Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

7. Тригонометрия

.doc
Скачиваний:
22
Добавлен:
11.12.2020
Размер:
596.99 Кб
Скачать

§7. ТРИГОНОМЕТРИЯ Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента . , , , , .

Формулы приведения

Формулы приведения применяются по следующей схеме: 1) если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида то наименование тригоно-метрической функции следует сохранить; 2) если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида то наименование тригоно-метрической функции следует изменить: , ; 3) перед полученной функцией от аргумента надо поставить тот знак, которая имела бы преобразуемая функция при условии, что .

Функции суммы и разности двух углов , ;

.

Функции двойного аргумента , ,

57

, .

Формулы понижения степени ,

.

Функции половинного аргумента ,

.

Формулы преобразования суммы функций в произведение: , , , .

Формулы преобразования произведения в сумму , , .

58

Формула дополнительного аргумента , где .

Периодичность; четность и нечетность , , (нечетная); , , (четная ; , , (нечетная); , , (нечетная).

Обратные тригонометрические функции , где , если и : , где , если и ; , где , если и ; , где , если и . Имеют место следующие соотношения между обрат-ными тригонометрическими функциями, справедливые в области определения соответствующих функций: ; ; ; ; ;

59

; ; ; ; ; . Решение простейших тригонометрических уравнений: –– ; –– ; –– ; –– .

Пример 1. Вычислить .

Решение. Так как то .

Ответ: 0. Пример 2. Вычислить .

Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргу-мента и формулой приведения :

60

.

Ответ: 0,125 Пример 3. Вычислить . Решение. Воспользуемся периодичностью функции и формулой : . Поэтому . Ответ: – 0,1.

Пример 4. Вычислить . Решение. Применяя формулу приведения, получим . Ответ: –0,75.

Пример 5. Вычислить . Решение. Учитывая, что и

61

, получим . Применим формулу тангенса суммы: . Следовательно, .

Ответ: 0,5.

Пример 6. Вычислить , если .

Решение. Так как и , то .

Ответ: 0,3.

Пример 7. Вычислить при . Решение.

62

. Ответ: – 0,5. Пример 8. Найти в градусах корень уравнения , если Решение. Так как , то исходное урав-нение можно записать в виде , или .

Обозначив , получим: . Корни это-го уравнения: . Вернемся к переменной х:

1) . Это уравнение решений не имеет.

2) . Корень этого уравнения, лежащий в интервале , равен Ответ : . Пример 9. Найти сумму корней уравнения , если . Решение. Так как ,

то исходное уравнение равносильно уравнению

а) ; , т.е.

,

63

При получаем решение из заданного интерва-ла . При остальных значениях соответствующие значения не принадлежат промежутку .

б) ; ; ,

В интервале лежит только одно решение заданного уравнения. .

Ответ : .

Пример 10. Сколько корней имеет уравнение в промежутке ? Решение. Умножим обе части уравнения на : . Отсюда ; , . ; . При других значениях соответствующие значения не принадле- жат заданному отрезку.

Ответ: 2. Пример 11. Сколько корней имеет уравнение в промежутке ? Решение. Так как , то данное уравнение можно записать в виде . (1)

64

Решим уравнение . Обозначив , получим . Корни этого уравне-ния: . Вернемся к переменной . а) . Это уравнение решений не имеет. б) . . Рассмотрим эти две серии значений отдельно. 1) (3) . Так как и , то – решение системы (2). . Это значение не является ре- шением системы (2), так как .

65

При остальных значениях соответствующие значения из (3) не принадлежат заданному интервалу. 2) . (4) . Так как и , то – решение системы (2). . Это значение не является решением системы (2), так как . При остальных значениях соответствующие значения из (4) не принадлежат заданному интервалу. Итак, исходное уравнение в интервале имеет два решения: .

Ответ: . Пример 12. Решить неравенство

Решение. Перепишем исходное неравенство в следующем виде: . (5) Так как при всех , то неравенство (5) равно-сильно неравенству , т.е.

. Прямая пересекает числовую окружность в точках

66

и . Неравенству соответствуют точки открытой дуги . Дуга – это дуга с началом в точке и кон-цом в точке при движении по окружности против часовой стрелки.

Точка соответствует числу , а точка – числу . Итак, решения неравенства , принадлежащие

промежутку длиной , таковы: .

Вследствие периодичности косинуса остальные решения получаются прибавлением к найденным чисел , где .

Приходим к ответу: , .

Ответ: , .

67

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Упростить выражение:

а) ; (Ответ: 2)

б) ; (Ответ: 0,75)

в) ; (Ответ: 1)

г) . (Ответ: 1)

2. Вычислить:

а) ; (Ответ: 3)

б) ; (Ответ: 1)

в) ; (Ответ: – 2)

г) ; (Ответ: 4)

д) ; (Ответ: 4,5)

е) ; (Ответ: – 0,2)

ж) . (Ответ: 0,48)

68

3. Найти значение выражения:

а) , если ; (Ответ: 7)

б) , если ; (Ответ: )

в) , если и .

(Ответ: )

4. Сколько корней имеет уравнение

при ?

(Ответ: 3)

5. Сколько корней имеет уравнение

при ? (Ответ: 1) 6. Найти в градусах корень уравнения

, если . (Ответ: 180) 7. Найти в градусах наименьший положительный корень урав- нения . (Ответ: 30) 8. Найти в градусах корень уравнения , если