1055

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………..………………………………………………..….........5

Раздел 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ…………......................7

§1.1. Линейное программирование как простейший случай математического программирования………………………..7

§1.2. Графический метод решения задач линейного программирования ……………………………………...........9

§1.3. Задачи для самостоятельного решения…………………….12

Раздел 2. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ………………………………...................17

§2.1. Составление двойственных задач………………….………17

§2.2. Правила построения двойственной пары…………………18

§2.3. Основные теоремы двойственности……………………….19

§2.4. Геометрическая интерпретация двойственных задач…….19

§2.5. Задачи для самостоятельного решения …………………...22

Раздел 3. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА…………………………………..26

§3.1. Математическая модель транспортной задачи…………….26

§3.2. Свойства транспортной задачи……………………………...28

§3.3. Методы решения транспортной задачи…………………….29

§3.4. Методы нахождения начального плана перевозок………...29

§3.5. Методы улучшения начального плана……………………...33

§3.6. Задачи для самостоятельного решения ……………………40

Раздел 4. СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ………………………………………….44

§4.1. Сетевой график комплекса операций и принципы его построения……………………………….…………………………44

§4.2. Расчет временных параметров сетевого графика ………..47

§4.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………52

Раздел 5. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ……..…………59

§5.1. Постановка и методика решения задач динамического программирования……….………….………….………………….59

§5.2. Оптимальное распределение инвестиций по объектам вложения………….…………….…………….…………………….61

§5.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………66

Раздел 6. ТЕОРИЯ ИГР………………………………………………….72

§6.1. Введение в теорию игр………………………………………..72

§6.2. Матричные антагонистические игры………………………74

§6.3. Особенности нахождения оптимальных стратегий……….77

§6.4. Задачи для самостоятельного решения ……………………80

Раздел 7. КОРРЕЛЯЦИЯ…………….…………….…………………….82

§7.1. Понятие корреляции…………….…………….…………….82

§7.2. Двумерные случайные величины…………….…………….84

§7.3. Числовые характеристики случайных величин...…………86

§7.4. Корреляция…………………………………………………..87

§7.5. Задачи для самостоятельного решения ……………………91

Раздел 8. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В АНАЛИЗЕ

ИПЛАНИРОВАНИИ ПРОИЗВОДСТВА……………………………..92

§8.1. Моделирование экономического процесса……………………..92

§8.2. Фундаментальная модель диеты……………………………94

§8.3. Фундаментальная модель транспортной задачи…………..96

§8.4. Фундаментальная модель ассортиментной задачи………100

§8.5. Фундаментальная модель оптимального распределения

инвестиций………………………………………..................................102 § 8.6. Задачи для самостоятельного решения …………………..103

Библиографический список…………………………...…................106

Введение

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Математика стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчёта, но также методом точного исследования и средством предельно чёткой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными характеристиками, а поэтому вобрала в себя большое число математических методов.

Современная экономическая теория включает как естественный, необходимый элемент математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи. Вовторых, из чётко сформулированных исходных данных и соотношений можно сделать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценить форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям. В- четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать её понятия.

Математические модели использовались с иллюстративными исследованиями ещё Ф. Кене (1758 г., «Экономическая таблица»), А. Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д. Риккардо (модель международной торговли). В XIX в. большой вклад в моделирование рыночной экономики внесли математики Л. Вальрас, О. Курно, В. Парето и другие. В XX в. математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Р. Солоу, В. Леонтьев, Л. Канторович и другие). Развитие макроэкономики, микроэкономики, прикладных дисциплин связано со все более высоким уровнем их формализации. Основу для этого

заложил прогресс в области прикладной математики. В России в начале XX в. большой вклад в математическое моделирование экономики внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий. В 1960 – 80-е гг. экономи- ко-математическое направление было связано в основном с попытками формально описать «систему оптимального функционирования социалистической экономики» (Н.П. Федоренко, С.С. Шаталин). Строились многоуровневые системы моделей народно-хозяйственно- го планирования, оптимизационные модели областей и предприятий.

Математическая модель экономического объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Иными словами, модель – это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Предполагается, что изучение модели дает новые решения в той или иной ситуации.

Можно выделить 3 этапа проведения математического моделирования в экономике:

1)ставятся цели и задачи исследования, проводится качественное описание объекта в виде экономической модели;

2)формируется математическая модель изучаемого объекта, осуществляется выбор методов исследования. Далее исследуется модель с помощью этих методов;

3)осуществляются обработка и анализ полученных результатов. Математические модели, используемые в экономике, можно под-

разделить на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария: модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические. Укажем основные типы экономико-математических моделей:

Балансовые:

экономические расчеты, основанные на принципе баланса наличия, поступления/производства и выбытия/расходования различных видов ресурсов: материальных, энергетических, машинных, денежных и др.

Трендовые:

прогнозирование развития моделируемой экономической системы на основе трендов (длительных тенденций изменения ее основных показателей).

Оптимизационные:

выбор наилучшего из нескольких вариантов производства, распределения или потребления продукции, размещения объектов инфраструктуры, маршрутов движения и т.д.

Статистические:

изучение взаимосвязей производственно-экономических показателей моделируемой системы в условиях влияния случайных факторов: корреляционно-регрессионный анализ, факторный анализ, анализ чувствительности и т.д.

Имитационные:

имитация (как правило, на ЭВМ) процесса функционирования изучаемого объекта во времени.

Мы будем рассматривать некоторые оптимизационные модели. К оптимизационным моделям относят следующие: модель линейного программирования, нелинейного, динамического, сетевые модели.

Раздел 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

§ 1.1. Линейное программирование как простейший случай математического программирования

Математическое программирование представляет собой не аналитическую, а алгебраическую форму решения задачи, т.е. дает не формулу, выражающую окончательный результат, а указывает вычислительную процедуру, которая приводит к решению задачи.

Предметом математического программирования (МП) является разработка методов отыскания экстремального – максимального или минимального – значения функции нескольких переменных при наличии ограничений на переменные:

При рассмотрении задач МП различают 2 этапа:

постановка задачи;

решение задачи.

Система математических отношений между параметрами объекта, которые достоверно описывает поведение реального объекта, называется математической моделью.

§ 1.2. Графический метод решения задач линейного программирования

Графический метод используется для решения задач с двумя или тремя переменными вида

Данный метод основывается на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождении среди них оптимального решения. Область допустимых решений задачи строится как пересечение (общая часть) областей решений каждого из заданных ограничений.

Областью решений линейного неравенства ai1x1 ai2x2 bi является одна из двух полуплоскостей, на которые прямая ai1x1 ai2x2 bi, соответствующая данному неравенству, делит всю координатную плоскость. Для того чтобы определить, какая из двух координатных полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство: если оно удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая данную точку, если же неравенство не удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, не содержащая данную точку.

Областью допустимых решений задачи является общая часть полуплоскостей – областей решений всех неравенств системы ограничений.

Алгоритм графического решения задачи линейного программирования

1. Построить множество допустимых решений. В общем случае оно представляет собой выпуклый многоугольник. Если ограничения