1055
.pdfции совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события
(tijп.о t*j ); поздний срок начала выполнения операции равен разности между предельным сроком свершения ее конечного события и продолжительностью (tijп.н t*j tij ); ранний срок окончания операции равен сумме ожидаемого срока свершения ее начального события
и продолжительности (tijр.о ti tij ) .
Сроки выполнения операций находятся на границах, определяе-
мых параметрами tijр.н , tijп.н ,tijр.о ,tijп.о . Следовательно, операции, как и события, могут иметь некоторый резерв времени. Различают четыре разновидности резервов времени операций: полный, свободный, частный первого вида и частный второго вида.
Полный резерв времени операции Rijп показывает, на сколько
можно сдвинуть начало выполнения операции или увеличить ее продолжительность, не изменяя ожидаемого срока свершения начального события, при условии, что конечное для данной операции событие свершится не позднее своего предельного срока. Величина полного резерва времени вычисляется по формуле
Rijn tj ti tij tj tijpo .
Свободный резерв времени операции R показывает, на сколько можно увеличить продолжительность или отсрочить начало выполнения операции (i,j), при условии, что начальное и конечное события свершаются в ожидаемое время:
Rijс tj (ti tij ) tj tijр.о .
Частный резерв времени первого вида Rij' – это запас времени,
которым можно располагать при выполнении операции (i,j) в предположении, что начальное и конечное события свершаются в предельные сроки:
Rij' t*j (ti* tij ) tijп.н ti*.
Частный резерв времени второго вида Rij" – это запас времени,
которым можно располагать при выполнении операции (i,j) в предположении, что ее начальное событие свершится в предельное, а конечное – в ожидаемое время. Для некоторых операций интервал времени между предельным сроком свершения начального события и ожидаемым сроком свершения конечного события может быть меньше их
продолжительности. В этом случае Rij" принимается равным нулю.
Определяется частный резерв времени второго вида по формуле
Rij" max(tj ti* tij;0).
Найдем резервы времени операции (4, 6) сетевого графика (см.
рис. 6):
R46п t6* (t4 t46) 10 (4 1) 5;
R46с t6 (t4 t46) 5 (4 1) 0;
R46' t6* (t4* t46) 10 (5 1) 4;
R46" max(t6 t4* t46;0) max(5 5 1) 0.
Перечисленные параметры сетевого графика служат для оценки его пригодности в качестве плана выполнения комплекса операций. В случае, когда критическое время выполнения комплекса операций превышает срок, заданный оперирующей стороной, необходим анализ сетевого графика и его оптимизация, под которой понимают любое улучшение структуры сети или ее параметров. Такого рода оптимизационные задачи могут быть решены методами линейной или нелинейной оптимизации.
Для примера определим ранний и предельный сроки свершения всех событий, их резервы времени, критический путь. Расчеты поместим в табл. 9.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
Сроки свершения событий |
|
|
Резерв |
||
|
|
|
|
|
* |
|
времени |
|
п\п |
|
|
Ранний ti |
|
Предельный t |
|
||
|
|
|
|
Ri |
||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
t* |
min(2 2;2 1;5 3) |
|
|
|
1 |
t1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
min(0;2;1) 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 9 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
t* |
min(2 2;2 1;5 3) |
2 |
t2 t1 t12 0 2 2 |
1 |
0 |
|
|
min(0;2;1) 0 |
|
t |
3 |
max(t |
t |
|
;t |
2 |
t |
23 |
) |
* |
min(4 2; |
8 6) |
3 |
1 |
13 |
|
|
|
t3 |
||||||
|
|
|
0) 2 |
|
min(2;2) 2 |
0 |
||||||
max(0 1; 2 |
|
|
||||||||||
4 |
t4 max(0 3;2 2) 4 |
t4* min(8 3;10 1;11 4) |
1 |
|
min(5;9; 7) 5 |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
5 |
t5 max(6;8; 7) 8 |
t5* t7* t57 11 3 8 |
0 |
|
6 |
t6 t4 t46 4 1 5 |
t6* t7* t67 11 1 10 |
5 |
|
7 |
t7 max(8;11; 6) 11 |
t7* 11 |
0 |
Критический путь проходит через события с нулевыми резервами времени через следующие операции: кр 1 2 3 5 7. Длина
критического пути равна 11 ед. времени.
Вопросы для самопроверки
1.Что такое сетевое планирование и управление?
