Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

гидромеханика нефти

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4630 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ

335

Величина Jji представляет собой (благодаря возможности фазовых превращений) интенсивность перехода массы из j -й в i-ю составляющую в единице объема смеси и в единицу времени.

Pji – интенсивность обмена импульсами между j -й и i-й составляю-

щими смеси. Eji – интенсивность обмена энергией между j -й и i-й состав-

ляющими смеси.

Из законов сохранения следует, что

Jji = − Jij , Jii ≡	0; Pji	=	− Pij ,	Pii	≡ 0; Eji	= − Eij , Eii ≡ 0 . (17.5)

Заметим особо, что i – номер фазы, поэтому суммирование по индексу i не производится.

Суммируя по i уравнения (17.1)–(17.3), с учетом соотношений (17.5) получаем

∂

∫

∑α iρ i dV +

∫∑α i ρ ivin dS =

0 ,

(17.6)

∂ t

i= 1

∫∂∂t∑α i

ρ ivi dV +

∫∑α i

ρ ivivin dS =

∫∑α

dV + ∫∑pni dS,(17.7)

iρ iFi

V i= 1

S i= 1

V i= 1

S i= 1

∂

∫

∫∑

∂ t∑

α ρi iEidV +

α ρ i iEivindS=

α ρ

i iFvi idV+

i= 1

S i= 1

=i 1

(17.8)

+ ∫

∫

∑ pnividS−

∑qi( ) dS.

i= 1

Плотность ρ m смеси определяется как

ρ m =

∑α iρ i ,

(17.9)

i= 1

а среднемассовая скорость – из соотношения

∑α

v =

iρ ivi .

(17.10)

ρ m

i= 1

§2. Уравнения движения двухфазной смеси в трубах

Для вывода уравнений движения двухфазной смеси в трубах введем следующие допущения:

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

336	ГЛАВА XVII

а) движение установившееся; б) давление и температура в обоих фазах одинаковы и постоянны по

сечению трубы; в) относительным движением компонент внутри фазы можно пренеб-

речь; г) в каждом сечении выполняются условия локального термодинами-

ческого равновесия для объема смеси, проходящего через сечение в единицу времени;

д) из массовых сил действует только сила тяжести.

Вэтих предположениях уравнения (17.6) – (17.8) с учетом равенств (17.9)

и(17.10) принимают вид

				N
			∫∑α i ρ ivin dS =						0 ,	(17.11)
			S	i= 1
	N								N
	∫∑α					∫
	∫∑α	iρ ivivin		dS =		∫	ρ g dV +		∫∑ pni dS,	(17.12)
	S i= 1					V			S i= 1
N							N		N
∫∑α iρ iEivin dS = ∫ ρ mvg dV +							∫∑ pnivi dS − ∫∑qi(n) dS. (17.13)

S i= 1		V					S i= 1		S i= 1
Рассмотрим в качестве поверхности S участок трубы, наклоненный
к вертикали под углом θ			и ограниченный сечениями S1, S2							и боковой по-
верхностью S3 (рис.		17.1). Для общности вывода будем считать, что по-
верхность S3	проницаема и через нее в трубу поступает непрерывно рас-
пределенная газожидкостная смесь. В сечениях S1, S2 и S3										в соответствии
с рис. 17.1 имеем:
					α n1 = α n2 = 0, α n3 = − 1, i = 1, 2 ;
на S1 vi	= − nvi ,	n	= − e3,		α n1 = α n2 = 0, α n3 = − 1, i = 1, 2 ;
				α n1 =		α n2 =			α n3 = 1, i =
на S2 vi	= nvi ,	n =	e3,	α n1 =		α n2 =		0,	α n3 = 1, i =	1, 2 ; (17.14)
								α n3 = 0, i = 3, 4 .
на S3 vi	= − nvi ,	n	= e1α n1		+ e2α n2 ,			α n3 = 0, i = 3, 4 .
Здесь и далее индексы «3», «4» относятся, соответственно, к газовой

и жидкой фазам смеси, поступающей в трубу через поверхность S3 , em –
орты координатных осей, α nm =
орты координатных осей, α nm =					n	em –		косинусы углов между коорди-
натными осями и нормалью.
Подставив соотношения (17.14) в уравнение (17.11), получим
∫ (α 1ρ 1v1 + α 2 ρ 2v2) dS −		∫( α 1ρ 1v1 +			α 2ρ 2v2) dS =				∫( α 3ρ 3v3 + α 4 ρ 4v4) dS. (17.15)
S2		S1							S3

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ

337

Рис. 17.1

Для преобразования уравнения (17.12) рассмотрим тензор поверхност- ных напряжений. Примем, что

pikl = − α i pδ kl + τ ikl,

τ ikl = τ ilk, τ ikk = 0 .

