1055
.pdf
|
0 |
15 |
0 |
10 |
|
|
X* |
|
|
10 |
15 |
10 |
|
0 |
. |
|||||
|
|
5 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
||||
При данном плане стоимость перевозок
f 0 5 11 10 12 0 7 10 9 15 0 5 315.
Вопросы для самопроверки
1.Сформулируйте транспортную задачу.
2.Укажите математическую постановку транспортной задачи.
3.Сформулируйте свойства транспортной задачи.
4.Какие этапы имеет решение транспортной задачи?
5.Какие методы решения транспортной задачи вы знаете?
6.Как находится начальный план перевозок?
7.В чем заключаются метод северо-западного угла, метод минимального элемента?
8.Как улучшается начальный план?
9.Как выглядит алгоритм метода потенциалов?
3.6. Задачи для самостоятельного решения
Для задач 3.1─3.10 найти начальное опорное решение методом северо-западного угла и методом минимального элемента.
Задача 3.1. |
|
|
Задача 3.2. |
|
|
|
|
|||||
ai :70,80,90; |
|
|
ai :60, 40,100,50; |
|
|
|||||||
|
|
bj :30,80,65,3540; |
|
|
||||||||
bj :20,60,70,50,40; |
|
|
|
|||||||||
|
8 |
12 |
4 |
9 |
10 |
|
||||||
|
70 |
100 |
40 |
80 50 |
||||||||
C |
|
90 |
50 |
120 |
|
|
|
5 |
15 |
3 |
6 |
|
|
60 70 . |
7 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
C 9 |
|
|
|
|
. |
||
|
|
40 |
80 |
30 |
90 60 |
4 |
6 |
12 |
7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
2 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 3.3. |
|
Задача 3.4. |
|
|
|
||||
ai :40, 25, 35; |
|
ai :10, 20, 35, 45; |
|
||||||
bj :15, 40,30,15; |
|
bj :25, 30, 40,15; |
|
||||||
10 5 7 |
4 |
|
|
1 |
3 |
3 |
8 |
||
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
C 7 4 9 |
10 . |
C |
|
8 |
6 |
||||
|
|
|
|
4 |
7 |
7 |
|
. |
|
6 14 8 |
7 |
|
|
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
5 |
2 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 3.5. |
|
|
|
Задача 3.6. |
|
|
|
|
||||||||
ai :30, 20, 40,50; |
|
ai :60, 40,100,50; |
|
|
||||||||||||
bj :35, 20,55,30; |
|
bj :30,80,65,35, 40; |
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
4 |
1 |
3 |
|
|
8 |
12 4 |
9 |
10 |
|||||
|
|
|
|
6 |
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
15 3 |
|
|
|
C |
|
5 |
4 |
C |
|
7 |
6 |
|||||||||
|
|
3 |
7 |
9 |
5 |
. |
|
|
9 |
4 |
6 |
12 |
7 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
2 |
2 |
7 |
|
|
|
|
5 |
3 |
2 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача 3.7. |
|
|
Задача |
|
3.8. |
|
|
|||
ai :60,70, 20; |
|
|
ai :60,55, 40, 35; |
|
||||||
bj :40,30, 30,50; |
|
bj :70,5, 45,70; |
|
|
||||||
2 4 5 |
1 |
|
|
1 |
2 |
9 |
7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
C 2 3 9 |
4 . |
C |
|
3 |
5 |
|||||
|
5 |
|
|
|
6 |
4 |
8 |
3 |
. |
|
3 4 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 3.9. |
|
|
|
|
Задача |
3.10. |
|
|
||
ai :40, 30,35; |
|
|
|
ai :55, 43, 27; |
|
|
||||
bj :20,34,16,10, 25; |
|
bj :47, 32,31,50; |
|
|||||||
2 |
6 |
3 |
4 |
8 |
3 |
4 |
2 |
1 |
||
|
5 |
6 |
9 |
|
|
|
3 |
5 |
|
|
C 1 |
7 . |
C 2 |
4 . |
|||||||
|
|
1 |
6 |
10 |
|
|
2 |
2 |
6 |
|
3 4 |
|
3 |
|
|||||||
Для задач 3.11─3.30 по указанным ниже данным о ресурсах ai , потребностях bj и матрице коэффициентов затрат с cоставить математические модели и решить соответствующие транспортные задачи.