2.Что понимается под «работой» и «событием» в сетевом гра-
фике?
3.Правила построения сетевых графиков.
4.Что такое «критический путь»?
5.Перечислите основные параметры сетевых графиков и методы расчета параметров.
6.Что понимается под оптимизацией сетевого графика?
7.Назовите достоинства и недостатки сетевого планирования и управления.
8.Какова область применения сетевого планирования и управ-
ления?
§4.3. Задачи для самостоятельного решения
Взадачах 4.1─4.15 приведены коды операций и продолжительность их выполнения. Построить сетевой график, определить ранний
ипредельный сроки свершения всех операций, их резервы во времени, критический путь.
Задача 4.1.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
0 – 1 |
3 |
2 |
1 – 5 |
5 |
3 |
1 – 2 |
3 |
4 |
1 – 3 |
4 |
5 |
2 – 4 |
3 |
6 |
4 – 5 |
2 |
7 |
3 – 5 |
5 |
8 |
5 – 7 |
4 |
9 |
5 – 6 |
5 |
10 |
6 – 7 |
5 |
11 |
2 – 7 |
4 |
12 |
7 – 8 |
5 |
13 |
8 – 9 |
3 |
Задача 4.2.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
1 – 2 |
4 |
2 |
1 – 3 |
3 |
3 |
1 – 4 |
5 |
4 |
2 – 5 |
7 |
5 |
2 – 6 |
10 |
6 |
3 – 6 |
8 |
7 |
4 – 6 |
12 |
8 |
4 – 7 |
9 |
9 |
5 – 8 |
8 |
10 |
6 – 8 |
10 |
11 |
7 – 8 |
11 |
Задача 4.3.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
1–2 |
10 |
2 |
1–3 |
7 |
3 |
1–4 |
3 |
4 |
2–5 |
4 |
5 |
3–4 |
8 |
6 |
3–6 |
11 |
7 |
4–5 |
15 |
8 |
4–6 |
8 |
9 |
5–7 |
22 |
10 |
6–7 |
20 |
Задача 4.4.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
1–2 |
2 |
2 |
1–3 |
1 |
3 |
1–5 |
4 |
4 |
2–5 |
3 |
5 |
3–4 |
1 |
6 |
3–5 |
2 |
7 |
4–5 |
2 |
8 |
5–6 |
3 |
9 |
6–7 |
2 |
10 |
6–8 |
2 |
11 |
7–8 |
3 |
Задача 4.5.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
1–2 |
2 |
2 |
1–3 |
2 |
3 |
1–4 |
3 |
4 |
2–3 |
1 |
5 |
2–5 |
3 |
6 |
3–4 |
2 |
7 |
3–5 |
1 |
8 |
4–5 |
3 |
9 |
4–8 |
4 |
10 |
5–6 |
2 |
11 |
5–8 |
3 |
12 |
6–7 |
4 |
13 |
7–8 |
2 |
Задача 4.6.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
1–2 |
10 |
2 |
1–3 |
6 |
3 |
1–4 |
7 |
4 |
2–4 |
15 |
5 |
2–5 |
4 |
6 |
3–4 |
6 |
7 |
3–6 |
1 |
8 |
4–5 |
7 |
|
|
Окончание задачи 4.6 |
|
|
|
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
9 |
4–7 |
1 |
10 |
5–7 |
6 |
11 |
6–8 |
11 |
|
|
|
12 |
7–8 |
2 |
Задача 4.7.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
1–2 |
3 |
2 |
1–3 |
4 |
3 |
2–3 |
6 |
4 |
2–4 |
7 |
5 |
2–6 |
7 |
6 |
3–5 |
8 |
7 |
4–7 |
11 |
8 |
5–8 |
6 |
9 |
6–8 |
10 |
10 |
7–8 |
12 |
Задача 4.8.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
|
|
|
1 |
1–2 |
4 |
2 |
1–3 |
5 |
3 |
2–3 |
3 |
4 |
2–4 |
7 |
5 |
2–5 |
11 |
6 |
3–5 |
6 |
7 |
4–6 |
6 |
8 |
4–7 |
5 |
9 |
5–7 |
8 |
10 |
6–7 |
7 |
1 |
7–8 |
10 |
Задача 4.9.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
1–2 |
5 |
2 |
1–3 |
4 |
3 |
1–4 |
3 |
4 |
2–3 |
3 |
5 |
2–5 |
10 |
|
|
Окончание задачи 4.9 |
|
|
|
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
6 |
3–4 |
3 |
7 |
3–5 |
2 |
8 |
3–6 |
10 |
9 |
4–6 |
5 |
10 |
4–8 |
7 |
11 |
5–7 |
15 |
12 |
5–9 |
7 |
13 |
6–7 |
6 |
14 |
6–8 |
3 |
15 |
7–10 |
4 |