(17.16)

С учетом равенства (1.31) из формул (17.16) имеем

pni =	− α i pn +	τ ni,	τ ni =	emτ ikmα	nk ,	(17.17)

где τ ikm – компоненты тензора добавочных напряжений, приложенных к i-й фазе.

Так как по принятому выше условию давление в фазах одинаково, то из соотношений (17.17) с учетом равенства (17.4) имеем

pn =	N	pn + τ n,	τ n =
pn =	∑pni = −	pn + τ n,	τ n =

	i= 1
	N
τ km = ∑τ ikm,		τ km = τ mk,
	i= 1

τ kmα

em nk,

(17.18)

τ kk = 0.

В формулах (17.18) подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу.

Из формул (17.14) и (17.18) имеем:

на S1

e3 p −

e1τ 31 −

e2τ 32 ;

на S2

−

e3 p +

e1τ 31

+ e2τ 32

;

(17.19)

на S3

= −

(e1α

+ e2α

n2) p + e1τ 21α

+ e2τ 12α

+ e3 (τ 13α

n1 + τ 23α n2 ).

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

338 ГЛАВА XVII

Спроектировав уравнение (17.12) на ось трубы Oz, с учетом соотно-

шений (17.14) и (17.19) получим

∫ (α 1ρ 1v12 + α 2 ρ 2v22) dS − ∫(α 1ρ 1v12 + α 2 ρ 2v22) dS =
S2		S1		(17.20)
= ∫ ρ mge3 dV +	∫ p dS − ∫ p dS + ∫			(17.20)
= ∫ ρ mge3 dV +	∫ p dS − ∫ p dS + ∫			τ dS,

V	S1	S2	S3
где

					τ = τ 13α n1 + τ 23α n2
– проекция добавочных напряжений на ось Oz.
Для преобразования					уравнения	(17.13)	рассмотрим выражения ви-

да pni	vi .	Из формул (17.14) и (17.17) имеем:
на S1				= α i pvi, i	= 1, 2 ;
на S1	pni		vi	= α i pvi, i	= 1, 2 ;
				= − α i pvi,	i = 1, 2 ;		(17.21)
на S2	pni		vi	= − α i pvi,	i = 1, 2 ;		(17.21)
на S3				= α i pvi − 2α n1α n2τ i12vi,		α n21 + α n22 = 1, i = 3, 4 .
на S3	pni		vi	= α i pvi − 2α n1α n2τ i12vi,		α n21 + α n22 = 1, i = 3, 4 .
Подставив соотношения (17.14) и (17.21) в уравнение (17.13) и счи-
тая, что притоком тепла через сечения S1, S2							можно пренебречь, получа-
ем
	∫(α 1ρ 1E1v1 + α 2 ρ 2E2v2) dS − ∫( α 1ρ 1E1v1 + α 2 ρ 2E2v2) dS −
	S2				S1
− ∫(α 3ρ 3E3v3 + α 4 ρ 4E4v4)							∫ p( α 1v1 + α 2v2) dS −
− ∫(α 3ρ 3E3v3 + α 4 ρ 4E4v4)					dS = ∫ ρ mvg dV +		∫ p( α 1v1 + α 2v2) dS −
S3					V		S1
							(17.22)
− ∫ p(α 1v1 + α 2v2) dS + ∫[( α 3v3 + α 4v4) p − 2α n1α n2 (τ 312v3 + τ 124 v4)] dS −
S2				S3
					N
					− ∫∑qi(n) dS.