Задача 3.11. |
|
Задача |
|
3.12. |
|||
ai :40, 60; |
|
|
ai :30,70; |
|
|||
bj :20,50,30; |
bj :20,40, 40; |
||||||
5 |
8 |
4 |
|
2 |
9 |
6 |
|
c |
3 |
6 |
. |
c |
4 |
4 |
. |
7 |
|
5 |
|
||||
Задача 3.13. |
|
Задача |
3.14. |
|
|||
ai :80,70; |
|
|
ai :40,70; |
|
|
||
bj :60,40,50; |
|
bj :30,60, 20; |
|
||||
10 |
6 |
8 |
|
10 |
6 |
8 |
|
c |
4 |
7 |
. |
c |
4 |
7 |
. |
5 |
|
5 |
|
||||
Задача 3.15. |
Задача |
3.16. |
||||
ai :25,15, 60; |
ai :7,30,15; |
|
||||
bj :70,30; |
|
bj :12,13; |
|
|
||
3 |
7 |
5 |
7 |
4 |
8 |
|
c |
4 |
. |
c |
9 |
6 |
. |
6 |
8 |
5 |
|
|||
Задача 3.17. |
Задача 3.18. |
|
|||||
ai |
:100,150,80; |
ai |
:12,5,18; |
|
|
||
bj |
:80,140,110; |
bj |
:10,11,8,6; |
|
|||
|
4 |
3 5 |
|
10 3 |
5 |
8 |
|
|
|
|
|
|
7 |
6 |
|
c 10 |
1 2 . |
c 5 |
4 . |
||||
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
3 |
8 6 |
|
1 |
7 |
||
Задача 3.19. |
Задача 3.20. |
|
ai |
:20,110,120; |
ai :40, 25; |
bj |
:70, 40,30, 60,50; |
bj :10, 35, 20; |
4 |
2 |
5 |
7 |
6 |
|
7 |
2 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|||
c 7 8 3 4 |
5 . |
|
|
. |
|
||||||
|
2 |
1 |
4 |
3 |
2 |
|
|
3 8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 3.21. |
|
|
|
Задача |
3.22. |
|
|||||
ai :70, 45,15; |
|
|
|
ai :40,60; |
|
|
|||||
bj :40,90; |
|
|
|
|
bj :20,70,10; |
|
|||||
7 |
4 |
|
|
|
|
c |
6 |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
c 5 |
9 . |
|
|
|
|
|
3 |
5 7 |
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.23. |
|
|
|
Задача |
3.24. |
|
|||||
ai :46,34,40; |
|
|
|
ai :60,70,50; |
|
||||||
bj :40,35,30,45; |
|
|
bj :40,30, 20,50; |
||||||||
4 |
3 2 7 |
|
|
|
2 |
4 5 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c 1 |
1 6 4 . |
|
|
c 2 |
3 9 4 . |
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 2 5 |
|
|
|
5 9 4 |
|
|
|
8 |
|
|||||
Задача 3.25. |
|
Задача |
|
3.26. |
|||
ai :74, 40,36; |
ai :34, 45, 46; |
||||||
bj :20, 45,30; |
bj :25, 46,38; |
||||||
7 |
3 |
6 |
|
5 |
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
c 4 |
8 2 . |
c 3 |
5 . |
||||
|
5 |
9 |
|
|
4 |
9 |
|
1 |
|
4 |
|
||||
Задача 3.27. |
Задача 3.28. |
|||||
ai :70,60; |
|
ai :89,80; |
|
|
||
bj :50, 20,30; |
bj :20, 40, 30; |
|||||
4 |
8 |
3 |
5 |
6 |
4 |
|
c |
5 |
. |
c |
3 |
4 |
. |
8 |
6 |
2 |
|
|||
Задача 3.29. |
|
Задача 3.30. |
|||||
ai :50, 60,55; |
ai :80, 40,36; |
||||||
bj :30,50,30; |
bj :57,30, 20; |
||||||
4 |
6 |
5 |
|
1 |
3 |
6 |
|
|
3 |
|
|
|
7 |
|
|
c 3 |
2 . |
c 4 |
8 . |
||||
|
5 |
8 |
|
|
8 |
7 |
|
3 |
|
1 |
|
||||
Раздел 4. СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ
§ 4.1. Сетевой график комплекса операций и принципы его построения
Впрактике управления большими системами широко применяется метод сетевого планирования и управления (СПУ).
