанные условия не выполняются, то такие события называются несовместными. В рассматриваемом примере нельзя выбрать при пяти наудачу взятых машинах два автогрейдера (событие А1) и три уборочных машины (событие В1), поскольку в гараже только две уборочные машины, т.е. события А1 и В1 несовместны;

д) независимые события. Независимыми называют такие события, которые наступают в одном опыте, но достаточно мало связаны между собой в физическом смысле. В противном случае события называются зависимыми. Например, работу двух землеройно-транспортных машин (ЗТМ) на автономных площадках (события А2 и В2) можно считать независимыми событиями, а работа снегоуборочного комплекса как совокупности автогрейдера (событие А3), снегопогрузчика (событие В3) и самосвала (событие С3) может служить примером зависимых событий, поскольку события А3, В3 и С3 технологически взаимосвязаны.

е) равновозможные события. События А1, А2, … Аn называются равновозможными, если при реализации опыта нельзя выделить хотя бы одно из них, объективно более возможное, чем остальные. Скажем, среди совершенно одинаковых n землеройно-транспортных машин выбирается наудачу одна машина, значит имеются равные возможности быть избранными у всех машин.

Действительно, в рассматриваемом примере нельзя выделить хотя бы одно из событий, объективно более возможное, чем остальные.

Различные исходы, которые могут произойти в результате реализации опыта, называются элементарными событиями.

Совокупность элементарных событий рассматриваемого опыта называют пространством элементарных событий .

Здесь элементарные события - это простейшие, неделимые, равновозможные исходы опыта, которые служат составными частями других более

7

сложных случайных событий.

Если пространство элементарных событий предусматривает перечень всех возможных исходов рассматриваемого опыта (т.е. ничего больше, кроме указанных элементарных событий не произойдет), то такая совокупность называется полной группой событий.

Рассмотрим пример. Парк содержит экскаваторы и автогрейдеры. При однократном выборе возможны события, когда выбран будет экскаватор Э или автогрейдер А, т.е. = {Э, А} пространство состоит из двух взаимно исключающих событий.

При двукратной попытке выбора получаем = {ЭА, АЭ, АА, ЭЭ} – четыре элементарных события, при трехкратном испытании = {ЭЭЭ, ЭЭА, ЭАЭ, ЭАА, АЭЭ, АЭА, ААЭ, ААА} – восемь элементарных событий и т.д., т.е. при n-кратном повторении опыта имеем 2n элементарных событий, которые составляют полную группу событий.

1.1.1. Соотношения между событиями

Над событиями можно проводить следующие операции (алгебра событий):

1.Объединение AUB или сумма (А+В) событий заключается в том, что в результате реализации опыта произошло хотя бы одно из указанных событий: либо А, либо В, либо оба одновременно.

Операции над событиями удобно иллюстрировать на так называемых диаграммах Венна (рис. 1, а,б).

Геометрически сумма событий означает объединение площадей этих событий, т.е. площадь события, которое получают в результате этой операции, равна сумме площадей составляющих событий. Отсюда, если геометрически рассматриваемые события изобразить в виде площадей, то их сумма будет равна: D = AUBUC = A + B + C (см. рис.1,а).

Например, в гараже 5 стоянок. Опыт – вызов машины со стоянки. Со-

бытия: А = {1, 2}; B ={5}; С= {3}, то D = A + B + C = {1, 2} + {5} + {3} = {1, 2, 3, 5}.

2.Пересечение A B или умножение (А В) событий состоит в том, что в результате реализации опыта наступят одновременно все из указанных событий, т.е. наступит и А и В.

Геометрически операция умножения событий означает пересечение площадей рассматриваемых событий, т.е. площадь события, которую получают в результате этой операции, должна быть общей частью площадей составляющих событий, другими словами, пересечением этих площадей

(см. рис. 1,б).

Допустим, A = {1, 2, 4}; B = {2, 4, 5}, тогда C = A·B = {1, 2, 4}· {2, 4, 5}

={2, 4}.

8