S3 i= 1

Уравнения (17.15) , (17.20), (17.22) содержат интегралы вида

∫ f1dS,	∫ f1dS,	∫ f2dS,	∫ f3dV .
S1	S2	S3	V

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ									339
Устремляя к нулю расстояние между сечениями S1 = S(z)									и S2 =
= S ( z+ dz) , получим
						d
	f1dS −	∫			=	d	∫
lim			f1dS					f1dS dz,
lim			f1dS					f1dS dz,
∫						dz			(17.23)
S2		S1					S		(17.23)
lim ∫ f2dS =	∫ f2dχ	dz,		lim ∫ f3dV = ∫ f3dS dz,
S3	χ					V		S

где χ – смоченный периметр сечения трубы S.

Переходя в уравнениях (17.15), (17.20), (17.22) к пределу при с учетом соотношений (17.23) имеем

dzd ∫ (α 1ρ 1v1 + α 2 ρ 2v2) dS = ∫( α 3 ρ 3v3 + α 4 ρ 4v4) dχ ,

dzd ∫ p dS +

∫τ dχ ,

dzd ∫ (α 1ρ 1v12 + α 2 ρ 2v22) dS = ∫

ρ mge3dS −

∫ (α 1ρ 1E1v1 + α 2 ρ 2 E2v2 ) dS − ∫(α 3 ρ 3E3v3 + α 4 ρ 4 E4v4) dχ

= ∫

ρ mvg dS −

dzd ∫ (α 1v1 + α 2v2) p dS + ∫( α 3v3 + α 4v4) p dχ

− 2∫ (τ 312v3 + τ 124 v4)α n1α n2 dχ − ∫ q(n) dχ ,

где*

q(n)

= ∑q1( n) .

i= 1

dz → 0 ,

(17.24)

(17.25)

− (17.26)

Рассмотрим интегралы, входящие в уравнения (17.24)–(17.26). Оче-

видно, что
∫α i ρ ivi dS = Gi,	i = 1, 2 ,	∫α i ρ ivi dχ = Ji, i = 3, 4 , (17.27)
S		χ
где Gi – массовый расход i -й фазы, Ji		– массовый приток i -й фазы через
поверхность S3 , рассчитанный на единицу длины.

* При вычислении ∫ q( n) dχ и ∫τ dχ	считается, что χ – периметр сечения трубы.

χχ

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

340 ГЛАВА XVII

∫α i ρ ivi2dS =	vi ∫α i ρ ividS =	viGi, i = 1, 2 ,	(17.28)
S	S

где vi – некоторое среднее значение скорости vi .

Из допущения б) следует, что давление, плотность и внутренняя энер- гия фазы распределены равномерно по сечению трубы. Поэтому с учетом равенств (17.9) и (17.27) получим

ρ 1 ∫α 1dS +

ρ 2 ∫α 2dS,

∫ p dS =

∫ ρ mge3dS

= gz ρ mS, ρ mS =

pS,

(17.29)

∫α

i ср

1, 2 ,

(17.30)

i ρ iEividS = ∫α i ρ i ui

vidS =

ui +

Gi,

∫α ivi p dS =

∫α i ρ ivi

dS =

Gi,

i =

1, 2 ,

(17.31)

ρ i

где gz

– проекция ускорения силы тяжести на ось трубы, vi ср

– некоторое

отличное от

осредненное значение скорости vi .

В соответствии с формулами (17.10) и (17.27) имеем

∫

(α 1ρ 1v1 + α 2

ρ 2v2) dS =

gz( G1 + G2) .

∫ ρ mvg dS =

ge3

(17.32)

Приток через поверхность S3 будем считать осесимметричным. Тогда

с учетом равенства (17.27) получим

∫

α i ρ i Eivi dχ

= Ei

∫

α i ρ ivi

dχ =

i =

3, 4 ,

(17.33)

ui +

Ji ,

∫α i ρ i p dχ =

∫α i ρ ivi

dχ

∫α i ρ ivi dχ

Ji ,

i =

3, 4 ,

(17.34)

ρ i

2π

∫τ i12viα n1α n2dχ

= τ i12vi ∫α n1α n2dχ

= τ i12vi ∫ sinγ cosγ Rdγ

= 0,

i = 3,4 , (17.35)

где R – радиус трубы, γ

к поверхности S3 и ор-

– угол между нормалью n

том e1 (рис. 17.2).

