Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

4. Иррациональные уравнения и неравенства

.doc
Скачиваний:
52
Добавлен:
11.12.2020
Размер:
243.71 Кб
Скачать

§4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

При решении иррациональных уравнений, как правило, применяют преобразование, связанное с возведением обеих частей уравнения в натуральную степень. Следует помнить, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную сте- пень получается уравнение, равносильное исходному. Если же возводить обе части уравнения в четную степень, то, вообще говоря, получается уравнение, являющееся следствием исходного, т.е. такое, которое кроме корней исходного уравнения может содержать и другие (посторонние) корни. В этом случае необходимо проверить все найденные значения непосредственной подстановкой в исходное уравнение. Все корни четной степени следует считать арифмети- ческими: не имеет смысла при ; при и при .

Пример 1. Решить уравнение: . Решение. Возведем в квадрат обе части исходного уравнения: Возведя обе части последнего уравнения в квадрат, получим . Корни этого уравнения: . Проверим найденные значения: 1)при , следовательно, не является корнем исходного уравнения; 2) при . Поэтому – корень исходного уравнения. Ответ: – 1.

31

Применяется и другой путь решения иррациональных уравнений – переход к равносильным системам, в которых учитывается ОДЗ уравнения и требование неотрицатель-ности обеих частей уравнения, возводимых в четную степень. . Пример 2. Решить уравнение: .

Решение. Ответ: .

Важным методом решения иррациональных уравнений яв- ляется метод замены переменной.

Пример 3. Найти сумму корней уравнения: . (1)

Решение. Непосредственное возведение в квадрат обеих частей этого уравнения приводит к уравнению четвертой сте- пени относительно , решить которое довольно сложно. Ре- шение упрощается при использовании вспомогательного не- известного. Обозначим , где . Тогда , откуда . Уравнение (1) принимает вид: . Последнее

32

уравнение имеет корни . Так как не удовлетворяет условию , то ; . Это уравнение имеет корни . Проверкой убеждаемся, что оба значе- ния являются корнями исходного уравнения (1). .

Ответ: .

Иррациональные неравенства

Основной метод решения иррациональных неравенств заключается в том, что исходное неравенство сводится к равносильной ему системе или совокупности систем рациональных неравенств. При решении иррациональных неравенств следует найти ОДЗ неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.

Пример 4. Найти сумму целых решений неравенства . (2)

Решение. ОДЗ неравенства (2): т.е. . При и неравенство (2) выполняется; следовательно, эти значения являются его решениями. Пусть . Тогда и неравенство (2) равносильно неравенству

33

. Учитывая,

что , получаем . Итак, множество решений неравенства (2) имеет вид: . Сумма целых чисел из этого множества : .

Ответ: – 10.

Имеют место следующие соотношения ( ) : (3) . (4) (5) . (6) (7) . (8) Пример 5. Найти число целых решений неравенства .

Решение. Данное неравенство, согласно (7), равносильно совокупности двух систем

34 (9) Вторая система совокупности (9) равносильна системе:

Далее, так как то первая система совокупности (9) равносильна системе: . Множеством решений исходного неравенства является объединение множеств и , т.е. промежуток . Целые значения из этого множества: . Ответ: .

Пример 6. Найти сумму целых решений неравенства .

Решение. Обе части неравенства ( при ОДЗ ) неотрицательны, поэтому оно равносильно системе При имеем и ,

35

поэтому решением последней системы, а значит и исходного

неравенства, являются все числа из промежутка . Сумма целых решений неравенства: . Ответ: 15. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Решить уравнение: а) ; (Ответ: 2 )

б) ; (Ответ: – 1 )

в) ; (Ответ: 4 )

г) ; (Ответ: 3 ) д) ; (Ответ: 3 )

е) ; (Ответ: 2 ) ж) ; (Ответ: 5 ) з) ; (Ответ: 7 ) и) ; (Ответ: – 15 ) й) .

(Ответ: )

2. Найти сумму корней уравнения: а) . (Ответ: 2,5 ) б) ; (Ответ: 8 )

в) ; (Ответ: –5 ) г) ; (Ответ: 3 )

д) ; (Ответ: 11 )

36

е) . (Ответ: 4 ) 3. Найти длину промежутка решений неравенства: а) ; (Ответ: 2 ) б) ; (Ответ: 5 ) в) . (Ответ: 9 )

4. Найти наименьшее целое значение , удовлетворяющее неравенству: а) . (Ответ: 3 ) б) . (Ответ: 2 ) в) . (Ответ: 4 ) г) . (Ответ: 3 ) д) . (Ответ: 2 )

5. Найти сумму целых решений неравенства: а) . (Ответ: 60 )

б) . (Ответ: – 18 )

в) . (Ответ: 5 )

г) . (Ответ: 7)

д) . (Ответ: – 9 ) 6. Решить неравенство: . (Ответ: )

37