Добавил:

InExtremo2023 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Обнинский институт атомной энергетики НИЯУ МИФИ

Предмет:

Ядерная физика

Файл:

Абрамов А.И., Пустынский Л.Н., Романцов В.П. Лабораторный практикум по курсу Ядерная и нейтронная физика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.12.2020

Размер:

3.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

рочную оценку, а сама (x1 , x2 ,..., xn ) называется статистикой. Для

статистики существует своя генеральная совокупность и своя функция распределения. Оценки матожидания и дисперсии, сделанные по выборке, опираются на один из фундаментальных законов математической статистики - закон больших чисел. Существует множество формулировок и условий применимости для закона больших чисел. Для оценок матожидания и дисперсии достаточно следующего: среднее арифметическое наблюдаемых в п независимых опытах значений случайной величины при неограниченном увеличении п сходится к неслучайной величине -ее математическому ожиданию.

Если мы имеем выборку объема п в виде х1,х2,..-,хп для

случайной величины X, то статистика X , являющаяся средним арифметическим выборки, может служить оценкой ее математического ожидания x :

	1	n
x	1	x		n
x		x
		i	n
	n i 1

Для дисперсии статистики x можно записать, учитывая (1.10):


	1 n	1		n
	1 n	1		n
D(x) D(1.18) xi				D xi
D(x) D(1.18) xi		n	2	D xi
	n i 1	n		i 1

Поскольку все xi в выборке независимы, выбираются случайно из всей генеральной совокупности, то, учитывая (1.13), получаем

Dx1 Dx2

.... Dxn

nDx (1.19)

i 1

и окончательно

(1.20)

Из (1.20) видно, что выборочное среднее x X значительно лучше

для; оценки x ,

чем однократное измерение случайной величины

(любое xi из выборки), т.к.

x обладает в п раз меньшей дисперсией.

При этом среднеквадратичное отклонение статистики x от x



x	D	x		(1.21)
x	D	x		(1.21)
			n
			n

показывает, что качество оценки улучшается в n раз.

Получив выборку объема п, экспериментатор, как правило, не

знает, какова величина Dx или x для генеральной совокупности. Но, используя закон больших чисел и определение дисперсии (1.4) как математического ожидания квадрата отклонения случайной величины от ее среднего, он может вычислить статистику

2	1	n
S	1	(xi	x)2 (1.22)
S		(xi	x)2 (1.22)
	n i 1

т.е. оценить матожидание квадрата отклонения случайной величины от

оценки x ее матожидания. Величина S

называется выборочной дис-

персией. Можно показать, что

(x x)

n 1

n 1 i 1

n i 1

(1.23)

тогда x

имеет оценку в виде выборочного среднеквадратичного от-

клонения S :

x)2

(1.24)

n 1 i 1

а для оценки величины x

в (1.21) получаем

S(x)

(x) (1-25)

n n 1

i 1

Выражение (1.25) служит оценкой меры разброса статистики х, ис-

пользуемой в качестве оценки матожидания x Для практических

расчетов (1.25) удобнее преобразовать, раскрыв скобки под знаком суммы:


	1
		(x2		2
				2
S(x)			x		)	(1.26)
S(x)	n 1		x		)	(1.26)
	n 1

где

x 2 1 n xi 2 - статистика для оценки среднего квадрата выборочных n i 1

значений x ,.

В случае выборки объема п = 1 (только одно измерение) и мато-

		2
	S	2	(x) будет не оп-
жидание, и средний квадрат мы оценить можем, но	S		(x) будет не оп-

ределена, S 2 (x) принимает вид отношения 0/0,	поскольку разброс
экспериментальных значений неизвестен.

