Физика_лек_pdf / Модуль 1. Физические основы механики

В результате получаем

5. Другой метод определения гравитационной постоянной был предложен немецким физиком-экспериментатором Филиппом Жолли (1809–1880) в 1878 г. На одном из плеч рычажных весов одна под другой подвешены две чашки (рис. 172), между которыми установлено неподвижно тяжелое свинцовое тело массой М правильной геометрической формы.

Рис. 172

В этом теле просверлен вертикальный канал, сквозь который свободно проходит проволока, соединяющая обе чашки. Если на верхнюю чашку положить тело массой т , то на него будет действовать вниз сила Q 1 = mg + F , где F — сила гравитационного

притяжения между массами М и т . Она равна , где r — расстояние между центрами рассматриваемых масс, а k — числовой коэффициент, зависящий от формы тела М . Для тел правильной геометрической формы его можно вычислить теоретически. Для шара k = 1. Если массу т перенести в нижнее положение, то сила F изменит направление. Сила, действующая вниз, станет Q 1 = mg – F . Значения Q 1 и Q 2 определяются по весу гирь, которые надо положить на чашку весов, подвешенную к другому плечу коромысла, чтобы весы находились в равновесии. Таким образом,

Из этого соотношения и можно вычислить G .

6. Измерения G современными методами привели к результату

G = (6,6725 ± 0,0005) · 10–8 дин · см2 · г–2 = (6,6726 ± 0,0005) · 10–11 Н · м2 · кг–2 .

Гравитационная постоянная, как мы видим, весьма мала. Поэтому и гравитационные взаимодействия между обычными телами, даже считающимися большими с общежитейской точки зрения, ничтожно малы. Нетрудно подсчитать, что два точечных тела с массами по одному килограмму, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, притягиваются с силой F = 6,67 · 10–11 Н = 6,67 · 10–6 дин. Гравитационные силы ничтожны, когда речь идет о взаимодействии элементарных частиц . Здесь эти силы, принимая во внимание современное состояние теории элементарных частиц, не учитываются. Но, возможно, их надо будет учитывать при переходе к взаимодействиям на расстояниях порядка 10–33 см . Они являются основными силами , управляющими движением и эволюцией небесных тел, массы которых очень велики. В этих случаях наиболее интенсивные — ядерные — силы совсем не проявляются, поскольку их радиус действия всего порядка 10–13 см. Электрические силы , как и силы всемирного тяготения, являются силами дальнодействующими . Они убывают также обратно пропорционально квадрату расстояния. Однако на движение астрономических тел электрические силы не оказывают влияния, так как они могут быть и силами притяжения, и силами отталкивания. Все тела в высокой степени электрически нейтральны , действие положительных зарядов тела компенсируется равным и противоположно направленным действием отрицательных зарядов. Иное дело — гравитационные силы. Они всегда являются силами притяжения . Гравитационные поля тел складываются, а не вычитаются. Это обстоятельство и является причиной того, почему из всех фундаментальных сил гравитационные силы остаются единственными силами , управляющими движением массивных астрономических тел.

7. Ньютон ограничился констатацией наличия гравитационных сил и их количественным описанием. Но он воздержался от каких бы то ни было высказываний относительно их физической природы, справедливо считая, что по этому вопросу в его время, кроме фантастических измышлений, ничего сказать было нельзя. После Ньютона было немало попыток дать наглядное физическое объяснение гравитационного притяжения. Никакого научного и даже исторического интереса эти попытки в настоящее время не имеют. Теория тяготения получила дальнейшее развитие в общей теории относительности Эйнштейна. Но в ней речь идет не о наглядном физическом объяснении тяготения, а о новом способе описания его и об обобщении ньютоновского закона тяготения .

Отказ Ньютона от объяснения тяготения, от сведения его к другим физическим явлениям был воспринят его приверженцами как общефизическая концепция

непосредственного действия на расстоянии . Эта концепция не только считает тяготение неотъемлемым свойством материи, но идет значительно дальше. Она считает, что каждому телу присуща способность непосредственно воздействовать на другие тела, находящиеся в других местах пространства, причем это воздействие осуществляется без какого бы то ни было участия промежуточной среды или других физических агентов.

Непосредственное действие на расстоянии отвергается современной наукой.

Современная физика считает, что все взаимодействия осуществляются полями . Однако она не пытается представить механизм действия поля как-то наглядно. Она наделяет поле лишь способностью к объективному существованию и к передаче взаимодействий. Тело А не непосредственно действует на тело В . Оно создает вокруг себя гравитационное поле. Это поле и воздействует на другое тело В и проявляется в виде силы, действующей на него.

