![](/user_photo/_userpic.png)
10. Стериометрия
.doc
§10.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Прямая и плоскость
Основные
сведения о параллельности и
перпендикулярности прямых и плоскостей
в пространстве:
1) если прямая, не
лежащая в данной плоскости, параллельна
какой-нибудь прямой, лежащей в этой
плоскости, то она парал-
лельна данной
плоскости;
2) если плоскость проходит
через прямую, параллельную другой
плоскости, и пересекает эту плоскость,
то линия пересечения плоскостей
параллельна данной прямой;
3) если
две пересекающиеся прямые одной плоскости
соответственно параллельны двум прямым
другой плоскости, то эти плоскости
параллельны;
4) если две параллельные
плоскости пересечены третьей плоскостью,
то линии пересечения параллельны;
5) если прямая перпендикулярна каждой
из двух пересекающихся прямых, лежащих
в плоскости, то эта прямая и плоскость
взаимно
перпендикулярны;
6) если плоскость
проходит через перпендикуляр к другой
плоскости, то она перпендикулярна этой
плоскости;
7) если две плоскости
взаимно перпендикулярны, то прямая,
проведенная в одной плоскости
перпендикулярно линии пересечения
плоскостей, перпендикулярна другой
плоскости;
8) для того чтобы прямая,
лежащая в плоскости, была перпендикулярна
наклонной, необходимо и достаточно,
чтобы эта прямая была перпендикулярна
проекции наклонной на эту плос-
кость
(теорема о
трех перпендикулярах).
Основные
формулы стереометрии
а)
Поверхности
и объемы многогранников
Обозначения:
–
высота,
– площадь основания,
–
боковая
поверхность,
– полная поверхность,
–
объем.
1) Призма.
;
,
где
–
периметр сечения
93
призмы,
перпендикулярного боковому ребру длины
.
2) Прямая
призма.
,
–
периметр
основания.
3) Прямоугольный
параллелепипед
(
–
его измерения,
–
диагональ).
.
4) Куб.
;
–
ребро куба.
5) Пирамида.
.
6) Правильная
пирамида.
,
где
–
периметр основания,
–
апофема.
7) Усеченная
пирамида.
,
где
–
площади
оснований,
–
высота усеченной пирамиды.
б)
Поверхности
и объемы круглых тел
Обозначение:
–
радиус оснований цилиндра, конуса, или
радиус шара.
1) Цилиндр.
.
2) Конус.
,
где
–длина
образующей.
3) Усеченный
конус.
,
,
где
–
радиусы оснований,
–
высота,
–
образующая усеченного конуса.
4)
.
(
–
площадь сферической поверхности).
5) Шаровой
сегмент.
,
где
–
высота сегмента.
6) Сферический
сегмент.
,
где
–
высота сегмента.
94
При решении задач по стереометрии часто применяются
следующие
два утверждения:
1. Если все боковые
ребра пирамиды равны между собой, то
они одинаково наклонены к плоскости
основания. В этом случае вершина пирамиды
проектируется в центр окружности,
опи-санной около основания.
2. Если
все двугранные углы при основании
пирамиды равны между собой, то равны
между собой высоты всех боковых граней.
В этом случае вершина пирамиды
проектируется в центр окружности,
вписанной в основание пирамиды;
,
где
–
линейный угол двугранного угла при
основании.
Пример
1. Наибольшая
диагональ правильной шестиуголь-ной
призмы равна 4 и составляет с боковым
ребром призмы
угол
.
Найти объем призмы.
Решение.
Наибольшая диагональ призмы:
,
.
Объем
призмы:
.
;
,
.
Площадь правильного шестиугольника:
.
.
Ответ:
9.
Пример
2. Площадь
боковой поверхности цилиндра в пять
раз
больше площади его основания, объем
цилиндра равен
.
Найти площадь осевого сечения цилиндра.
95
Решение.
Если
– высота, а
–
радиус
основания цилиндра, то
;
площадь основания:
.
,
т.е.
.
Объем цилиндра:
,
откуда
получаем, что
,
следовательно,
.
Пусть
и
–
центры оснований цилиндра. Через ось
перпендикулярно
основанию проведем сечение (осевое
сечение
цилиндра). Искомая площадь
.
Ответ: 80.
Пример
3. Основанием
пирамиды
служит ромб,
острый угол
которого
равен
.
Все двугранные углы при основании
пирамиды равны
.
Найти объем пирамиды, если радиус
окружности, вписанной в основание, равен
.
Решение.
Пусть
–
ромб, лежащий в основании пирамиды
,
а
–высота
пирамиды, тогда
.
Проведем
отрезок
.
Так
как
–
высота ромба, то
его длина равна
диаметру
вписанной окружности,
т.е.
.
.
Проведем отрезок
и соединим точку
с вершиной
,
тогда
(по теореме о трех перпендикулярах),
т.е.
– линейный угол двугранного угла при
стороне осно-
96
вания
пирамиды. Тогда,
и
.
Ответ:
1.
Пример 4.
Образующая прямого кругового конуса
равна
и составляет с плоскостью основания
угол
.
Найти объем вписанного в этот конус
полушара, основание которого
лежит на основании конуса.
Решение.
Проведем осевое сечение конуса. Это
равнобедренный
треугольник
с боковой стороной
и
углом при
ос-новании
.
Центр основания конуса
совпадает
с центром большого
круга вписанного
полушара;
и
–
точки касания конуса
и полушара;
–
радиус полушара.
.
