Физика_лек_pdf / Модуль 1. Физические основы механики

абсолютной величина эта сумма равна расстоянию между вершинами Р и А . Используя для этого расстояния стандартное обозначение АР = 2а , получим

Эта формула в точности совпала бы с формулой (58.2), если бы условиться считать расстояние между вершинами гиперболы величиной отрицательной.

4. Найдем теперь аналог формулы (58.4) для гиперболического движения. Расстояние между фокусами F 1 и F 2 принято обозначать через 2с , а под b понимать

квадратный корень . Проведем через фокус F прямую, параллельную одной из асимптот гиперболы (рис. 180). Из фокуса F 1 на прямую F 2 M опустим перпендикуляр F 1 M . Длину отрезка F 2 M можно рассматривать как разность расстояний от фокусов F 1

иF 2 до бесконечно удаленной точки, в которой пересекаются параллельные прямые F 2 M

иО B . Поэтому в силу известного свойства гиперболы F 2 M = 2а . На основании теоремы Пифагора делаем вывод, что расстояние F 1 M равно 2b . Секториальную скорость, как величину постоянную, достаточно вычислить для точки, движущейся в бесконечность.

Радиус-вектор такой точки в единицу времени описывает треугольник с основанием v ∞ и высотой F 1 B = b . Его площадь

идает секториальную скорость. При этом величина v ∞ определяется формулой (57.4), которую можно записать также в виде

Рис. 180

Угол между асимптотами гиперболы можно вычислить по формуле

5. Параметр р для эллипса и гиперболы определяется выражением р = b 2 /а . Подставляя сюда соответствующие значения для b и а , в обоих случаях найдем

Той же формулой определяется параметр р и для параболы, поскольку парабола является предельной кривой, в которую переходят эллипс и гипербола. Для параболы параметр р является единственной величиной, определяющей ее форму.

6. Вид траектории планеты, конечно, определяется начальными условиями, т. е. положением и скоростью планеты в некоторый момент времени, который условно можно принять за начальный. Иллюстрируем это следующим примером. Пусть S — Солнце, а А

— начальное положение планеты (рис. 181). Расстояние AS обозначим через r 0 . Будем сообщать планете в точке А скорость v 0 в направлении, перпендикулярном к AS .

Рис. 181

Посмотрим, как будет меняться вид траектории при изменении величины v 0 . Если полная энергия планеты отрицательна, т. е. v 0 меньше параболической скорости v п , то траекторией планеты будет эллипс. При v 0 = 0 эллипс вырождается в прямую, проходящую через Солнце S . Если v 0 = v к , то планета будет двигаться по кругу. В этом случае точки A и С равноудалены от Солнца. Расстояние между ними (большая ось) равно 2r 0 . При уменьшении энергии большая ось эллипса уменьшается. При v 0 < v к она становится меньше 2r 0 . В этом случае точка А удалена от Солнца S дальше (афелий), чем точка В (перигелий). При v 0 > v к наоборот, большая ось эллипса больше 2r 0 , т. е.

перигелием будет точка А , а афелием — точка D (или E ). При траекторией будет парабола. При v > v п она переходит в гиперболу. Все эти результаты представлены в табл. 2:

Таблица 2

Учет движения Солнца

1. При рассмотрении планетных движений мы не учитывали движение Солнца, считая его массу бесконечно большой по сравнению с массой планеты. Для ускорения планеты мы писали

где — ньютонова сила гравитационного притяжения, действующая на планету со стороны Солнца. Символом а абс обозначено ускорение планеты относительно какой-то инерциальной системы отсчета, например системы Коперника. Учтем теперь движение Солнца. Чтобы получить уравнение движения планеты относительно Солнца,

надо массу планеты m заменить на приведенную массу . В результате уравнение относительного движения примет вид

Подставив выражение для μ, получим

Формально дело происходит так, как если бы Солнце оставалось неподвижно, но гравитационная постоянная увеличилась в (1 + т /М ) раз. Поэтому для относительного движения первый и второй законы Кеплера остаются справедливыми . Зато третий закон должен быть уточнен. Для этого достаточно в формуле (55.5) постоянную G заменить на G (l + т /М ). Это приводит к соотношению

Оно показывает, что отношение является универсальной постоянной, т.