Ускорение планет и комет при движении по коническим сечениям

1.Замена эллиптических орбит круговыми была произведена в предыдущем параграфе исключительно в целях упрощения вычислений. Рассмотрим теперь задачу более строго, не прибегая к такому упрощению. Наши вычисления будут справедливы не только для планет , но и для комет . Последние, как показывают наблюдения, двигаются по гиперболам и параболам с фокусом в точке нахождения Солнца, причем это движение подчиняется второму закону Кеплера. Третий закон Кеплера для гиперболических и параболических движений, конечно, теряет смысл. Однако для вычисления ускорения планеты или кометы он не нужен. Действительно, при заданной траектории второй закон Кеплера определяет скорость планеты или кометы на этой траектории. Этого достаточно, чтобы полностью описать движение тела, т. е. указать его положение и скорость в любой момент времени. Зная это, можно вычислить ускорение тела в любой точке траектории. Приведем это элементарное вычисление.

2.Введем полярную систему координат с полюсом в фокусе F 1 , где находится Солнце, и полярной осью РА , направленной вдоль большой оси эллипса или гиперболы

(рис. 176). Ускорение движущегося тела разложим на радиальную составляющую а r , направленную вдоль радиуса r , и азимутальную составляющую а θ , перпендикулярную к радиусу. Они определяются выражениями

Рис. 176

Величина

есть секториальная скорость, т. е. площадь, описываемая радиусом-вектором планеты или кометы в единицу времени. По второму закону Кеплера она постоянна, а потому

. Значит, ускорение рассматриваемого небесного тела не имеет азимутальной составляющей, т. е. направлено к Солнцу.

воспользуемся уравнением конического сечения в полярной системе координат

r (1 – e cos θ ) = p , (56.3)

где р и е — постоянные величины, из которых первая называется параметром эллипса , а вторая — его эксцентриситетом . Не нарушая общности, обе эти величины можно считать неотрицательными. Для эллипса е < 1, для параболы е = 1, для гиперболы е > 1. В предельных случаях, когда е = 0 и е = ∞, получаются круг и прямая линия. Дифференцируя уравнение (56.3) по времени, получим

или после умножения на r с учетом соотношений (56.2) и (56.3)

Вторичное дифференцирование дает

Подставляя сюда , получим

После этого из первой формулы (56.1) находим

Таким образом, из первых двух законов Кеплера вытекает, что ускорение планеты или кометы обратно пропорционально квадрату ее расстояния от Солнца .

3. Третий закон Кеплера позволяет доказать, что коэффициент пропорциональности 4ζ2 /р — один и тот же для всех планет. Докажем это. Площадь эллипса равна πа b , где а и b — длины большой и малой полуосей его. Так как секториальная скорость ζ постоянна, то ζ = πа b /Т , где Т — период обращения планеты по ее орбите. Воспользуемся еще формулой аналитической геометрии р = b 2 /а . Тогда из (56.4) получим

(При равномерном вращении по окружности эта формула переходит в известную формулу

.) Вводя постоянную Кеплера (55.1), получим

это выражение можно записать в виде . Эта формула в точности совпадает с формулой, которой выражается потенциальная энергия действительной точки, движущейся по правой ветви гиперболы. Поэтому если энергия и момент импульса вспомогательной точки относительно фокуса F 1 равны соответствующим величинам для действительной точки, то движения обеих точек будут описываться одними и теми же уравнениями . В математических расчетах имеет значение не то, что движется, а то, какими уравнениями движение описывается. Формально математически дело происходит так, как если бы имелась всего одна материальная точка, обладающая способностью «перескакивать» с одной ветви гиперболы на другую. Гравитационных сил отталкивания не существует. Но умозрительно их вводить можно. Кроме того, силы отталкивания возникают при электрических взаимодействиях одноименно заряженных частиц. Они, как и силы тяготения, убывают обратно пропорционально квадрату расстояния. Поэтому движение под действием сил отталкивания представляет не только умозрительный, но и физический интерес.

Условия эллиптического, параболического и гиперболического движений

1. Когда траектория эллиптическая, движение планеты финитно , т. е. планета движется в ограниченной области пространства, не уходя в бесконечность. Напротив, в

случае гиперболических и параболических траекторий движение инфинитно — движение планеты не стеснено определенной областью пространства, она может удаляться в бесконечность. Таким образом, задача сводится, к нахождению условий финитности и инфинитности движения планеты.

Если Е — полная энергия планеты, то

Кинетическую энергию Солнца мы не учитываем, считая, что она пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией планеты. Это справедливо ввиду малости массы планеты по сравнению с массой Солнца. Аналогично если L — момент импульса планеты относительно Солнца, то

Исключим из этих уравнений угловую скорость . С этой целью разложим полную скорость v на радиальную составляющую v r и азимутальную составляющую . Тогда

