- •Тема 4. Теория Элементы математического анализа. Функция одной переменной
- •Тема 4: Предел и непрерывность функции. Техника вычисления
- •Пределов. Классификация разрывов функции
- •Понятие предела функции в точке.
- •Односторонние пределы функции в точке
- •Тогда принадлежность произвольной точки у -окрестности точки b можно записать в виде:
- •Предел функции на бесконечности
- •Бесконечно малые (бм) величины. Сравнение бм величин
- •Основные правила вычисления пределов, связанные с арифметическими операциями
- •Первый и второй замечательные пределы и следствия из них.
- •Техника вычисления пределов
- •Логическая схема техники вычисления пределов
- •Общий алгоритм вычисления предела функции
- •Непрерывность функции. Классификация разрывов функции
- •Точки разрыва бывают I и II рода.
- •Применение функций в экономике
- •Экономические задачи, связанные с последовательностью и ее пределом (элементы математики финансов)
Основные правила вычисления пределов, связанные с арифметическими операциями
Если функции y=f(x)иy=(x)имеют конечные пределы приха, то:
, предел суммы равен сумме пределов.
, предел произведения равен произведению пределов.
, предел частного равен отношению пределов, если.
, предел постоянной величины равен самой постоянной.
- постоянную величину можно выносить за знак предела.
Первый и второй замечательные пределы и следствия из них.
Таблица эквивалентных БМ величин
ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ | |
ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ |
где … |
Второй замечательный предел на практике можно использовать и в такой форме:
где а, в - соnst
Следствия из замечательных пределов – это соотношения эквивалентности между некоторыми БМ величинами.
ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть , т.е. является бесконечно малой величиной.
Следствия из первого замечательного предела. |
Следствия из второго замечательного предела. |
|
|
Техника вычисления пределов
При вычислении пределов функций используется правило предельного перехода под знаком непрерывной функции,которое формулируется так:
.
Оно справедливо для всех элементарных функций, так как они непрерывны в своих областях определения. Из правила следует, что при вычислении пределов, прежде всего, необходимо аргумент функции заменить его предельным значением и выяснить, имеется ли неопределенноевыражение. Кнеопределеннымотносятся выражения вида:
.
Если такое выражение существует, необходимо выполнить тождественные преобразования, в результате которых устраняется неопределенность, а затем вычисляется предел.
Различные способы вычисления пределов приведены в разделе "Примеры выполнения обязательных заданий по теме 4".
.
Логическая схема техники вычисления пределов
Общий алгоритм вычисления предела функции
.
Подставить (в том числе и) в. | |||||
| |||||
Проанализировать полученное неопределенное выражение: . | |||||
| |||||
|
Если это отношение многочленов, то выделяется главная часть: | ||||
|
алгебраические преобразования : выделение в числителе и знаменателе множителя, стремящегося к нулю. |
|
Если это отношение многочленов, то определяются корни числителя и знаменателя дроби и многочлены раскладываются на множители. | ||
|
Если предел содержит квадратные (кубические) корни, то следует умножить и разделить дробь на соответствующий сопряженный множитель. | ||||
использование эквивалентных бесконечно малых величин. |
|
Отношение степенных функций. | |||
|
Это неопределенное выражение приводится к виду: или . | ||||
|
Если , то привести к общему знаменателю и получить. | ||||
Преобразование иррациональности . | |||||
|
Приведение предела к виду второго замечательного предела, т.е. , где- бесконечно малая величина. Затем используют известные формулы или . |