е. не зависит ни от масс взаимодействующих тел, ни от расстояния между ними . Таким

образом, третий закон Кеплера для относительного движения не вполне точен . То обстоятельство, что для планет Солнечной системы он выполняется с большой точностью, связано с тем, что масса планеты очень мала по сравнению с массой Солнца.

Отметим еще соотношение

которое непосредственно следует из сравнения формул (59.1) и (59.2).

2. На формулах (55.5) и (59.3) основано определение масс планет, имеющих спутников, а также суммы масс двойных звезд. Если масса спутника пренебрежимо мала по сравнению с массой планеты, то для движения спутника справедлив третий закон Кеплера в форме (55.5). Постоянную Кеплера К можно вычислить, измерив размеры орбиты и время обращения спутника. Зная гравитационную постоянную G , по формуле (55.5) можно вычислить массу планеты М в абсолютных единицах. В астрономии, однако, предпочитают за единицу массы принимать массу Земли. Для определения масс планет в таких единицах не требуется знать числовое значение гравитационной постоянной, известное не очень точно.

Вкачестве примера найдем отношение массы Солнца М C к массе Земли т З . Массу Земли будем считать пренебрежимо малой по сравнению с массой Солнца. Точно так же

пренебрежем массой Луны по сравнению с массой Земли. Для земной орбиты имеем а З =

1,496 · 108 км, Т З = 365,26 суток, для лунной а Л = 3,844 · 105 км, Т Л = 27,32 суток. По формуле (55.5) получаем

Вдействительности, как видно из формулы (59.3), таким путем находится

отношение . Метод дает отношение масс центральных тел, вокруг которых вращаются спутники, только тогда, когда масса каждого спутника пренебрежимо мала по сравнению с массой соответствующего центрального тела. Это условие идеально соблюдается для искусственных спутников. Например, можно найти отношение масс Луны и Земли, если измерить параметры орбит искусственных спутников, обращающихся вокруг них.

Труднее определить массу планеты, если у нее нет спутников. В этом случае применяются два способа. Во-первых, массу планеты можно вычислить по вызываемому ею возмущению в движении других небесных тел. Примером может служить Меркурий, масса которого была определена по возмущениям орбиты кометы Энке. Во-вторых, массу планеты можно оценить по ее блеску, если сделать правдоподобные предположения относительно ее плотности и альбедо, т. е. величины, характеризующей способность поверхности тела отражать (рассеивать) падающее на нее излучение. Таким путем впервые была оценена масса Плутона. Труднее определять массы звезд. В случае двойной звезды это делается аналогично тому, как и для планеты со спутником, — по периоду обращения компонентов звезды вокруг их центра масс и по расстоянию между ними. Но этот метод определяет не массу каждого компонента звезды, а только сумму этих масс.

Применение Закона всемирного тяготения к проблеме земной тяжести

По мысли Ньютона, вес тел на Земле является проявлением силы гравитационного притяжения между рассматриваемым телом и Землей . Для проверки этой идеи Ньютон сравнил ускорение свободного падения тел у поверхности Земли с ускорением Луны на орбите, по которой она движется относительно Земли.

Допустим, что вещество внутри земного шара распределено сферически симметрично, т. е. его плотность зависит только от расстояния до центра Земли. В этом случае, как было показано в пункте «Законы Кеплера и Закон всемирного тяготения», Земля создает во внешнем пространстве такое же гравитационное поле, что и материальная точка той же массы, помещенная в центре Земли. Если верна гипотеза Ньютона, то ускорение свободного падения g абс на расстоянии r от центра Земли должно определяться формулой

где М — масса Земли. Той же формулой должно определяться ускорение Луны а Л на ее орбите:

где R — радиус лунной орбиты. Таким образом,

Если а Л известно, то с помощью этой формулы можно вычислить ускорение свободного падения g абс на поверхности Земли. Это и было сделано Ньютоном.

