Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
5. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.doc
Скачиваний:
25
Добавлен:
11.12.2020
Размер:
531.46 Кб
Скачать

§5. Показательные уравнения и

Неравенства. Логарифмы.

Логарифмические уравнения и

Неравенства

Показательная функция: , где .

Свойства показательной функции

1. Область определения: . 2. Область значений: . 3. При функция монотонно возрастает, а при – монотонно убывает. 4. График функции имеет вид

Логарифмом числа по основанию , называется число , для которого . .

Основные свойства логарифмов

1.

2. . 3. Основное логарифмическое тождество: , . 4. .

38

5. . 6. . 7. 8. , .

Логарифмическая функция: Свойства логарифмической функции

1. Область определения: . 2. Область значений: . 3. При функция монотонно возрастает, а при – монотонно убывает. 4. График функции имеет вид

Показательные уравнения Решение показательных уравнений основано на свойстве степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только

39

тогда, когда равны их показатели.

1. .

2.

3. .

4. Уравнение вида , где , , , с помощью подстановки сводится к квадратному уравнению

.

Логарифмические уравнения

1. Уравнение , где , равносильно уравнению . 2. 3.

Решение простейших показательных и логарифмических неравенств основано на свойствах монотонности показа- тельной и логарифмической функций:

при :

40

при :

Пример 1. Решить уравнение: .

Решение. Так как и , то исходное уравнение равносильно уравнению , откуда

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение.

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение: .

Решение. Разделив обе части исходного уравнения на ( при всех ), получим равносильное ему уравнение :

; .

41

Обозначив , , последнее уравнение запишем в виде

.

Корнями этого уравнения являются и . Учитывая, что  положительное число, получим: .

Тогда: ; .

Ответ: .

Пример 4. Вычислить .

Решение. , . Поэтому .

Ответ: 1125.

Пример 5. Вычислить . Решение.

Ответ: 3. Пример 6. Вычислить .

42

Решение. ; . Следовательно, .

Ответ: – 4.

Пример 7. Решить уравнение:

Решение. Так как

, то исходное уравнение можно записать в виде:

. (1)

ОДЗ уравнения (1) : т. е. (2)

На ОДЗ (2) уравнение (1) равносильно уравнению Корнями последнего уравнения являются и , из которых входит в ОДЗ (2), а нет. Поэтому единственным корнем исходного уравнения является число 2.

Ответ : .

43

Пример 8. Решить уравнение: . (3)

Решение. ОДЗ уравнения (3): .

Обозначим . Тогда

и уравнение (3) принимает вид: . Корни последнего уравнения: и . Так как , то .

Ответ: .

Пример 9. Найти сумму корней уравнения: .

Решение. ОДЗ уравнения: . Прологарифмируем обе части данного уравнения по основанию 10 : ; , т.е. . Обозначив , получим квадратное уравнение , корни которого – . . . Ответ: 110. Пример 10. Найти наименьшее целое значение , удовлет- воряющее неравенству . Решение. Поскольку , то данное не- равенство равносильно неравенству

. Обозначив , получим

. Вернемся к переменной : , откуда

44

. Наименьшее целое значение из этого интерва-ла равно .

Ответ: . Пример 11. Найти число целых решений неравенства .

Решение. Поскольку , , то данное неравенство равносильно неравенству . Полученный интервал содержит целые числа .

Ответ: 4.

Пример 12. Найти длину интервала решений неравенства: . (4)

Решение. ОДЗ неравенства (4): . (5) На ОДЗ неравенство (4) равносильно неравенству

. Решая последнее неравенство методом интервалов и учитывая ОДЗ (5) , получим, что решением не-

равенства (4) является интервал . Длина этого интер-

вала: .

Ответ: .

45

Пример 13. Найти длину интервала решений неравенства . Решение. ОДЗ неравенства: . Так как , то

исходное неравенство можно записать в виде

, откуда . Длина этого интервала: . Ответ: .

Пример 14. Найти область определения функции

.

Решение. Так как , то область определения данной функции состоит из , удовлетворяющих системе:

.

Ответ:

46

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Решить уравнение:

а) ; (Ответ: 10)

б) ; (Ответ: 1)

в) ; (Ответ: 5)

г) ; (Ответ: 1)

д) ; (Ответ: 1,5)

е) ; (Ответ: 2)

ж) (Ответ: )

2. Найти больший корень уравнения: а) ; (Ответ: 6)

б) . (Ответ: 3)

3. Найти наибольшее целое значение , удовлетворяющее не-

равенству: а) ; (Ответ: 3)

б) . (Ответ: –2)

4. Найти наименьшее целое значение , удовлетворяющее

неравенству а) ; (Ответ: 2)

б) ; (Ответ: – 2)

47

в) . (Ответ: 3)

5. Найти число целых решений неравенства . (Ответ: 8)

6. Вычислить: а) ; (Ответ: – 40)

б) ; (Ответ: 19)

в) ; (Ответ: 13)

г) ; (Ответ: 1)

д) ; (Ответ: 1)

е) . (Ответ: 4)

7. Решить уравнение: а) ; (Ответ: 3)

б) ; (Ответ: 1)

в) ; (Ответ: 50) г) ; (Ответ: )

д) . (Ответ: 4)

48

8. Найти сумму корней уравнения:

. (Ответ: 84)

9. Найти больший корень уравнения: а) ; (Ответ: 625)

б) . (Ответ: 64)

10. Найти наименьшее целое значение , удовлетворяющее

неравенству: а) ; (Ответ: 4)

б) . (Ответ: 2)

11. Найти сумму целых решений неравенства: а) ; (Ответ: 6)

б) ; (Ответ: 3)

в) ; (Ответ: –1)

г) . (Ответ: 76)

12. Найти наименьшее целое значение из области определения функции

. (Ответ: 512)

13. Найти число целых значений , принадлежащих области определения функции . (Ответ: 3)

49

14. Найти длину интервала решений неравенства: а) ; (Ответ: 3,25)

б) . (Ответ: 1,5)

15. Решить неравенство: .

(Ответ: )

16. Найти наименьшее целое решение неравенства:

. (Ответ: 3)

50