16 |
8–10 |
7 |
17 |
9–10 |
8 |
Задача 4.10.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
1–2 |
4 |
2 |
1–3 |
2 |
3 |
1–4 |
7 |
4 |
2–4 |
1 |
5 |
3–4 |
0 |
6 |
4–6 |
2 |
7 |
4–5 |
4 |
8 |
5–6 |
0 |
9 |
5–7 |
2 |
10 |
6–7 |
3 |
Задача 4.11.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
1–2 |
3 |
2 |
1–3 |
4 |
3 |
2–3 |
2 |
4 |
3–4 |
1 |
5 |
3–5 |
6 |
6 |
4–6 |
2 |
7 |
5–7 |
3 |
8 |
6–8 |
7 |
9 |
7–8 |
3 |
Задача 4.12.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
1–2 |
3 |
2 |
1–3 |
4 |
3 |
2–3 |
5 |
4 |
2–4 |
8 |
5 |
3–4 |
7 |
6 |
3–5 |
9 |
7 |
4–6 |
11 |
8 |
4–7 |
8 |
9 |
5–6 |
2 |
10 |
5–8 |
13 |
11 |
6–9 |
12 |
12 |
7–9 |
8 |
13 |
8–9 |
5 |
Задача 4.13.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
1–2 |
7 |
2 |
2–3 |
8 |
3 |
2–4 |
11 |
4 |
2–5 |
4 |
5 |
3–4 |
10 |
6 |
3–6 |
7 |
7 |
4–6 |
0 |
8 |
5–6 |
9 |
9 |
5–7 |
7 |
10 |
6–7 |
11 |
Задача 4.14.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
1–2 |
2 |
2 |
1–3 |
4 |
3 |
2–4 |
3 |
4 |
3–4 |
2 |
5 |
3–5 |
3 |
6 |
3–6 |
1 |
7 |
4–5 |
7 |
8 |
5–6 |
2 |
9 |
5–8 |
10 |
10 |
5–10 |
16 |
11 |
6–7 |
12 |
12 |
6–9 |
13 |
|
|
Окончание задачи 4.14 |
|
|
|
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
13 |
7–9 |
13 |
14 |
8–9 |
11 |
15 |
8–10 |
7 |
16 |
5–10 |
16 |
17 |
9–10 |
0 |
Задача 4.15.
N |
Код операции |
Продолжительность операции |
1 |
1–2 |
4 |
2 |
1–3 |
5 |
3 |
2–3 |
7 |
4 |
2–4 |
7 |
5 |
2–6 |
11 |
6 |
3–5 |
6 |
7 |
4–6 |
5 |
8 |
4–7 |
7 |
9 |
5–7 |
8 |
10 |
6–8 |
7 |
11 |
7–8 |
10 |
Найти ранний и предельный сроки свершения всех операций, их резервы по времени, критический путь.
Задача 4.16.
2 4
1 
2 
4
6 10
10
12
10 6
3 
5 
6
Задача 4.17.
|
|
4 |
7 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
1 |
2 |
3 |
2 |
9 |
12 |
2 |
3 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
Раздел 5. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
§ 5.1. Постановка и методика решения задач динамического программирования
Динамическое программирование относится к вычислительному методу, использующему аппарат рекуррентных соотношений, разработанный американским ученым Р.Беллманом. Термин «динамическое программирование» возник в результате изучения задач математического программирования, в которых ряд условий изменялся во времени. Однако этот метод можно использовать в задачах, где время вообще отсутствует.
Динамическое программирование – это вычислительный метод, использующий аппарат рекуррентных соотношений, моделирующий многоэтапный процесс принятия решений на основе принципа оптимальности. Он состоит в том, что оптимальная стратегия обладает таким свойством, что каково бы ни было начальное состояние и начальное решение, последующие решения должны приниматься исходя из оптимальной стратегии с учетом состояния, вытекающего из первого решения.
С развитием рыночных отношений перед предпринимателями встает вопрос, куда направить свободные средства, чтобы получить максимальный доход. Конечно, каждый предприниматель расширяет