Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

11. Векторы

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
11.12.2020
Размер:
495.82 Кб
Скачать

§11. ВЕКТОРЫ. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД

Сложение двух векторов производится по правилу параллелограмма (рис.1) или треугольника (рис.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

 

 

Рис.3

Разностью векторов a и b называется такой вектор c a b , что b c a ( рис.3 ).

Произведением вектора a на число называется вектор

a такой, что

1)длина вектора a равна a ;

2)векторы a и a одинаково направлены, если 0 , и противоположно направлены, если 0 .

Два ненулевых вектора a и b называются коллинеарны-

ми ( a || b ), если они лежат на параллельных прямых или на

одной прямой. a || b a b , где 0 .

Если в пространстве задана прямоугольная система коор-

динат Oxyz , i , j , k – единичные векторы координатных осей Ox, Oy, Oz соответственно, то произвольный вектор

a единственным образом представляется в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ax i ay j az k ; ax , ay ,

az – координаты вектора a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

a

 

2 a

2 .

 

 

Длина вектора a :

a

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

z

 

 

Если известны координаты точек A и B : A x1; y1; z1 ,

B x2 ; y2 ; z2 , то AB x2 x1; y2 y1; z2 z1 . Середина С

105

отрезка AB имеет координаты: x

 

 

 

 

x1 x2

,

y

 

 

y1 y2

 

,

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

z1

z2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax ; ay ; az ,

 

bx

;by ;bz , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax bx ; ay by ; az bz

;

 

 

 

ax ; ay ; az .

 

 

 

a

b

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скалярное произведение векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скалярным произведением векторов a и b называется

 

 

произведение длин этих векторов на косинус угла между

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ними:

 

 

a b

a

 

b

cos .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax ; ay ; az ,

 

bx ;by ;bz , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b axbx ay by az bz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угол между двумя векторами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

axbx a y by az bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; а ,b 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

ax 2 a y 2 az 2

 

 

 

bx 2 by 2 bz 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если , , – углы между вектором a и осями Oх , ,

 

 

Oz , соответственно, то cos 2 cos 2 cos 2 1.

 

 

Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x

 

a y

 

 

a

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a || b

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bx

 

 

 

 

 

by

 

 

bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b a b 0, т.е. axbx ay by az bz 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Даны точки А 1;7 и B 5; 1 . Найти абсциссу

 

х 0

точки M x;0 , если векторы

 

и

 

перпендику-

 

 

 

АМ

BM

 

 

106

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лярны.

Решение. АМ х 1; 7 , ВМ х 5;1 .

Векторы АМ и ВМ перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

AM BM x 1 x 5 7 0 ; х2 4х 12 0 . Корни этого

уравнения:

х1 6 ,

х2 2 . Условию задачи х 0 удовлет-

воряет только х 6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Найти в градусах угол между вектором 2а b и

осью

 

Oy , если

 

 

 

 

 

1;2; 3 ,

 

 

 

1;4;3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Найдем координаты вектора 2а b :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2;4; 6 ,

 

 

 

 

1;4;3 ;

 

 

 

поэтому

2

 

 

 

 

 

 

1;0; 9 .

 

 

 

 

 

2

a

 

 

b

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

 

угол между вектором

2a b и осью Oy , то

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0 . Это означает, что 90 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

90 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Найти длину вектора b , если

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

20 ,

 

 

a b

30.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Поместим начала векторов а и b в одну точку.

 

 

 

 

 

Тогда в параллелограмме, построенном на них, имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а b

 

 

 

a

 

b

 

 

2

a

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

2

 

 

a

b

a

b

 

 

 

 

 

 

 

2

900 400

529 121;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

121 11 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

107

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Даны четыре точки: А 1;0;2 ,

В 1;2;3 ,

С 0;2; 1 и D 4; х; у . Векторы

 

 

 

 

АВ

и CD коллинеарны. Най-

ти длину вектора CD .

 

Решение.