Ускорение Луны а Л можно вычислить, зная R и период обращения Луны по ее орбите Т (относительно звезд). Эти величины равны соответственно R = 3,844 · 105 км, Т = 27,32 суток. Используя их, находим

Средний радиус земного шара r , определяемый из условия, чтобы величина 4/πr 3 равнялась объему Земли, равен r = 6371 км. Подставляя эти данные в формулу (60.3), получим g абс = 991,4 см/с2 . Эта величина близка к экспериментальным значениям: на полюсе g абс = 983,2 см/с2 , на экваторе g абс = 981,4 см/с2 . Близкое совпадение может рассматриваться как подтверждение гипотезы Ньютона. Небольшое расхождение обусловлено, главным образом, тем, что мы не учли движение самой Земли. Формула (60.4) дает ускорение Луны относительно Земли (а Л )отн , тогда как в формулу (60.3) должно входить ускорение Луны относительно инерциальной системы отсчета (а Л )абс . Согласно формуле (5 9.4) эти ускорения связаны между собой соотношением

где т — масса Луны. Следовательно, вычисленное выше значение g абс надо уменьшить в (1 + т /М ) раз. Отношение массы Луны к массе Земли составляет т /М = 1/81. Введя эту поправку, получим g абс = 979,3 см/с2 , что значительно лучше согласуется с опытом. Оставшееся небольшое расхождение можно объяснить отступлениями формы Земли от шаровой.

Заметим, что с помощью формулы (60.1) можно вычислить массу Земли. Для этого надо знать числовое значение гравитационной постоянной G .

Космические скорости

1. Теория финитных и инфинитных движений планет, изложенная в подтеме «Условия эллиптического, параболического и гиперболического движений», полностью применима к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей (разумеется, с выключенными двигателями). Сопротивление воздуха мы не будем учитывать, предполагая, что движение происходит в достаточно разреженной атмосфере. Кроме того, при движении вблизи Земли мы будем пренебрегать силами гравитационного притяжения Солнца, Луны и планет. Массу Земли будем обозначать буквой М , массу искусственного спутника — буквой т .

Полная энергия спутника или космического корабля в поле земного тяготения равна

или в силу соотношения (60.1)

(В дальнейшем будем писать просто g вместо g a б c .) Если энергия Е отрицательна, то движение финитно и будет происходить по эллиптической траектории. При круговом движении

Если r — радиус земного шара, то получаемая по этой формуле величина называется

первой космической скоростью . Она приблизительно равна 8 км/с.

Минимальное значение Е , при котором движение становится инфинитным, равно нулю. В этом случае получается движение по параболе со скоростью

называемой параболической или второй космической скоростью . Это есть минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно никогда не вернулось на Землю

(при условии, что тело не подвергается гравитационному действию со стороны других небесных тел).

Если, наконец, полная энергия Е положительна, т. е. начальная скорость тела превосходит вторую космическую скорость, то его движение станет гиперболическим.

2. Совершенно аналогичные вычисления можно провести и для движений в гравитационном поле Солнца. Среднее расстояние до Солнца составляет 150 000 000 км. Скорость Земли при круговом движении на таком расстоянии 29,8 км/с. Для того чтобы при запуске с такого расстояния тело навсегда покинуло пределы Солнечной системы,

надо сообщить ему скорость относительно Солнца не меньше . Находясь на Земле, тело движется вместе с ней вокруг Солнца со скоростью 29,8 км/с. Если бы тело не подвергалось действию земного притяжения, то ему достаточно было бы сообщить относительно Земли дополнительную скорость 42,1 – 29,8 = 12,3 км/с в направлении ее движения, чтобы относительно Солнца оно стало двигаться с параболической скоростью и навсегда покинуло пределы Солнечной системы. В действительности же для этого требуется большая скорость, так как тело дополнительно должно преодолеть действие земного притяжения. Скорость относительно Земли, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью . Значение третьей космической скорости зависит от того, в каком направлении корабль выходит из зоны действия земного тяготения. Она минимальна, если это направление совпадает с направлением орбитального движения Земли вокруг Солнца, и максимальна, когда эти направления противоположны.