Получив вместо характеристик генеральной совокупности x и

x . их выборочные оценки х (1.17) и s(x) (1.26) или (1.25), экспериментатор должен указать доверительный интервал, который, с наперед заданной доверительной вероятностью , должен накрыть значение x причем для обозначения границ интервала он имеет право воспользоваться только выборочными x и s(x), а также какими-нибудь другими характеристиками, полученными из выборки. Здесь можно опереться на другой фундаментальный закон математической статисти-

ки - центральную предельную теорему (ЦПТ). Как и закон больших

чисел, ЦПТ имеет множество формулировок при различных условиях и


ограничениях, накладываемых на x х и
			S (x) , но нам достаточно

следующей: если Х|, х2,... х„-независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение с математическим ожиданием x

и дисперсией 2	, то при увеличении п закон распределения
x
суммы	n
	n
	y xk
	k 1

неограниченно приближается к нормальному (гауссовому)

распределению

математическим

ожиданием

n x и

дисперсией

n 2

f ( y)

y y

exp

(1.27)

2 Dy

2Dy

Поскольку оценка x вычисляется суммированием по ыборкеобъема п , распределение X при п —> будет стремиться к нормальному. Нормальное распределение симметрично относительно матожи-дания, поэтому доверительный интервал можно (и желательно) выбрать

симметричным относительно x


(x ) x (x ) ,	(1.28)

где в качестве указать величину, связанную с масштабом разброса

x вокруг x , т.е. U S(x) ). Значение Ua для заданной доверительной вероятности а можно взять из таблиц стандартного нормаль-

ного распределения.

На практике объем выборки не всегда достаточен для того, чтобы

можно было применить к результатам ЦПТ, особенно если вероятность
выбирается близкой к единице. В частности, если																	=0.95, то
при n 30 ,			воспользовавшись						значением				U	0.95		, мы ошибемся в
величине			более, чем на 4.5 %. Если же									0.7 , такая же ошибка в
будет		уже при				n 15.		Теория			математической статистики
показывает, что для случайной величины

						(x x)



									S (x)
имеет,	место т.н.				распределение Стьюдента.									Это			распределение

рассчитано для различных а и п и обычно приводится в справочниках


в виде коэффициентов ta(n). Подставляя в (1.28)														t (n) S(x) ), мы
получаем			доверительный				интервал					для				x		генеральной
совокупности. В табл. 1.1 приведены значения ta{n) для а =0.7 и 0.95.
																Таблица 1.1

										п
		2		3		4	5'		6		7		10		20			30	ОО

0.70	1.96			1.39		1.25	1.19		1.16		1.13		1.10		1.07			1.06	1.04

0.95	12.71			4.30		3.18	2.78		2.57		2.45		2.26		2.09			2.05	1.96

Значения Ua для тех же =0.7 и 0.95 соответственно U0 70 = 1.04 и U09i = 1.96 совпадают с t ( ) .

> Пример 1 После проведения измерений активности источника получили выборку

Х,.=84, 107, 10.1,92, 111, 105, n=6. Оценка матожидания x по (1.17)


				6
				1	xi
		x		1			100
		x					100
				6 i 1


Оценка (x) по (1.25) или (1.26)


			1	6
	S(x)		1		(xi		100)2 4,15
	S(x)				(xi		100)2 4,15
5				6 i 1
Выбирая =0.95 для n =6 из табл. I. I						t0,95 (6)=2.57, получаем
	100 - 2.57 4.15 = 89.3 < x					< 100 + 2.57-4.15 =110.7
с вероятностью не менее 0.95.
Если воспользоваться неравенством Чебышева в виде (1.7), априори пред-

полагая одномодальность и симметричность распределения x вокруг x , то для той же доверительной вероятности (X =0.95 получаем

87.5 < \ x < 112.5, т.е. незнание функции распределения заставляет нас расширить доверительный интервал. <

В экспериментальной ядерной физике наиболее часто результатом измерений являются числа зарегистрированных за единицу времени событий - отсчетов детектора. Эти числа подчиняются некоторым конкретным распределениям дискретных величин, поэтому рассмотрим их подробно.