Система СПУ позволяет:
формировать план выполнения некоторого комплекса работ, в частности план управления проектом;
выявлять трудовые, материальные и денежные ресурсы;осуществлять управление работами с прогнозированием и пре-
дупреждением возможных срывов.
Воснову СПУ положена модель, описывающая объект управления в виде сетевого графика. Сетевой график есть ориентированный граф (орграф), дугам или вершинам которого приписаны некоторые числовые значения.
Всетевом графике три вида событий: исходное, завершающее и промежуточное. Исходное – это такое событие, с которого начинается выполнение комплекса операций. Завершающее соответствует достижению конечной цели. К промежуточному относятся все прочие события.
События обозначаются кружками, они не имеют продолжительности и наступают как бы мгновенно. Моментом свершения события считается момент окончания выполнения всех входящих в это событие операций. Пока они не выполнены, не может свершиться само событие, а значит, не может быть начата ни одна из следующих за ним операций.
Различают следующие операции:
1) действительная операция ( ) – процесс, требующий затрат времени и ресурсов (разработка проекта, подвоз материалов и т. д.);
2) |
операция ожидания( |
) |
– процесс, требующий только за- |
трат времени (затвердение бетона, рост растений и т. п.); |
|||
3) |
фиктивная операция( |
) ) |
или логическая зависимость, от- |
ражает технологическую или ресурсную зависимость в выполнении некоторых операций.
Правила построения сетевого графика
1.В сети не должно быть событий (кроме исходного), в которые не входит ни одна дуга.
2.В сети не должно быть событий (кроме завершающего), из которых не выходит ни одной дуги.
3.Сеть не должна содержать контуров и петель, т. е. путей, соединяющих некоторые события с ними же самими (см. рис. 3).
4.Любая пара событий может быть соединена не более чем одной дугой.
5.В сети не должно быть событий, обозначенных одинаковыми кодами. Для любой операции предшествующее ей событие расположено левее и имеет меньший номер по сравнению с завершающим данную операцию событием.
Пример сети с петлей изображен на рис. 4.
2
0 |
1 |
4 |
3
Рис. 4. Наличие петли в сетевом графике
Пример. Построить укрупненный сетевой график выполнения комплекса операций по реконструкции цеха. Список операций представлен в табл. 8.
|
|
|
|
Таблица 8 |
|
|
|
|
|
Опера- |
Шифр |
Наименование операции |
Опирает- |
Продолжи- |
ция |
опера- |
|
ся на |
тельность, |
|
ции |
|
операции |
дни |
а1 |
(1,2) |
Подготовительные работы |
─ |
5 |
а2 |
(1,3) |
Демонтаж старого оборудования |
─ |
3 |
а3 |
(2,6) |
Ремонтные строительно- |
а1, а2 |
30 |
|
|
монтажные работы |
|
|
а4 |
(3,4) |
Подготовка фундамента под но- |
а1 |
16 |
|
|
вое оборудование |
|
|
а5 |
(2,4) |
Подготовка к монтажу нового |
а1 |
10 |
|
|
оборудования |
|
|
а6 |
(2,5) |
Электротехнические работы |
а1 |
12 |
а7 |
(4,5) |
Монтаж нового оборудования |
а4, а5 |
8 |
а8 |
(5,7) |
Подключение оборудования к |
а6, а7 |
2 |
|
|
электросети |
|
|
а9 |
(7,8) |
Наладка и технические испыта- |
а8 |
6 |
|
|
ния оборудования |
|
|
а10 |
(6,8) |
Отделочные работы |
а3, а6, а7 |
8 |
а11 |
(8,9) |
Приемка цеха в эксплуатацию |
а9, а10 |
1 |
Строим сетевой график (рис. 5):
а1 (5) |
а3 |
(30) |
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а6 (12) |
|
|
|
|
а10 (8) |
|
|||
|
|
а2 (3) |
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а5 (10) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
а4 (16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а11 (1) |
||||
|
|
|
|
а7 (8) |
а8 (2) |
а9 (6) |
|||||||||||
4 
5 
7 
8 
9
Рис. 5. Сетевой график реконструкции цеха
§ 4.2. Расчет временных параметров сетевого графика
Для управления ходом выполнения комплекса операций, представленного сетевой моделью, оперирующая сторона должна располагать количественными параметрами элементов сети. К таким параметрам относятся: продолжительность выполнения всего комплекса операций, сроки выполнения отдельных операций и их резервы времени. Важнейшим параметром сетевого графика является также критический путь. Различают такие виды путей: полный, предшествующий событию, следующий за событием.
