Дискретные случайные величины.

8. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения, представленным в таблице:

xi	-5	-3	-1	1	3
pi	0,1 c2	0,2c2	0,2c	0,1	0,4c

1.Найти константу с. Ответ обосновать.

2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.

3.Найти дисперсию случайной величины Х.

4.Построить график функции распределения случайной величины Х.

5.Найти вероятность Р{-5 X1}.

Непрерывные случайные величины.

9. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

1.Найти константу с.

2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.

3.Найти дисперсию случайной величины Х.

4.Построить графики плотности распределения и функции распределения случайной величины Х.

5. Найти P{X>0},P{-1<X<2,5}.

Многомерные случайные величины.

10. Найти функцию распределения случайной величины Z=2X+Y, где X-дискретная случайная величина, принимающая два значения: 1 с вероятностью 0,4 и -1 c вероятностью 0,6, а Y имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1; X и Y- независимы. Вычислить вероятность Р(Z<0).

Указание: воспользоваться формулой полной вероятности.

11. Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами (-3;0), (0;4), (0;0). Найти двумерную плотность совместного распределения и плотности распределения случайных величин X и Y. Вычислить коэффициент корреляции.

Предельные теоремы теории вероятностей.

12. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение минуты равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение минуты обрыв произойдет на 3 веретенах.

13. Обследуются 500 изделий, изготовленных на предприятии, где брак составляет 2%. Найти вероятность того, что число бракованных изделий лежит в пределах от 10 до 20.

14. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется меньше трех.

Математическая статистика.

15. По данному распределению выборки построить эмпирическую функцию распределения, гистограмму и полигон:

    xi	1	2	3	4	5	6
    ni	25	10	30	15	10	10

16. Найти точечную оценку параметра pбиномиального распределения (схема Бернулли) по выборке (1,0,0,0,0,0,0,0,0,1), где Хпринимает значения: 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью 1-р: а) методом моментов и б) методом максимального правдоподобия.

17. Найти доверительный интервал надежности 1-α=0,95 для неизвестного математического ожидания при неизвестной дисперсии по выборке

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	25,0	24,9	24,8	25,3	24,9	24,6	24,7	25,4	24,9	25,4

Распределение нормальное. Какова точность этого интервала? Как изменится точность, если дисперсия известна и равна 0,08?

18. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза об экспоненциальном распределении генеральной совокупности с результатами наблюдений, представленными в таблице:

интервалы	0- 0,2	0,2-0,4	0,4-0,6	0,6-1,4	1,4-1,6	1,6-2,0	2,0-3,0	3,0-4,0	4,0-6,0	6,0-8,0
n	7	6	8	17	19	10	8	14	8	3