3. Биномиальное распределение

Большинство явлений в микромире имеет два возможных исхода - {появление некоторого события или его непоявление. Например, произошел распад ядра или нет, попала частица в детектор или нет, зарегистрирована или нет и т.п. Пусть р - вероятность появления интересую-

щего нас события, а (1 — р) - вероятность его отсутствия и произведено всего п испытаний. Требуется найти вероятность рп(х) того, что ров-

но х раз (х < п — целое) исходом будет появление события. Поскольку каждый последующий исход не зависит от того, каков был предыдущий, то вероятность получения одной определенной последовательности ис ходов (+, +,-,+,...,-,+) в цепочке из n испытаний при условии появ

ления события ровно х раз будет p x (1 p)n x	, а таких различных по
следовательностей для заданного х	можно построить

C x		n!


n		x!(n x)!
		x!(n x)!
- число сочетаний из n по х, Следовательно,
pn (x) Cnx p x	(1 p)n x		n!	p x (1 p)n x (1.29)

			x!(n x)!
			x!(n x)!
Генеральная совокупность объемом п				содержит значения

х = 0,1,...,п, а набор pn (0), pn (1),....pn (n) представляет собой

функцию распределения случайной величины - числа X появления событий при п испытаниях. Выражение (1.29) называется биномиальным

	n
распределением. Можно показать, что px (x) 1 - математическое
	x 0
	х-0
ожидание x для генеральной совокупности
	( Б ) p n ,	(1.30)
	x
а дисперсия -
D( Б )	p(1 p)n	(1.31)
x

Верхний индекс в дальнейшем будем использовать для идентификации вида распределения: (Б) - биномиальное, (П) - пуассоновское.

< Пример 2. Биномиальное распределение.

Предположим, мы проводим эксперимент по измерению какойлибо небольшой активности и по условиям эксперимента мы можем произвести его только п раз подряд. Нам требуется узнать, какова вероятность того, что при измерениях будут отсутствовать отсчеты, принадлежащие фону. Нулевой фон может оказаться ни в одном случае из n, в одном, двух, трех и т.д. до п раз из п, следовательно, генеральная

совокупность числа нулевых отсчетов фона имеет вид 0, I, 2, ... , л.В

отдельном измерении возможны два исхода - либо зафиксирован ноль, либо какое-то число. Каждое измерение не зависимо от другого. Поэтому'функция распределения генеральной совокупности будет биномиальной. Пусть n=5, р=0.43 - вероятность того, что в отдельном измерении зафиксирован ноль, 1 -/7=0.57. Тогда функция распределения генеральной совокупности

р5(х) = c5 x 0,43x 0.575 x		х=0,1,...,5.	(1.32)
Подставляя в (1.32) х=0, х=1	и	т.д., получаем	р5(0)=6.0210-2,
р5 (1)=2.27 10 1 , p5(2)=3.4210 2 ,	р5(3)=2.5810 1 , р5(4)=9.7410-2, р5

(5)= 1.47-102. Математическое ожидание в соответствии с (1.30)

( Б ) =50.43=2.15, дисперсия (1.31)				D( Б ) =0.430.57-5= 1.226, средне-
x				x
квадратичное отклонение ( Б )			=	1.226 =1.11. Наиболее вероятное
		ч
значение х =2, при этом p	5	(2) =3.42-10 1 , т.е. можно сказать, что
	5

после пяти измерений подряд с вероятностью 0.342 в двух из них будет отсутствовать фон, а полное отсутствие фона в пяти измерениях подряд будет

наблюдаться только в 1.5%случаев (р5(5)= 1.47-10 2 ). Графически это распределение представлено на рис. 1.1.

Видно, что распределение несимметрично.

4. Распределение Пуассона и его аппроксимация

Биномиальное распределение (1.29) точно описывает вероятность появления дискретной случайной величины при любом числе испытаний п . Однако, когда п - велико и неизвестно, вычисление Cnx невозможно. Если п —> , р - очень мало, но п • р = x x = const, формулу (1.29) биномиального распределения можно преобразовать:

p	(x) p(x)	x	(1.33)
		x e x .
		x!

Это т.н. распределение Пуассона. Оно описывает вероятность появления X событий при очень большом числе испытаний, когда вероятность отдельного события очень мала. [Например, имеем источник излучения с очень большим числом п радиоактивных ядер. Каждое ядро в заданный интервал времени X может либо распасться, либо нет.