 

 

 

2;2;1 ,

 

4; x 2; y 1 . Из коллинеар-

АВ

CD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следует:

2

 

2

 

1

 

ности векторов AB

и CD

, откуда

 

x 2

y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

находим, что x 6 , y 1. Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

4;4;2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CD

CD

 

16 16 4 6 .

 

 

 

 

Ответ: 6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. Даны три последовательные вершины параллелограмма A 1; 2;3 , B 3;2;1 , C 6;4;4 . Найти сумму координат

четвертой вершины D .

Решение. Пусть D x; y; z . Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, то BC AD .

BC 6 3;4 2;4 1 3;2;3 , AD x 1; y 2; z 3 . Поэто-

x 1 3,

 

 

2, откуда x 4, y 0, z 6 .

x y z 10 .

му, y 2

 

3,

 

z 3

 

Ответ: 10. Пример 6. Два вектора а 2; 3;6 и b 1;2; 2 приве-

дены к одной точке. Определить координаты вектора c , направленного по биссектрисе угла между векторами a и b , если c 342 . В ответе указать большую из координат.

Решение. Пусть х , у , z – искомые координаты вектора c .

 

 

 

2 x2 y 2 z 2 3

 

 

 

2 .

 

 

 

c

 

42

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

Если – угол между векторами a и b , то

– угол между

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

векторами a и с , b и c . 108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

a b

2 6 12

20

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

b

 

 

 

7 3

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

1 cos

 

1 20 / 21

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

a c

 

2x 3y

 

6z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

a

 

c

 

 

7 3 42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

c b

 

x 2 y

2z

.

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

c

 

b

 

3 3 42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая (1), (2), (3), (4), получаем систему уравнений:

 

 

 

 

6z 21,

 

 

 

 

х 3,

2х 3у

х 69 6z,

 

x 2 y 2z 9,

y 39 2z,

 

откуда y 15,

 

2

y

2

z

2

378

 

2

24z 144

0,

z 12.

x

 

 

 

z

 

Ответ: 15. Пример 7. Катеты прямоугольного треугольника равны 3

и 4. Найти расстояние d между центрами вписанной и описанной окружностей.

Решение. Пусть в прямоугольном треугольнике OAB :

OA 3, OB 4 .

 

 

 

у

 

 

 

 

 

На плоскости введем прямо-

A

 

 

 

 

угольную систему координат

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

K

 

следующим образом: начало

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

координат разместим в вершине

 

 

 

 

 

O

 

 

B

х

прямого угла O , ось абсцисс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направим по линии OB , а ось ординат – по линии OA . Тогда

 

A 0;3 , B 4;0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Центр M описанной окружности лежит в середине гипо-

 

тенузы AB . Поэтому,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

xA xB

 

0 4

2, y

 

 

yA yB

 

3 0

1,5 , т.е.

 

 

 

M

 

 

 

 

M

2

 

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

109

 

M 2;1,5 .

Центр K вписанной окружности имеет координаты:

хK r , yK

r , где r – радиус вписанной окружности.

 

r

a b c

 

3 4 5

1

 

 

 

 

2

 

2

 

( a OB, b OA, c AB 9 16 5 ), т.е. K 1;1 . d KM 2 1 2 1,5 1 2 1,25 ;

Ответ: 1,25

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Даны векторы а 6; 8;52 и b 2; 4; 2 . Найти в гра - дусах угол, образуемый вектором a b с осью Oz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Ответ: 45)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

, если

 

9;6; 17 ,

 

 

 

 

2.

Найти длину вектора

а

b

a

 

 

 

 

 

 

 

1; 2;4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

(Ответ: 13)

3.

Отрезок AB , ограниченный точками A 1;8; 3 и

 

 

 

 

B 9; 7;2 , разделен точками M1 , M2 , M3 , M4 на пять рав-

 

ных частей. Найти произведение координат точки M 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Ответ: 0)

 

 

 

х;1;2 перпендикулярен вектору

 

2; у; 4 , а

4.

