Вариант 5.

Операции над событиями.

1. Стрелок делает три выстрела по мишени. Событие А – хотя бы одно попадание, событие В – ровно три попадания. Что означают события: АВ,,, А+В?

2. Рабочий изготовил 5 деталей. Пусть событие А_i,i=1,…,5, заключается в том, чтоi–ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, состоящее в том, что третья или четвертая детали имеют дефект, а остальные детали без дефектов.

Классическое определение вероятности.

3. В коробке лежит 5 шариковых ручек и 7 гелевых. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 7 ручек 3 шариковых и 4 гелевых.

4. Игральная кость бросается 2 раза. Найти вероятность того, что сумма очков заключена в интервале от 3 до 6 очков, включая эти значения.

Формула сложения и умножения вероятностей.

Формула полной вероятности.

Схема Бернулли.

5. Студенты к экзамену должны знать 30 вопросов. Один выучил 20 вопросов, другой – 25. Найти вероятность того, что хотя бы один студент ответит на заданный экзаменатором вопрос.

6. В первой урне содержится 10 шаров, из них 7 белых, во второй – 20 шаров, из них 6 белых. Из каждой урны наудачу взяли по одному шару. Затем из этих двух шаров наудачу выбран один шар. Найти вероятность того, что это шар окажется белым.

7. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом их которых событие А может произойти с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы два раза.

Дискретные случайные величины.

8. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения, представленным в таблице:

xi	-2	-1	0	2	3
pi	c/8	c2/16	3c/32	c2/16	c/32

1.Найти константу с. Ответ обосновать.

2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.

3.Найти дисперсию случайной величины Х.

4.Построить график функции распределения случайной величины Х.

5.Найти вероятность Р{-1 X2}.

Непрерывные случайные величины.

9. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

1.Найти константу с.

2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.

3.Найти дисперсию случайной величины Х.

4.Построить графики плотности распределения и функции распределения случайной величины Х.

5. Найти P{X>0},P{-1,5<X<3}.

Многомерные случайные величины.

10. Найти функцию распределения случайной величины Z=2X+Y, гдеX-дискретная случайная величина, принимающая два значения: 1 с вероятностью 0,6 и -1cвероятностью 0,4, аYимеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1;XиY- независимы. Вычислить вероятность Р(Z<0).

Указание: воспользоваться формулой полной вероятности.

11. Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами (-2;-2), (3;-2), (3;2). Найти двумерную плотность совместного распределения и плотности распределения случайных величин X и Y. Вычислить коэффициент корреляции.

Предельные теоремы теории вероятностей.

12. На факультете обучается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для 3 студентов данного факультета?

13. Игральный кубик подбрасывают 800 раз. Какова вероятноть того, что число очков, кратное трем, выпадет не меньше 260 и не больше 274 раз?

14. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х 0,1 0,4 0,6

p0,2 0,3 0,5

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что Х-МХ<0,4.