Экономические задачи, связанные с последовательностью и ее пределом (элементы математики финансов)

Рассмотрим общепринятые в рыночной экономике алгоритмы начисления процента в зависимости от срока ссуды, типа процентов, схемы их начисления.

• Построение числовой последовательности для нахождения денежных накоплений с учетом простых процентов.

Обозначим через А (ден. ед.) первоначальную сумму. Процентная ставка равна q процентов годовых. При накоплении денежных средств с учетом простых процентов в каждый временной период на добавляемый процент начисление не производится, и денежные накопления составят:

после первого года где

после второго года A₂=A+Ar+Ar=A(1+2r);



после n-го года A_n=A(1+nr).

Итак, A_n=A(1+nr).

• Построение числовой последовательности для характеристики денежных накоплений с учетом сложных процентов.

При тех же обозначениях получим, учитывая теперь, что процент дохода начисляется на все денежные накопления:

после первого года A₁=A+A_r=A(1+r);

после второго года A₂=A₁+A₁r=A(1+r)²



после n-го года A_n=A_n-1+A_n-1r=A(1+r)ⁿ.

Следовательно, при начислении сложных процентов в течение n лет конечная сумма денежных накоплений составит A_n=A(1+r)ⁿ. Это основная формула для начисления сложных процентов. Величина S=1+r называется коэффициентом сложного процента.

• Пусть проценты начисляются равномерно m раз в году, каждый раз по норме на новый остаток вклада (сумма предполагается стабильной на протяжении всего рассматриваемого периода), тогда общий член искомой последовательности будет иметь вид

• Пусть проценты теперь начисляют непрерывно, т.е. m , применяя второй замечательный предел:

Итак, A_n=Ae^{r n}. Эту формулу можно использовать для любых расчетов, обычно приближенных, связанных со сложными процентами.

Приведенные формулы связывают четыре переменные величины: A, A_n, r, n, где ,q – процентная ставка. Зная три из них, можно легко найти четвертую.

Например, из основной формулы для начисления сложных процентов после преобразований получим следующие формулы:

Отметим, что операция нахождения начального вклада А называется дисконтированием. Значение А называют также современным значением для A_n.

Из формулы непрерывного начисления процентов A_n=Ae^rn получим такие выражения для тех же величин:

20