Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

6. Прогрессии

.doc
Скачиваний:
25
Добавлен:
11.12.2020
Размер:
318.46 Кб
Скачать

§6. ПРОГРЕССИИ 1. Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия – числовая последователь- ность , в которой при любом , где – некоторое число. Число называется разностью арифметической про-грессии. – общий ( -й ) член прогрессии. Свойства арифметической прогрессии. 1) , где . 2) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседних членов, т.е. , где ( более общо: для любых натуральных чисел и таких, что ). – сумма первых членов.

2. Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия – числовая последователь-ность , в которой при любом , где –некоторое ненулевое число. Число называется знаменателем геометрической про- грессии. – общий ( -й ) член прогрессии. – сумма первых членов (в случае, когда ). Если , то .

51

Свойства геометрической прогрессии.

1) , где . 2) Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, на- чиная со второго, равен произведению его соседних членов, т.е. , где ( более общо: для любых натуральных чисел и таких, что ). Бесконечная геометрическая прогрессия называется бес- конечно убывающей, если . Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: .

Пример 1. В арифметической прогрессии , . Найти разность прогрессии. Решение.

.

Пусть - разность прогрессии. Тогда , т.е. , откуда: .

Ответ: Пример 2. В арифметической прогрессии для любого числа членов . Найти пятый член прогрессии.

Решение. .

Так как , , то

.

Ответ: . Пример 3. В арифметической прогрессии , Найти сумму первых десяти членов прогрессии.

52

Решение. Пусть  разность прогрессии.

. .

Ответ : .

Пример 4. Найти , если известно, что числа , , , взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию. Решение. при . При остальных величина не определена.

Итак, , ,  геометрическая прогрессия и . Тогда: ; . Корни последнего уравнения: , . Условию удовлетворяет только .

Ответ: .

Пример 5. Три числа, сумма которых равна , составля- ют геометрическую прогрессию и являются также первым, вторым и седьмым членами возрастающей арифметической прогрессии. Найти произведение этих чисел. Решение. Пусть – первый член арифметической про-грессии, – ее разность. Сумма первого, второго и седьмого членов арифметической прогрессии равна , т.е. . Поскольку эти же члены арифметической прогрессии являются последовательными членами геометри- ческой прогрессии, то . Подставляя в полученные уравнения и , получим систему

53

Решение не удовлетворяет условию задачи, так как арифметическая прогрессия возрастающая. Следова- тельно, решением является пара чисел: . Тогда Ответ: 3375.

Пример 6. Найти сумму бесконечно убывающей геомет-рической прогрессии, у которой , . Решение. Пусть – знаменатель прогрессии. По условию Из второго уравнения системы находим , подстав- ляя в первое уравнение системы, получаем квадратное уравнение , корнями которого являются и . Прогрессия бесконечно убывающая, т.е. . Следовательно, и тогда ; .

Ответ: .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Решить уравнение: . (Ответ: 55)

2. Найти сумму первых двадцати членов арифметической

прогрессии, в которой . (Ответ: 100)

54

3. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые при делении

на 3 дают в остатке 1. (Ответ: 164550)

4. В арифметической прогрессии . Найти , если . (Ответ: 7)

5. В арифметической прогрессии 12 членов; их сумма равна 354. Сумма членов с четными номерами относится к сумме членов с нечетными номерами как . Найти разность прогрессии. (Ответ: 5)

6. В арифметической прогрессии сумма первых двенадцати членов равна , . Найти . (Ответ: 15,75)

7. Найти и , если – арифметическая, а

– геометрическая прогрес-

сия. В ответе указать . (Ответ: 2)

8. Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 6 , а сумма квадратов этих членов равна 14. Найти сумму первых пяти членов этой прогрессии. (Ответ: 15)

9. На дороге на расстоянии 10 м друг от друга лежит некото-

рое количество столбов. Начав с одного крайнего столба,

рабочий перенес все столбы по одному к другому крайнему столбу, причем для этого ему в общей сложности пришлось

пройти 1440 м. Сколько столбов лежало на дороге ?

(Ответ: 13)

10. Пусть – геометрическая прогрессия со знаменателем

и – сумма первых ее членов. Найти: а) , если ; (Ответ: 3) б) , если ; (Ответ: 5) в) , если , ; (Ответ: 0,1) г) , если ; (Ответ: 156,2) д) , если , ; (Ответ: 125)

55

е) . (Ответ: 1)

11. Решить уравнение: . (Ответ: – 1)

12. Число членов геометрической прогрессии четное; сумма

всех ее членов в три раза больше суммы членов, стоящих

на нечетных местах. Найти знаменатель прогрессии.

(Ответ: 2)

13. В возрастающей геометрической прогрессии сумма перво-

го и последнего членов равна 66 , произведение второго и предпоследнего членов равно 128; сумма всех членов

равна 126. Сколько членов в прогрессии? (Ответ: 6)

14.В геометрической прогрессии первый, третий и пятый чле-

ны соответственно равны первому, четвертому и шестнад-

цатому членам некоторой возрастающей арифметической прогрессии. Найти четвертый член арифметической про-

грессии, если ее первый член равен 5. (Ответ: 20)

15. Три различных ненулевых числа образуют арифме-

тическую прогрессию, а числа образуют

в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найти знаменатель этой прогрессии. (Ответ: 4)

16. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес-

сии равна 4 , а сумма кубов ее членов равна 192. Найти

первый член прогрессии. (Ответ: 6)

17. Даны две арифметические прогрессии: и Сколько равных членов будет среди первых 100 членов первой прогрессии и 98 членов второй про–

грессии? (Ответ: 25)

18. Вычислить сумму: .

(Ответ: )

56