Из прямоугольного треугольника
имеем:
. Следовательно,
.
Объем полушара:
.
Ответ:
1152.
Пример 5. Через
сторону основания правильной треугольной
призмы проведена плоскость под углом
к плоскости основания. Определить
площадь полученного треугольного
97
сечения, если объем пирамиды, отсеченной плоскостью от
призмы,
равен
Решение.
В
равностороннем треугольнике
проведем
высоту
,
тогда по теореме о трех перпендикулярах
и
.
;
.
Д лину стороны треугольника обозначим через .
Т
огда:
;
;
.
(1)
Найдем .
Из
прямоугольного треугольника
:
Объем
пирамиды
:
,
откуда
;
.
Подставляя найденное значение
в (1) , получим :
.
Ответ:
.
Пример 6.
Правильный треугольник, сторона которого
равна
,
вращается вокруг оси , проходящей вне
его через конец
98
его стороны под острым углом в 15 к этой стороне. Определить
площадь
поверхности тела вращения.
Решение.
Пусть
- ось
вращения,
,
,
.
Обозначим длину стороны треугольника
через
;
.
Поверхность
тела,
образованного вращением
треугольника, состоит из
следующих
частей:
1)
боковой поверхности конуса,
образованного
вращением стороны
;
ее площадь:
2)
боковой поверхности конуса, образованного
вращением стороны
;
ее площадь:
;
3)
боковой поверхности усеченного конуса,
образованного вращением стороны
;
ее площадь:
,
где
,
.
Искомая площадь :
=
Ответ:
.
Пример
7. В треугольной
усеченной пирамиде высота равна 10,
стороны одного основания 27, 29 и 52, а
периметр другого основания – 72.
Вычислить объем этой пирамиды.
Решение.
В усеченной треугольной пирамиде
периметр
.
Найдем
площадь треугольника
по формуле Герона:
99
.
Треугольники
и
подобны с коэф-
фициентом подобия
.
Искомый
объем:
Ответ: 1900.
Пример
8. В правильной
четырехугольной пирамиде двугранный
угол при боковом ребре равен
.
Найти площадь боковой поверхности
пирамиды, если площадь ее диагонального
сечения равна
.
Решение.
–
правильная пирамида, следовательно
–
квадрат,
.
Проведем
,
тогда
(Это следует из равенства
и
).
Значит,
–
линейный угол двугранного угла при
боковом
ребре
,
по
условию
.
Кроме
того
,
тогда
–
биссектриса
угла
.
.
Пусть
(тогда
).
Из
.
100
.
.
Ответ:
40.
ЗАДАЧИ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.
Высота цилиндра равна 20, а диаметр
основания – 80. Сече-
ние, параллельное оси цилиндра, отсекает от окружности осно-
вания
дугу величиной
.
Найти площадь сечения.
(Ответ:
800)
2. Площадь боковой поверхности конуса равна 36, расстояние от центра основания до образующей конуса равно 7. Найти объем конуса. (Ответ: 84) 3. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сек-
тор
радиусом 5 с центральным углом
.
Найти объем конуса.
(Ответ:
)
4.
В пирамиде
сечение, параллельное основанию, делит
высоту в
отношении 2:3 (от вершины к основанию). Найти площадь се-
чения, зная, что она меньше площади основания на 84. (Ответ: 16) 5. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при верши-
не
равен
.
Высота пирамиды равна
.
Найти площадь
бо-
ковой
поверхности. В ответе указать
.
(Ответ:
54)
6.
Боковые
ребра правильной треугольной пирамиды
наклонены
к
основанию под углом
.
Найти объем
пирамиды, если
101
площадь
описанной около нее сферы равна
.
В ответе ука-
зать
.
(Ответ:
2,25)
7.
Основанием
прямого параллелепипеда служит ромб
со сторо-
ной
6, угол между плоскостями двух боковых
граней равен
.
Большая диагональ параллелепипеда
составляет с плос-
костью основания
угол
.
Найти объем параллелепипеда.
(Ответ:
324)
8.
Определить, какую часть
высоты конуса (считая от вер-
шины) отсекает плоскость, параллельная основанию, если
полученные меньший конус и усеченный конус имеют рав- ные площади полных поверхностей, а образующая и радиус
основания
исходного конуса равны
и
соответственно.
В ответе указать
.
(Ответ:
0,8125)
9.
Основанием прямой призмы служит
прямоугольный тре-
угольник
с гипотенузой длины
и острым углом в
.
Через гипотенузу нижнего основания и вершину прямого уг-
ла верхнего основания проведена плоскость, образующая с
плоскостью
основания угол
.
Определить объем тре-
угольной пирамиды, отсеченной от призмы плоскостью. (Ответ: 0,25)
10.
В равнобедренном
треугольнике
.
Треугольник вращается вокруг оси,
проходящей
через
вершину
и перпендикулярной
.
Найти объем
тела вращения. В ответе указать
.
(Ответ:
8064)
11. Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую ду-
гу
в
,
проведено сечение, составляющее с
плоскостью
основания угол в . Найти площадь сечения, если радиус
основания
равен
.
(Ответ:
)
12.
Основание пирамиды – ромб с диагоналями
и
,
высота
пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей
102
ромба и равна . Найти боковую поверхность пирамиды. (Ответ: 26)
13. В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу
основания конуса. Найти угол между осью конуса и его
образующей, если полная поверхность цилиндра относится
к площади основания
конуса как
.
В ответе указать
.
(Ответ: 2)