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ

341

Очевидно также, что
∫	τ dχ	= τ χ ,	∫	q(n) dχ = q(срn) χ ,	(17.36)
		ср
χ			χ
где τ , qср(n)		– средние по периметру значения τ
ср

и q(n) .

Часть площади сечения трубы S, занятую i-й

фазой, обозначим через Si . Тогда
Si = ∫α i dS,	i = 1, 2 ,	(17.37)
S
и массовый расход Gi можно представить в виде
Gi = ∫α i ρ ivi dS = ρ iwi ∫α i dS = ρ iwiSi = ρ iQi,
S	S

Рис. 17.2

i = 1, 2 , (17.38)

где wi, Qi – средние по сечению скорость и объемный расход i-й фазы. Будем считать, что скорость фазы мало меняется по сечению трубы,

поэтому можно принять

vi2 =	vi2ср =	wi2	,	i =	1, 2 .	(17.39)
В соответствии с условием б) давление и температура постоянны по
сечению трубы. Поэтому
ρ 1 = ρ 3 = ρ g , ρ 2 = ρ 4	= ρ l ,	u1	=	u3 =	ug , u2 = u4 = ul ,	(17.40)

где индекс «g» относится к газовой фазе, индекс «l» – к жидкой. Кроме то- го, обозначим

G1	= Gg, G2 = Gl,			J4	= Jl,		w1 = wg,		w2 = wl . (17.41)
Из формулы (17.37) имеем
	S1 = Sg			=	∫α 1dS =		ϕ S .		(17.42)
					S
Величина ϕ	называется истинным газосодержанием.
Так как в соответствии с формулой (17.4) α 2 = 1 −									α 1 , то
	S2 = Sl ∫α 2dS = (1 −						ϕ )S.		(17.43)
		S
На основании формул (17.38) и (17.40) – (17.43) средние скорости фаз
можно представить в виде
	wg =	Gg			wl =		Gl
			,			(1 − ϕ ) ρ lS		.	(17.44)
		ϕρ gS

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

342

ГЛАВА XVII

Из формул (17.29), (17.40), (17.42) и (17.43) следует, что

ρ m =

ϕρ

g + (1 −

ϕ ) ρ l .

(17.45)

Касательное напряжение на стенке трубы задается в виде*

λ m

[ϕρ

gwg2 + (1 −

ϕ ) ρ lwl2] =

λ m

τ ср = −

−

, (17.46)

8S2

ϕρ

(1 − ϕ ) ρ l

а приток тепла

qср(n) =

k(T −

Tн) ,

(17.47)

где λ m – коэффициент гидравлического сопротивления смеси, k – коэффи- циент теплопередачи через стенку трубы, T – температура смеси в трубе, Tн

– наружная температура. Подставив интегралы (17.27) – (17.36) и соотноше-

ния (17.46), (17.47) в уравнения (17.24) – (17.26), учитывая выражения

(17.39) – (17.41), (17.45), после элементарных преобразований получаем

dGm

= Jm,

1 d

χλ m

= ρ mgz −

−

− ϕ ) ρ l

8S3

S2 dz ϕρ

ϕρ g

Gg +

Gl =

Jg +

+ gzGm − χ k(T − Tн) ,

где

Gm = Gg + Gl,

Jm = Jg +

			2
+			Gl	,
+	(1	−		,
	(1	−	ϕ ) ρ l		, (17.48)
					, (17.48)

		v2
	+	4		+
hl	+	2	Jl	+
		2

– суммарные массовые расход и приток,

hg = ug +	p	,	hl = ul +	p	(17.49)
				ρ l
	ρ g

– энтальпии газовой и жидкой фаз.

Наряду с истинным газосодержанием ϕ , равным в соответствии с фор-

мулой (17.42)

ϕ =	Sl	=	Sg	,	(17.50)

*Вид формулы (17.46) определяется тем, что такое соотношение обычно используется при эксперимен- тальном определении λ m .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ

343

в теории двухфазных течений по трубам используется расходное газосо- держание β , равное, по определению,

β =	Qg			,	(17.51)
		+
	Qg		Ql

где Qg, Ql – объемные расходы газовой и жидкой фаз. На основании фор-

мул (17.44) имеем

Qg =

= ϕ wgS,

(1 − ϕ )wlS.

