Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3. Уравнения и неравенства с модулем

.doc
Скачиваний:
45
Добавлен:
11.12.2020
Размер:
354.3 Кб
Скачать

§3. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ НЕИЗВЕСТНУЮ ПОД ЗНАКОМ АБСОЛЮТНОЙ

ВЕЛИЧИНЫ (МОДУЛЯ)

Абсолютная величина (модуль) действительного числа определяется следующим образом: Основные свойства абсолютной величины действительных чисел:

а) ; б) ; в) (модуль произведения);

г) , (модуль дроби);

д) (неравенство треугольника или модуль

суммы). Здесь неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда слагаемые имеют одинаковый знак.

1) Уравнение вида (1) можно заменить совокупностью систем двумя способами. П е р в ы й с п о с о б. Уравнение (1) равносильно совокуп- ности систем: В т о р о й с п о с о б. Уравнение (1) равносильно совокуп- ности систем:

22

Если в уравнении (1) функция имеет более простой вид, чем , то применяют первый способ, а если наоборот, то – второй способ. В частности, уравнение вида , при решений не имеет; при равносильно уравне- нию ; при равносильно совокупности уравнений 2) 3) Уравнение вида , где – некоторые функции, реша- ется методом интервалов. Для этого находят сначала все точки, в которых хотя бы одна из функций меняет знак. Эти точки делят область допустимых значений на промежутки, на каждом из ко- торых все функции сохраняют знак. За- тем, используя определение модуля, раскрывают все модули на каждом из найденных промежутков и решают получен- ные уравнения. Объединение найденных решений составля- ет множество решений заданного уравнения. Пример 1. Найти сумму корней уравнения . Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

а) т.е.

23

(2)

б) т.е.

(3)

Уравнение имеет корни и , из которых только является решением системы (2). Уравнение имеет корни и , из которых решением системы (3) является только .

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: и . . Ответ: . Пример 2. Найти наибольшее целое решение уравнения . (4)

Решение. Функция меняет знак в точке , а функция – в точке . Этими точками ОДЗ уравнения (4) (интервал ) разбивается на три промежутка: . В первом промежутке ; во втором про- межутке ; в третьем промежутке . Следовательно, уравнение (4) равносиль- но совокупности трех систем: т.е. совокупности систем

24 Решением первой системы являются все числа из промежутка . Вторая и третья системы решений не имеют. Итак, множеством всех решений исходного уравнения яв- ляется промежуток . Наибольшее целое решение: . Ответ: 1. При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули. Пример 3. Найти сумму корней уравнения

. Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: и т.е. (5) Решением первой системы совокупности (5) является число . Вторая система совокупности (5) равносильна совокупнос- ти двух следующих систем: т.е.

25 (6) Решением первой системы совокупности (6) является число , а вторая система решений не имеет. Итак, исходное уравнение имеет два корня: . Их сумма равна .

Ответ: .

4) Основной метод при решении неравенств, содержащих знак модуля, заключается в следующем. ОДЗ неравенства разбивают на части, на каждой из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждой такой части решают неравенство и полученные решения объединяют в множество решений исходного неравенства. Пример 4. Найти число целых решений неравенства: . (7) Решение. ОДЗ неравенства (7): .

Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем: 1)

. 2) . Множеством решений неравенства (7) является объединение множеств и , т.е. отрезок

26

. Этот отрезок содержит 13 целых чисел: .

Ответ: .

5) Неравенство вида , где и – неко- торые функции, можно решать основным методом или сведением к равносильному ему двойному неравенству: . 6) Неравенство вида можно решать основным методом или заменой на равносильную ему совокупность двух неравенств: 7) Неравенства вида , (8) и решаются методом интервалов по той же схеме, что и аналогичные уравнения. Некоторые неравенства вида (8) целесообразно решать, перейдя к равносильному неравенству . Пример 5. Найти длину интервала решений неравенства: . Решение. Данное неравенство равносильно двойному не- равенству , т.е. системе

Неравенство выполняется при , а неравенство выполняется при любом ( т.к.

27

коэффициент при больше нуля и ). Таким образом, множество решений исходного неравен- ства есть интервал . Длина этого интервала: . Ответ: 3. Пример 6. Найти сумму целых решений неравенства , (9) принадлежащих отрезку .

Решение. Неравенство (9) равносильно совокупности двух неравенств: Отсюда получаем множество решений неравенства (9): . Из отрезка это множество содержит следующие целые числа: –15 ; –14 ; . . . ; – 4 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . . ; 15. Сумма этих чисел равна 6.

Ответ: 6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Найти наибольшее решение уравнения: . (Ответ: ) 2. Найти сумму корней уравнения: а) ; (Ответ: )

б) ; (Ответ: )

в) . (Ответ: )

28

3. Найти сумму корней уравнения: а) ; (Ответ: ) б) ; (Ответ: – 4) в) . (Ответ: )

4. Решить уравнение: а) ; (Ответ: 2,75 ; 3,5) б) ; (Ответ: ) в) ; (Ответ: ) г) ; (Ответ: ) д) . (Ответ: )

5. Найти наименьшее целое решение неравенства: а) ; (Ответ: – 3) б) ; (Ответ: 4) в) . (Ответ: 4)

6. Найти сумму целых решений неравенства: а) ; ( Ответ: ) б) ; (Ответ: ) в) ; (Ответ: ) г) ; (Ответ: ) д) ; (Ответ: )

29

е) . ( Ответ: )

7. Решить неравенство: а) ; (Ответ: )

б) ; (Ответ: )

в) ; (Ответ: )

г) ; (Ответ: )

д) . (Ответ: )

8. Найти сумму целых значений , удовлетворяющих системе неравенств: а) ( Ответ: ) б) (Ответ: )

30