Путь сетевого графика называется полным, если его начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная – с завершающим.
Предшествующий событию путь – это путь от исходного события до данного.
Следующий за событием путь есть путь от данного события до завершающего.
Критическим называется полный путь, имеющий наибольшую продолжительность по времени. Операции и события, принадлежащие критическому пути, называются соответственно критическими операциями и критическими событиями. Суммарная продолжительность операций, принадлежащих критическому пути, составляет критическое время tкр выполнения комплекса операций в целом. На графике критический путь, как правило, выполняется жирной линией.
Расчет параметров сетевого графика может осуществляться различными методами. Рассмотрим один из них.
8(8)
2(2)
2
2
4 |
3 |
11(11) |
|
5 |
|||
|
|||
6 |
|
7 |
|
3 |
|
|
0(0) |
1 |
3 |
2(2) |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
1 2
3
1
4 6 5(10)
4(5)
Рис. 6. Сетевой график
Предположим, что продолжительности tij, i, j 1,n выполнения операций (i,j) известны и обозначены у соответствующих дуг графика (рис. 6). Определим, прежде всего, ожидаемые (ранние) сроки ti свершения событий i сетевого графика.
Ожидаемый (ранний) срок свершения данного события j сетевого графика равен продолжительности максимального пути, предшествующего этому событию. Расчет tj свершения j-го события ведется слева направо, начиная с исходного события и заканчивая событием j. Общая формула для нахождения ожидаемых сроков свершения событий:
t1 0;
где (i,
tj max(ti tij), |
j 2,n, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(i, |
j) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j) – подмножество дуг сети, входящих в событие j.
Исходное событие означает момент начала выполнения комплекса операций, следовательно, t1 = 0. Событие 2 свершится спустя 2 единицы времени после свершения события 1, т.к. время выполнения операции (1,2) равно 2. Значит, t2 t1 t12 0 2 2. Событию 3 предшествуют два пути 1 (1 3) и 2 (1 2 3). Значит,
t3 max(t1 t13; t2 t23) max(0 1; 2 0) 2 и т. д.
Расчеты приведены в табл. 9 на с. 51─52. Значения ti , i 1,7, приписаны соответствующим событиям на рис. 6.
Ожидаемый срок свершения события 7 t7=11 совпадает с критическим временем (суммарной продолжительностью операций, принадлежащих критическому пути). Возвращаясь от завершающего события к исходному, можно выделить операции, принадлежащие кри-
тическому пути. |
Критический путь |
в нашем |
примере |
кр :1 2 3 5 7 |
выделен жирной линией. |
Увеличение |
времени |
выполнения любой операции, принадлежащей критическому пути, ведет к увеличению выполнения комплекса операций. Для некритических операций есть резервы времени.
Для событий, не лежащих на критическом пути, существует предельный (поздний) срок свершения ti* ,i 1,n. Примем, что ожидаемый
и предельный сроки свершения завершающего события n совпадают: tn tn*. Тогда предельный срок свершения любого события сетевого графика равен минимальной разности между предельными сроками окончания операций, исходящих из данного события, и временем выполнения соответствующих операций:
tn* tn;
ti* |
min |
(t*j tij), |
j |
|
, |
1,n 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
(i, j)
где (i, j) – подмножество дуг сети, исходящих из события i.
В нашем примере t7* t7 11.
t5* t7* t57 11 3 8, т. к. из события 5 исходит одна операция.
t6* t7* t67 11 1 10.
Из события 4 исходят три операции, поэтому
t4* min(t5* t45; t6* t46;t7* t47) min(8 3;10 1;11 4) min(5;9;7) 5
и т. д. (см. табл. 9).
На рис. 6 предельные сроки свершения событий указаны в скобках. Для критических событий эти сроки совпадают с ожидаемыми.
Некритические события имеют резервы времени, которые показывают, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение событий без изменения срока свершения завершающего события.
Резерв времени Ri события I равен разности между предельным и ожидаемым сроками его свершения:
Ri ti* ti .
Ожидаемые и предельные сроки свершения событий находятся в диалектическом единстве со сроками начала и окончания операций: ранний срок начала выполнения операции (i, j) равен ожидаемому
сроку свершения события i tijр.н ti; поздний срок окончания опера-