Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2. Рациональные уравнения

.pdf
Скачиваний:
22
Добавлен:
11.12.2020
Размер:
513.7 Кб
Скачать

§2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

1) Квадратные уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ах2 bx c 0 , a 0 .

 

(1)

 

 

 

 

 

Функция

f x ax2 bx c , где a 0 , называется квадратичной функцией. График

этой функции – парабола, координаты вершины которой равны:

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

4ac b2

 

 

 

 

 

x

0

 

,

y

0

 

 

. При a 0 ветви параболы направлены вверх, а при a 0 – вниз.

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D b2 4ac – дискриминант квадратного уравнения (1).

 

 

 

 

 

 

 

При D 0

уравнение (1) имеет два корня: x b D ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

x

2

 

D ;

при D 0 – один корень (два равных корня)

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

b

 

 

, а при D 0 уравнение (1) корней не имеет.

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведенное квадратное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 px q 0 .

 

(2)

 

 

 

 

 

Теорема Виета. Если квадратное уравнение (2) имеет корни х1 и х2 , то

х1 х2 p , x1 x2 q .

 

 

 

 

 

 

 

Обратная теорема. Если числа t1 и t2

таковы, что t1 t2 p , t1t2 q , то они явля-

ются корнями квадратного уравнения x2 px q 0 .

 

 

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители: если х1 и х2 корни

квадратного уравнения (1), то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2 bx c a x x x x

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Неравенства второй степени.

 

 

 

 

 

 

 

ax2 bx c 0, ax2 bx c 0, a 0 .

 

 

 

Случай 1.

а 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

D 0

D 0

 

D 0

 

Неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

x

x1

x2

x

 

 

 

0

 

 

ax

2

bx c 0

x R

x ; x0 x0 ;

x ; x1 x2 ;

 

 

 

 

 

 

ax2 bx c 0

решений

решений нет

x x1 ; x2

 

нет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Случай 2. а 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

D 0

D 0

D 0

Неравенство

 

x0

x1

x2

x

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

ax

2 bx c 0

решений

решений нет

x x1 ; x2

 

нет

 

 

 

 

 

 

 

ax

2

bx c 0

x R

x ; x0 x0 ;

x ; x1 x2 ;

 

 

 

3) Рациональные уравнения и неравенства.

 

Многочленом

n - ой степени ( n Z, n 0 ) от переменной x называется выражение

P x a

0

xn a xn 1 a

n 1

x a

n

,

n

 

1

 

 

где a0 , a1, , аn

– заданные действительные числа, причем a0 0 .

Многочленами нулевой степени являются отличные от нуля действительные числа. Число 0 единственный многочлен,

13

степень которого не определена.

Уравнение Pn x 0 , где Pn x – многочлен n -ой степени, n 1, называется алгебраическим уравнением n -ой степени.

Если х0 – корень многочлена Pn x , т.е. Pn x0 0 , то Pn x без остатка делится на

( x x0 ):

Pn x x x0 Pn 1 x ,

где Pn 1 x – многочлен степени n 1. Многочлен Pn 1 x можно найти либо делением «уголком» многочлена Pn x на

( х х0 ), либо группировкой слагаемых многочлена Pn x и выделением из них множителя

 

х х0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Основными методами решения уравнения Pn x 0 , где

 

Pn x

– многочлен степени n ( n 2) , являются метод разложения левой части уравне-

ния на множители и метод введения новой переменной.

 

Уравнение вида

Pm

x

0 , где Pm x и

Qn x многочлены, называется рациональным.

 

 

 

 

Qn

x

 

 

 

 

 

 

 

x 0 ,

Это уравнение равносильно системе

Pm

 

Q

 

x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

Рациональные неравенства – это неравенства вида

 

Pm x

0 , , 0 , где Pm x и Qn x многочлены. Основной метод решения рацио-

 

 

 

 

Qn x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нальных неравенств – метод интервалов.

 

 

 

Рассмотрим сначала неравенство Pm x 0 . Находим корни уравнения Pm x 0 .

Пусть a1 , a2 , , ak корни этого уравнения, расположенные в порядке возрастания.

Числовая прямая точками a1 , a2 , , ak

разбивается на ин-

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тервалы, в каждом из которых функция Pm x сохраняет знак.

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

Для определения знако1

в значений функции в полученных интервалах достаточно найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

k

 

 

 

знак значения функции в любой точке соответствующего интервала.

