1055

§ 6.4. Задачи для самостоятельного решения

Найти цену игры, оптимальную стратегию каждого игрока.

Теория и методы корреляционного анализа используются для выявления связи между случайными переменными и оценки ее тесноты. В общем случае две величины могут быть связаны функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми. Статистической называется зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. Статистическая зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение среднего значения другой, называется корреляционной. Корреляционные зависимости занимают промежуточное положение между функциональной зависимостью и полной независимостью переменных.

Между величинами, характеризующими экономические явления, в большинстве случаев существуют зависимости, отличные от функциональных. Действительно, в экономике закономерности не проявляются так же точно и неизменно, как, например, в физике, химии или астрономии.

Коэффициент корреляции ─ это числовая характеристика, тесно связанная с понятием случайной величины, а точнее, с системой случайных величин. Поэтому для введения и определения их значения и роли необходимо пояснить понятие системы случайных величин и указать некоторые свойства, присущие им.

Две или более случайные величины, описывающие некоторое явление, называют системой или комплексом случайных величин. Систему нескольких случайных величин X,Y,Z,...,W принято обозначать через X,Y,Z,...,W . Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных случайных величин, входящих в систему, а включают также взаимные связи (зависимости) между случайными величинами. Поэтому при изучении системы случайных величин следует обращать внимание на характер и степень зависимости. Эта зависимость может быть более или менее ярко выраженной, более или менее тесной. В других случаях случайные величины могут оказаться практически независимыми.

Случайная величина Y называется независимой от случайной величины Х, если закон распределения случайной величины Y не зависит от того, какое значение приняла величина Х.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Понятие «зависимости» случайных величин, которым пользуются в теории вероятностей, несколько отличается от обычного понятия «зависимости» величин, которым пользуются в математике. Так, математик под «зависимостью» подразумевает только один тип зависимости ─ полную, жесткую, так называемую функциональную зависимость. Две величины Х и Y называются функционально зависимыми, если, зная значение одной из них, можно точно определить значение другой. В теории вероятностей встречаются несколько с иным типом зависимости ─ вероятностной зависимостью. Если величина Y связана с величиной Х вероятностной зависимостью, то, зная значение Х, нельзя точно указать значение Y , а можно указать её закон распределения, зависящий от того, какое значение приняла величина

Х.

Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной. По мере увеличения тесноты вероятностной зависимости она все более приближается к функциональной. Таким образом, функциональную зависимость можно рассматривать как крайний, предельный случай наиболее тесной вероятностной зависимости. Другой крайний случай ─ полная независимость случайных величин. Между этими двумя крайними случаями лежат все градации вероятностной зависимости ─ от самой сильной до самой слабой.

Вероятностная зависимость между случайными величинами часто встречается на практике. Если случайные величины Х и Y находятся в вероятностной зависимости, то это не означает, что с изменением величины Х величина Y изменяется вполне определенным образом; это лишь означает, что по известному значению Х можно указать только закон распределения Y , зависящий от того, какое значение приняла Х.

§ 7.2. Двумерные случайные величины

Упорядоченная пара X,Y двух случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или системой двух одномерных случайных величин. Например, производится одновременный замер показаний глубины погружения прибора и давления на этой глубине. Получаем набор значений вида (30; 0,6), (30,7; 1,1) ,…

ной величины Y .

Случайные величины X и Y называются независимыми, если события X x и Y y независимы.

Теорема 7.1. Система случайных величин X,Y независима, если и только если выполняется одно из условий:

§ 7.3. Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин служат для исследования свойств как отдельных случайных величин, так и их системы.

I. Математическое ожидание двумерной случайной величи-

ны:

а) дискретная двумерная случайная величина

n m

M X mx xi pij ;

i 1 j 1

n m

M Y my yj pij ,

i 1 j 1

где pij p X xi,Y yj ;

б) непрерывная двумерная случайная величина

Свойства ковариации:

1)1,1 Kx, y cov X,Y M X Y mx my ;

2)для непрерывной случайной величины

3)Kx, x D X ; Ky,y D Y ;

4)если X,Y ─ независимы, то Kx, y 0;

5)D X Y D X D Y 2Kx, y ;

6)Kx, y x y .

Если Kx, y 0, то случайные величины X,Y зависимы, или кор-

релированны. Если же Kx, y 0, то X,Y не обязательно независимы

(не коррелированны). Итак, ковариация характеризует зависимость случайных величин. При этом размерность ковариации равна размерности случайных величин. В качестве безразмерной характеристики зависимости случайных величин используется коэффициент корреляции

Свойства коэффициента корреляции:

1)rx, y 1;

2)если X,Y независимы, то rx, y 0;

3)если X,Y линейно связаны, то есть Y a X b (a 0), то

1, если a 0;

rx, y 1

1,если a 0;

4) если rx, y 1, то X,Y линейно связаны.