Вектор

а

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

длина вектора b в два раза больше длины вектора a . Найти

 

x и y . В ответе указать их произведение.

 

 

(Ответ: 8)

5.

Треугольник задан координатами своих вершин A 3; 2;1 ,

B 3;1;5 , С 4;0;3 . Найти расстояние от начала координат до

 

 

 

 

 

 

 

точки пересечения медиан треугольника.

(Ответ:

 

182

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

110

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Даны вершины треугольника А 1; 2;4 , B 4; 2;0 и

C 3; 2;1 . Определить (в градусах) его внутренний угол при вершине B .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Ответ: 45)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,

 

8 , а угол между

7.

Найти длину вектора а b , если

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторами a и b равен 120 .

 

 

 

 

 

 

 

(Ответ: 7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6; 8; 7,5 , образует

8.

Вектор x , коллинеарный вектору

a

 

острый угол с осью Oz . Зная, что

 

 

50 , найти его коор-

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

динаты. В ответе указать меньшую из них.

(Ответ: –24)

9.

Найти сумму длин диагоналей параллелограмма, построен-

 

ного на векторах

 

4; 1;1 и

 

8; 5;3 .

(Ответ: 20)

 

а

b

10. При каких значениях m и n точки

A( 5; 13;0), B 5; n;15

 

и C 7;11; m лежат на одной прямой ?

В ответе указать

 

m n .

 

 

 

 

 

 

 

(Ответ: 25)

11. Даны вершины треугольника: A 3; 1;5 , B 4;2; 5 и

 

C 4;0;3 . Найти длину медианы

AM .

(Ответ: 7)

12.Найти в градусах угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а 2;1; 0 и

 

 

 

0; 2;1 .

 

 

 

 

 

(Ответ: 90)

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Известно, что вектор

a b делит угол между векторами

 

 

 

2;3; x и

 

1; x 2;4 пополам. Найти x . (Ответ: 2)

 

 

a

b

14.Найти сумму координат вектора с , перпендикулярного векторам a 1; 2;1 и b 2;1; 3 и образующего с осью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oz острый угол, если

c

2 27 .

 

 

 

(Ответ: 18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,

 

 

1,

 

4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Даны векторы a, b, c , причем

a

b

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

111

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b c 0 . Найти a b b c c a .

(Ответ: – 13)

16. Даны векторы а и b , угол между которыми равен 120 . Определить длину вектора c , если c 3 a 0,5 b и

 

1,

 

2 .

 

 

 

a

b

(Ответ: 13 )

 

 

 

 

 

 

 

17.Найти длину меньшей диагонали параллелограмма, построенного на векторах a p 3q , b 5 p 2q , если из-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вестно, что

p

2

2 ,

q

3 и угол между векторами p и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равен 45 .

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

(Ответ: 15)

18.Даны три последовательные вершины параллелограмма

ABCD : А 3; 2;0 , В 3; 3;1 , С 5;0; 2 . Вычислить

скалярное произведение векторов АС и 2BD .

(Ответ: – 48)

19. Найти в градусах угол между биссектрисами углов xOz и yOz . (Ответ: 60 )

20.В трапеции ABCD с основаниями AB и CD известно, что AC AD DB DA 7 . Найти длину средней линии тра-

пеции.

(Ответ: 3,5)

21.Найти площадь треугольника ABC , если известны координаты его вершин: A 1;10 , B 2;1 , C 6; 1 . (Ответ: 15)

22.В прямоугольном треугольнике ABC длины катетов AC и

BC соответственно равны 12 и 8 . Точка K – середина медианы BD . Найти длину отрезка CK . (Ответ: 5)

23.Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найти расстояние между точкой пересечения биссектрис и

точкой пересечения медиан треугольника.

(Ответ: 1)

24.В правильной четырехугольной пирамиде MABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра MD . Найдите тангенс угла между прямыми MB и AE .

(Ответ: 2 )

112