 

 

Множеством всех решений неравенства Pm

x 0 будет объединение всех проме-

жутков, в которых функция Pm x сохраняет отрицательный знак.

 

Имеют место следующие соотношения:

 

 

 

 

 

Pm x

0

Pm x Qn x 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

Qn x

 

 

 

 

 

 

 

 

P x Q

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

P

 

m

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

0 Pm x

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qn

x

 

 

 

 

x

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pm

 

Аналогично решаются неравенства вида

 

 

 

0 0 .

 

Q

n

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Решить уравнение х3 х2 2 0 .

Решение. Перепишем уравнение в виде х3 1 х2 1 0 . Но x3 1 x 1 x2 x 1

и x2 1 x 1 x 1 . Поэтому получаем:

 

 

 

x 1 x2 x 1 x 1 x 1 0

 

 

 

 

x 1 0,

 

x 1,

 

x 1 x2 2x 2 0

0

 

2x 2

0.

x2 2x 2

x2

Квадратное уравнение x2 2x 2 0 корней не имеет

(т.к. D 4 0 ). Следовательно, исходному уравнению удовлетворяет только значение x 1.

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: – 1.

 

 

 

 

 

 

 

15

 

Пример 2. Найти сумму корней уравнения:

 

 

 

 

 

х 1 х 2 х 3 х 4 24 .

 

Решение. Так как х 1 х 2 х 3 х 4

х 1 х 4 х 2 х 3 х2 5х 4 х2

5х 6 , то исходное уравнение принимает

вид:

х2 5х 4 х2 5х 6 24 .

 

 

 

 

(3)

Обозначим х2 5х 4 у . Тогда уравнение (3) принимает вид:

у

у 2 4 у

 

 

у 6,

 

2 2 у 24 0

 

 

 

 

 

 

 

y 4.

 

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

 

2

5x 4 4,

 

2

5x 0,

 

x

 

x

 

 

x

2 5x 4 6

x2

5x 10 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первое уравнение имеет корни x1 0, x2 5 , а второе уравнение корней не имеет (

D 15 0 ). S 0 5 5.

Ответ: – 5.

 

 

Пример 3. Решить уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

6x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

x 2

x2 x 2

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Квадратный трехчлен x2 x 2

обращается в нуль при x 2

и x 1; по-

этому x2 x 2 x 1 x 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3 2x 1

 

 

 

x

 

 

1

 

3 2x 1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

2

 

 

 

x 1 x 2

 

 

 

x 2

x 1 x 2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

x x 2 x 1 3 2x 1

 

 

 

 

 

 

 

x2 3x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x 2

 

 

 

 

x 1 x 2

 

 

 

 

x2

3x 2 0,

 

 

 

x 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2.

 

 

 

 

 

 

 

1 x 2

 

 

 

 

 

x 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2; 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 2.

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Найти сумму корней уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х3 х2

17х 30

2х 3 .

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. ОДЗ уравнения (5): х 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При х 2 числитель дроби, стоящей в левой части уравнения, обращается в 0 :

23 22

17 2 30 0 . Следовательно,

многочлен х3 х2 17х 30 без остатка делится

на х 2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х3 х2 17х 30

 

 

х 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х3 2х2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х 2 х 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2 17х 30

х2 2х

15х 30

15х 30

0

х3 х2 17х 30 х 2 х2 х 15 .

Уравнение (5) можно представить в виде:

 

 

х 2 х2 х 15

2х 3 .

 

 

 

х 2

 

 

 

 

 

При х 2

это уравнение равносильно уравнению х2 х 15 2х 3 х2 х 12 0 .

Корни последнего уравнения: х1 4, х2 3.

S 4 3 1.

 

 

 

 

 

Ответ: 1.

Пример 5. Найти сумму целых решений неравенства

 

 

5х 1

 

 

 

 

 

1.

(6)

 

 

х2 3х 4

 

 

 

 

 

17

Решение.

(6)

 

 

 

5х 1

1 0

 

x2

2x 3

0

 

 

х2

3х 4

 

x2

 

3x 4

 

 

x 1 x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 x 1 x 3 x 1 x 4 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ +

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решениями последнего

 

 

-3-114

 

 

неравенства являются

 

 

3; 1 1;4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

все числа из множества

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Целые решения неравенства (6): 2 ;

 

2 ;

3.

 

S 2 2 3 3.

Ответ:

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6. Найти наименьшее целое решение неравенства:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15х 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

x .