Вероятность распада ядра p , где - вероятность распада за единицу времени - т.н. постоянная распада. Если эта вероятность очень ма-

ла и убыль ядер в источнике за время				np n много меньше п, но
конечна, то для числа X распавшихся за время ядер можно записать
					(n ) x		x
p	n	(x) C x ( ) x (1 )n x p(x)				e n	x e x
p		(x) C x ( ) x (1 )n x p(x)				e n	x e x
		n	n		x!		x!
					x!		x!
		Математическое	ожидание ( )	np n ,		а дисперсия, в
			x

соответствии с (1.31)

Dx( ) p(1 p) np

< Пример 3. Пуассоновское распределение.

	( )	(1.35)
	x	(1.35)
	x

Пусть среднее число x распадов некоторого источника в единицу

времени равно 2.15 (как и в примере с биномиальным распределением). Тогда вероятность зарегистрировать за ту же единицу времени х =0, 1, 2, ... , оо распадов будет подчиняться распределению Пуассона с


x =2.15. Распределение вероятностей для генеральной совокупности
имеет вид p(0) =1.16510 1 ,		p(1) =2.50410 1 , p(2) =2.69210 1 ,
р(3)=1.92910 1 ,	р(4)= 1.037-10 1 ,		р(5)=4.4610 2 ,	р(6)=1.60 10 2

р (20)=2.13310 13 , ... и представлено на рис. 1.2. Там же показано сред-


неквадратичное отклонение x	Dx	x	1,47 и матема-
тическое ожидание x

В экспериментальной ядерной физике очень часто приходится довольствоваться одним измерением пуассоновской случайной величины -

числом зарегистрированных за некоторое время событий N э Тот

факт, что для пуассоновского распределения дисперсия генеральной совокупности равна математическому ожиданию и в записи функции распределения участвует лишь один параметр - то же самое математическое ожидание - позволяет установить границы доверительного интервала для генерального среднего по одному измерению случайной величины.

Ранее мы отмечали, что по выборке из одного измерения выборочную дисперсию определить нельзя и в данном случае требуется обязательная уверенность экспериментатора в том, что никаких помех

при измерениях не было, все события, включенные в N э

соответствуют проводимому эксперименту и N является элементом генеральной совокупности.

Если - доверительная вероятность, 1 - вероятность случайной величине из генеральной совокупности не попасть в выбранный доверительный интервал, то нам нужно выбрать два числа

N2 N3 и N1	Nэ в качестве границ доверительного интервала так,
чтобы, приняв в качестве оценки x( )					величину N2, вероятность по-
лучить значение из генеральной совокупности, меньшее N э , не
превышала	И наоборот, приняв в качестве ( ) величину						,
2					x	2
вероятность получить значение, большее N3, не превышала тоже								.
Тем самым будет установлено							2
Тем самым будет установлено
	p N	1	( ) N	2	1	(1.36)
		1	x	2

Решение уравнений, составленных для двух указанных неравенств, опирается на связь распределения Пуассона с так называемым распределением 2 (хи-квадрат) и имеет вид

	N2		1	2	2N	э 2 ;	N1	1	2	(2N	э ) (1.37)
	N2		2	2	2N	э 2 ;	N1	2	2	(2N	э ) (1.37)
			2	1	2			2		2
где в записи	2	( )			соответствует накопленной вероятности, а

- число степеней свободы.

Распределение очень широко используется в математической

статистике и его таблицы приведены в любом справочнике по статистике.

Здесь не должно вызывать удивление существование верхней границы при N3 = 0. Следует отдавать себе отчет в том, что отсутствие событий за промежуток времени измерений не гарантирует их отсутствия вообще.

Возвратимся к примеру (1).

> Пример 4 Предположим, что при тех же условиях, что и в примере 1, мы

провели одно измерение и получили, например, N3 =107. Предполагая пуассоновское распределение, получаем для =0.95 из (1.37):

N2 12 02,975(216) 129.3,

N1 12 02,025(214) 87.7 .

Таким образом, с вероятностью а =0.95 значение x( ) накрыто интервалом, имеющим границы: 87.7 < x( ) < 129.3. Сравнивая

полученный

доверительный интервал с выборочным интервалом по выборке из 6 элементов из примера 1 видим, что здесь он значительно шире. <

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Ядерная физика