(17.52)

ρ l

ρ g

Из формул (17.51) и (17.52) следует, что

1 − ϕ

1 −

Подставив в равенство (17.51) выражения (17.52), получаем

−

β = ρ g ρ g

ρ l .

Так как через боковую поверхность S3

поступает такой же состав

смеси, что течет по трубе, то из условия локального термодинамического равновесия г) следует, что

− 1

= β

ρ g ρ g

ρ l

ρ g ρ g

ρ l

(17.53)

Учитывая, что Gm =

Gg +

Gl,

Jg +

Jl , из формулы (17.53) по-

сле элементарных преобразований имеем

(

)

βρ

− β

ρ l

Gg =

g m

Gl =

βρ g + (1 − β

) ρ l

βρ g + (1 − β

) ρ l

βρ

(

− β

)

ρ l

(17.54)

Jg =

Jl =

βρ g + (1 − β

) ρ l

βρ g + (1 − β

) ρ l

а из формул (17.44) и (17.54) –

(1 −

β )Gm

wg =

β Gm

wl =

Sϕ [βρ

g +

(1 −

β ) ρ l]

S(1 −

ϕ )[βρ

g +

(1 −

β ) ρ l]

. (17.55)

Плотности газовой и жидкой фаз определяются с помощью уравнений

состояния

ρ g ( p,T),

ρ l(

p,T) .

ρ g

ρ l =

(17.56)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

344	ГЛАВА XVII
Истинное газосодержание ϕ	и коэффициент гидравлического

сопротивления λ m находятся из эмпирических соотношений. Примем, что

ϕ	= ϕ (β ,Rem,Frm,Wem,	ρ	,	µ	),	(17.57)
λ m =	λ m(ϕ ,Rem,Frm,Wem,	ρ	,	µ	,ε ),	(17.58)

где Rem,Frm,Wem – числа Рейнольдса, Фруда и Вебера смеси, вычисляе-

мые по формулам

Rem =		βρ	gwg + (1 − β ) ρ lwl
Rem =	D		βµ g + (1 − β ) µ l	,

Frm =	[ϕ wg + (1 −	ϕ )wl	] 2	,
Frm =	gD			,
	gD
Wem = 2D[ϕ wg +		(1 −	ϕ )wl		] 2	ρ l − ρ g	.
Wem = 2D[ϕ wg +		(1 −	ϕ )wl		] 2		.
						σ
Выше принятые обозначения: отношение плотностей фаз								ρ	= ρ g ρ l ,

µ g, µ l – динамические коэффициенты вязкости газовой и жидкой фаз, при-

веденная вязкость жидкой фазы	µ	= µ l µ в , µ в – вязкость воды, σ	– коэф-
фициент поверхностного натяжения, D – диаметр трубы, ε – относитель-
ная шероховатость стенок трубы.
Для определения притока Jm необходимо задать соотношение вида
Jm =		Jm ( p, pн) ,	(17.59)

где pн – наружное давление.

Система из 15 уравнений (17.45), (17.48), (17.54) – (17.59), в дальнейшем именуемая системой А, содержит 23 неизвестных: Gm, Gm , Gg , Gl , Jm , Jg ,

Jl, p,T, ρ m , ρ g , ρ l , wg , wl , v3, v4, λ m, β ,ϕ , hg, hl, µ g, µ l,σ .

Величины hg, hl, β , µ g, µ l,σ могут быть вычислены как функции р, Т

и состава двухфазной смеси с помощью соответствующих термодинамичес- ких расчетов. Квадраты скоростей v3 и v4 обычно много меньше соответ-

ствующих энтальпий и ими можно пренебречь. Поэтому система А являет- ся замкнутой и содержит 15 уравнений с 15 неизвестными.

С помощью соотношений (17.45), (17.54)–(17.59) 12 неизвестных Gg, Gl, Jm, Jg, Jl, ρ m, ρ g, ρ l, wg, wl, λ m,ϕ , входящих как явным, так и не- явным образом в уравнения (17.48), могут быть исключены из этих урав-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4630 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб106Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб22ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб27ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб46Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб23Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб30гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб36Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб10гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб20Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб18Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб8Глубину превращения при термическом крекинге.pdf