и уравнение (5 7.1) примет вид

Так как величина 1 /2 m v r 2 не может быть отрицательной, то из уравнения (57.3) следует, что область, в которой может находиться планета, определяется условием V (r ) ≤ E . Проведем горизонтальную прямую V = Е = const . Участки кривой V (r ), лежащие выше этой прямой, соответствуют точкам пространства, которые не могут быть достигнуты планетой с энергией Е . Если Е < 0, то указанная прямая пересечет кривую V = V (r ) в двух точках А и В . Пусть А ' и В ' — их проекции на горизонтальную ось. Планета может совершать движение только в области между А ' и В ', она будет «локализована в потенциальной яме» V = V (r ). В этом случае движение планеты финитно, и траектория будет эллиптической . Если Е > 0, то прямая пересечет кривую V (r ) только в одной точке С , проекцией которой на горизонтальную ось является точка С '. Если планета двигалась справа налево, то в точке С ' она переменит направление движения на противоположное и начнет двигаться вправо, монотонно удаляясь в бесконечность. Ее движение инфинитно, а траектория — гиперболическая . Наконец, при Е = 0 движение также инфинитно. Этому промежуточному случаю между эллиптическим и гиперболическим движениями соответствует движение по параболе .

Таким образом, при Е > 0 движение гиперболическое, при Е < 0 — эллиптическое, при Е = 0 — параболическое . В случае сил отталкивания энергия Е всегда положительна, а потому движение в этом случае всегда гиперболическое (в частности, прямолинейно) .

Так как при r → ∞ функция V (r ) обращается в нуль, то

Отсюда следует, что при гиперболическом движении материальная точка приходит в бесконечность с конечной скоростью v ∞ , при параболическом движении — с нулевой скоростью . Начальная скорость v п , которую надо сообщить материальной точке, чтобы она стала двигаться по параболе, называется параболической скоростью . Параболическую скорость можно определить из уравнения (57.1), подставив в него Е = 0. Если r 0 — начальное значение радиуса r , то

откуда

Параболическая скорость связана простым соотношением с «круговой » скоростью v к . Так называется скорость, которой должна обладать планета, чтобы под действием гравитационной силы Солнца двигаться вокруг него по кругу радиуса r 0 . Она найдется,

Таким образом,

Вычисление параметров орбиты

1. Длины большой и малой осей эллиптической орбиты планеты можно рассчитать с помощью законов сохранения энергии и момента импульса. В перигелии Р и в афелии А (рис. 179) радиальная скорость планеты равна нулю. Поэтому, полагая в уравнении (5 7.3) v r = 0 , получим для этих точек

При Е < 0 это квадратное уравнение имеет два вещественных положительных корня r 1 и r 2 . Один из корней соответствует перигелию Р , другой — афелию А . Сумма корней r 1 + r 2 дает длину большой оси эллипса. Пользуясь для этой длины стандартным обозначением 2а , получим

где ε = Elm — полная энергия, приходящаяся на единицу массы планеты. Так как для движения по эллипсу r < 0, то выражение (58.2) существенно положительно, как это и должно быть.

Рис. 179

Круговые траектории являются вырожденными случаями эллиптических. Условие движения по круговой орбите найдется из уравнения (58.2), если в нем положить r 1 = r 2 = r . Тогда получится 2Е = –GMm /r или 2Е = U . Записав это в виде Е = U – Е и воспользовавшись соотношением Е = К + U , получим

Е = –К . (58.3)

Таким образом, при круговом движении сумма полной и кинетической энергий равна нулю . Нетрудно показать, что это условие снова приводит к формуле (57.6).

Для эллиптического движения формула (58.3) также справедлива, но под К следует понимать среднее по времени значение кинетической энергии планеты. Действительно, эллиптическое движение финитно, и к нему можно применить теорему вириала . Применительно к движению планеты эта теорема дает

Вычитая из обеих частей и учитывая, что , получим

Это и доказывает наше утверждение.

2. Найдем теперь длину малой полуоси эллипса b . Для этого помимо энергии надо

знать еще момент импульса планеты или ее секториальную скорость . Большую ось эллипса можно считать известной, поскольку она однозначно определяется энергией планеты. Пусть В — одна из точек, в которых малая ось пересекается с эллипсом (рис. 179). Так как сумма расстояний любой точки эллипса от его фокусов F 1 и F 2 постоянна и равна 2а , то F 1 B = а . Секториальная скорость в точке В равна

так как b есть длина перпендикуляра F 1 H , опущенного из фокуса F l на направление скорости в этой точке. Скорость v в точке В определится из уравнения энергии. Полагаем в нем r = а и находим

Подставив сюда выражение для ε из (58.2), определим v . После этого найдем

3. Распространим теперь полученные результаты на случай гиперболического движения . Для этого воспользуемся искусственным приемом, указанным в п. 4 параграфа «Ускорение планет и комет при движении по коническим сечениям». По правой ветви гиперболы (см. рис. 177) движется комета, по левой — соответствующая ей вспомогательная материальная точка.

Эти движения описываются одним и тем же уравнением (57.3). В вершинах гиперболы Р и А радиальная скорость v r равна нулю, и мы снова приходим к квадратному уравнению (58.1). Однако теперь энергия Е положительна, так что знаки корней этого уравнения противоположны. Положительный корень r 1 соответствует вершине Р , отрицательный r 2 — вершине А . Сумма обоих корней r 1 + r 2 отрицательна. По