 

 

 

 

 

 

 

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2 3х 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

 

 

15х 15

 

 

х 6 0

 

x3

3x2

x 3

0

 

х2

3х

2

 

 

x2

3x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2 х 3 х 3

0

x 3 x 1 x 1

0

 

 

 

 

 

 

х 1 х 2

 

 

 

x 1 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 x 1 2 x 1 x 2 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя метод интервалов,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

получим множество решений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

исходного неравенства:

х 2; 1 1;1 3; .

 

 

 

Наименьшее целое решение: х 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 0.

Заметим, что в процессе решения предыдущей задачи может возникнуть желание упро-

стить неравенство x 3 x 1 x 1

0 ,

(8)

x 1 x 2

 

 

сократив числитель и знаменатель дроби на х 1. Такое уп-

18

рощение, сделанное без всяких ограничений, приведет к ошибке. Неравенство

x 3 x 1 0 неравносильно неравенству (8), так как число 1 входит в множество его

х 2

решений, не являясь в то же время решением неравенства (8).

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти сумму корней уравнения:

2

 

2

 

1

 

 

а) 2x

5x 3 x

 

 

x 2 .

(Ответ: 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

б) 3x3 7x2 7x 3 0 .

2. Решить уравнение:

а) х 1 4 х2 2х 1 0 .

б)

 

х3

1

х 2

0 .

 

х

1

 

 

 

 

 

 

в)

х3

5х2 8х 6

3х 4 .

 

 

 

 

х 3

 

 

 

 

 

 

 

 

г) х 1 х 3 х 5 х 7 297 .

д)

 

6

 

 

 

2

 

2

х 4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2 1

х 1

 

 

х 1

 

е)

 

3

 

 

 

 

2х 1

 

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2х2 3х 1

 

 

 

2х 1

 

х 1

 

ж)

 

 

 

1 х

1

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5х х2 6

2 х

 

3. Найти меньший корень уравнения:

а)

 

 

65

 

 

17х 10

 

 

25

.

1 х3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2 х 1

 

х 1

 

 

х

2 х 5

 

 

3х

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2

х

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

9

 

2

 

 

1

в)

7 х

 

 

 

2 х

 

 

 

 

.

 

 

 

х2

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

200

 

 

 

 

 

2

 

 

5

 

 

x

 

 

 

г)

 

 

 

2x

 

 

30

 

 

 

 

 

 

67 .

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

2

 

 

 

(Ответ: 73 )

(Ответ: –1) (Ответ: –1)

(Ответ: 2) (Ответ: –8; 4)

(Ответ: –2) (Ответ: –0,75)

(Ответ: 1)

19

(Ответ: – 4)

(Ответ: – 5) (Ответ: 0,5)

(Ответ: – 10)

4. Найти наименьшее целое значение х , удовлетворяющее

неравенству:

 

 

 

 

 

а)

 

x 4 x2

2x 8

0 .

(Ответ: – 3)

 

 

 

x4

256

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

х 7

х 1.

 

 

(Ответ: 2)

 

 

 

 

 

 

х 3

 

 

 

 

 

в)

 

x2 12

 

1.

 

 

(Ответ: – 10)

 

x 2 2x 8

 

 

г)

1

3x2 7x 8

2 .

(Ответ: 2 )

 

x2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5х 4

1

 

 

 

 

 

 

д)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

(Ответ: 3 )

5х2 6х 1

x 2

 

 

 

е)

4

 

 

 

 

5

 

 

2 .

 

 

 

(Ответ: – 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2 3

x2

4

 

 

 

 

 

 

2x 8

1

 

 

 

 

 

 

ж)

 

 

 

 

 

.

 

 

 

(Ответ: 8 )

 

x2 8x 7

x 2

 

 

 

5. Найти сумму целых решений неравенства:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2 х 6

 

2х

.

(Ответ: 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

х2 3х 2

х 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

6.Найти сумму целых решений неравенства, принадлежащих отрезку 30;30 :

а)

 

8 х

 

2

.

 

 

 

(Ответ: – 48)

 

 

 

 

 

 

 

х 10

2 х

 

 

 

б)

х2

3х 1 х2 3х 3 5.

 

(Ответ: 3)

в)

х2

3х 2х 3 16

2х 3

0 .

(Ответ: 460)

х2 3х

 

х 2 х 4 х 7

 

 

 

 

 

 

г)

 

1 .

 

(Ответ: – 440)

х 2 х 4 х 7

 

21