Точное вычисление третьей космической скорости довольно кропотливо, так как при этом надо учесть гравитационное взаимодействие трех тел: Солнца, Земли и космического корабля. Однако такое вычисление не представляет большого труда, если пренебречь влиянием поля тяготения

Солнца на движение космического корабля в течение всего времени, которое он затрачивает для выхода из зоны действия земного тяготения . Будем обозначать малыми буквами (v , v K , v П ) скорости корабля относительно Земли. Все скорости относительно Солнца будем обозначать большими буквами (V , V K , V П ). Пока корабль движется в поле земного тяготения, его движение удобнее относить к системе отсчета, в которой Земля неподвижна. Считая массу Земли М бесконечно большой по сравнению с массой корабля т , запишем уравнение энергии в виде

где v ∞ — скорость корабля в тот момент, когда он практически выходит из зоны действия земного тяготения. Вводя круговую скорость v K 2 = GM /r , получаем v ∞ 2 = v 2 — 2 v K 2 . После того как корабль выйдет из зоны действия земного тяготения, будем относить его движение к системе отсчета, в которой неподвижно Солнце. В момент выхода из зоны тяготения скорость корабля V в этой системе равна векторной сумме скорости v ∞ и скорости кругового движения Земли V K . Если корабль выходит из зоны земного тяготения под углом , то такой же угол будет между скоростями v ∞ и V . Значит,

V 2 = V K 2 + v ∞ 2 + 2V K v ∞ cos .

Третья космическая скорость v 3 найдется из условия . Подставляя это значение для V в предыдущее соотношение, получим квадратное уравнение для v ∞ , из которого найдем

Положительный знак перед квадратным корнем выбран потому, что величина v ∞ по своему смыслу существенно положительна. После этого получим

Минимальное значение третьей космической скорости получится при = 0 (запуск в направлении орбитального движения Земли), а максимальное — при = π (запуск в направлении против орбитального движения Земли). Для этих значений формула (61.4) дает

Вычислим теперь приближенно четвертую космическую скорость v 4 . Так называется минимальная скорость, которую надо сообщить ракете, чтобы она могла упасть в заданную точку Солнца. Такая скорость зависит от положения этой точки на поверхности Солнца. На старте ракета движется вокруг Солнца вместе с Землей со скоростью V K . Чтобы ракета упала на Солнце, ее движение надо затормозить. Как и ранее находим, что при выходе из зоны земного притяжения скорость ракеты будет V = V K + v ∞ (относительно Солнца). Наименьшая энергия, которую нужно затратить для замедления, получится тогда, когда скорости V K и v ∞ направлены противоположно. В этом случае V = V K – v ∞ (все скорости положительны), а энергия, приходящаяся на единицу массы ракеты, равна

где R = СА — расстояние ракеты до центра Солнца при ее максимальном удалении (рис. 181а). Если ε < 0, то траекторией ракеты будет эллипс с большой осью

Рис. 181а

Один из фокусов эллипса находится в центре Солнца. Обозначим через х = СР расстояние от центра Солнца до ближайшей вершины этого эллипса. Расстояние х однозначно определяет форму эллипса, а с ней и линию на поверхности Солнца, на которой будет лежать точка падения. Большая ось эллипса 2а = R + х . Подставив это значение в предыдущее уравнение, придем к квадратному уравнению для v ∞ . Меньший корень этого уравнения равен

Четвертая космическая скорость v 4 ракеты определится из соотношения

или

Она зависит от параметра х, определяющего место падения. При х = 0 (прямолинейное движение по направлению к центру Солнца) скорость v 4 максимальна и равна

Ракета упадет в передней точке Солнца. При х = r (r — радиус Солнца) ракета упадет в задней точке Солнца, двигаясь по касательной к его поверхности. В этом случае скорость минимальна и равна

где α = 4,65 · 10–3 рад — средний угловой радиус Солнца.

Вывод законов движения планет из Закона всемирного тяготения Ньютона